2014年华约北约自主招生数学试题评析

　　2014年三大联盟自主招生的考试落下帷幕，除了极少量的高校以外，各学校的自招笔试已经完成，从2002年以来，自招走过了十几年的风雨，随着命题权，阅卷权等收回考试院，三大联盟试题整体难度趋于稳定，维持着“三分之一高考，三分之一边缘，三分之一略超纲”的基本难度，而北大清华前几年在55%-60%总分附近的笔试通过控制线也基本应对了学生在难度方面的水平。

　　今年自招结束后3分钟，第一个给我打电话的是人大附中的关同学，她参加的是华约的语文和数学考试，除了跟我汇报了一下还记得的试题以外，着重提出今年华约的整体风格和去年完全一致，数学试题的难度略有下调，去年颇有争议的数论题(略超纲)没有在今年试卷中出现，而略有高等数学背景的函数或数列题则是华约向来的“杀手锏”，今年也不例外，试卷中有两个题目保持这样的风格，其中不少问题的基本思路在学而思之前的课程中有很明确的渗透，比如“五局三胜制”的比赛获胜概率，不仅在自招课堂上讲过，在高考课程中也有涉及(属于课内学生可以掌握的较难一点的概率题)，而最后一题关于“”这个不等式的使用更是在自招冲刺课程或尖端班长期课程中反复强化，相信考生对于这样的问题，虽不保证有明确的解题思路，但大致的方向还是不难获取的。

　　随后北约的考生也向我汇报了北约的数学考试情况，跟北约今年语文难度大幅度提升的趋势不同，数学试题的难度则相对不高，选择题偏常规，大致相当于高考中等或稍难一点的题目难度，只是在某些细节上会使用一点学生的数学直觉，比如关于这样的线性条件的使用(其实意味着一个一次函数)，比如关于反三角函数的认知，其他的选择题也基本属于高考难度，比如学而思高一课堂上就反复强调过的的值域问题。解答题还能保持一定难度，但并没有非常困难的问题，不过北约的考试尤其是解答题从来都不是基于课内知识点的反复强调和训练，往往来源于一些很基本的甚至是近似于数学常识的知识，比如去年考试中“任意三个数的和都是质数”的理解，和今年证明是无理数这样的问题，都属于写出来平平无奇，不强调复杂的计算，只求看清楚问题的本质的处理手法。所以北约的数学试题做起来如果很繁琐，说明往往已经偏离了命题人的基本想法。

　　总而言之，不同类型的学校对于自己所要求的人才有基本的区别，清华为首的华约联盟中，偏重工科类的高校占据大部分，所以在华约的数学考试中，细节，步骤，严谨的推理都会起到非常重要的地位，很多题目，有思路之后，实际执行的过程也有一定难度。而北大为首的北约联盟，则已文理综合性院校为主，北约的数学题中，直观，本质，跳跃性的解释都会给解题带来很大的帮助，很多时候会产生“一眼看穿”的感觉，而不熟悉这种风格的同学往往举步维艰。简单的说，华约的数学更偏严谨的数学训练，北约的数学更偏开放的数学思考，这和清华北大两校的风格有很大的关联，最后附送两个联盟真题各一，让同学们简单体会一下。

　　(华约题2)甲乙两人约定进行一场5局3胜的比赛(即谁先获胜3局则判定胜利)，已知甲在每一局中获胜的概率为p，若甲最终获胜的概率为q，求q-p的最大值。

　　(北约解答题2)都是二次函数，方程，都只有一个重根，且有两个不等实根，证明：没有实根。