作者：廖敢云
摘要：本文阐述了被除数为质数时产生的循环小数的多种奇妙现象，进而分析了被除数为合数的相关余数的规则性，揭示了自然界存在的一种数字内涵的美，并分析了一个偶位数循环节不一定具有半九律。
关键词：循环节，余数，互质
1、产生循环节的相关余数之间的关系
1.1如表1所示，a/b化小数中，以b=17为例，用表格列出1/17的循环节及其相关余数。表格中第一行为循环节上的数字，第二行为相关余数。
把表1中其相关余数从1到10到15…到12的顺序依次编为a到a…到a，如表所示中，a是a的2/3倍，即12*2/3=8，同样，a与a的2/3关系：可把8还原为2*17+8，即42*2/3=28，28-17=11，如此计算，a总是a的2/3倍。依次看下去，a也是a的2/3倍。又如：a+a+a=a即：1+10+4=15，则a+a+a=a也成立。再如a+a+a+a=0（注：这里的0是17即b进制的个位数0），则a+a+a+a=0也成立。可以看出：在a/b化小数时，其先后出现的余数中，如果a与a之间有某种和、差、倍的关系，则a与a也有这种和、差、倍的关系。等等。以上是以b为质数17时产生的现象，当b为别的质数时，同样会有这种类似的或别的关系。结论：在a/b（b为非2、3、5的质数）化小数产生的任何一个循环节里，如果依次出现的某顺序上相关余数之间存在着某种关系时，只要符合这个顺序关系的其它的相关余数之间也存在同样的关系。
1.2若十进制整数Z是一个由9组成的n位数，用10、10…到10分别除以b得到相应的余数再分别乘以9后相加，若能被b整除，则Z也就能被b整除。以b=17为例，其除十进制10（0≤n≤16）每位上所得的余数刚好与1/17化小数过程中所得循环节的各个相关余数相同，见表2第二行。即：9*（a+a+…+a）的结果是17的倍数才能被17整除，而质数17并不含有9的任何因数，那么（a+a+…+a）的结果必为17的整数倍，(当b=17时，j=b-1=16)。而当b=3时，无论（a+a+…+a）的结果是什么，9*（a+a+…+a）的结果都能被3整除。所以当b=3时，产生循环节的相关余数之和可以不是3的整数倍。结论：在a/b（b为非2、3、5的质数）化小数中，产生同一个循环节的相关余数之和为b的整数倍。
1.3在a/b化小数中，以1/17为例，用表格分4组依次列出1/17的相关余数，每组4个相关余数，如表2
表2
表3
表2是1/17所产生的相关余数，而表3中，每一列数中从第一行到第四行之比皆为表2第一列第一行到第四行数之比即A：A：A：A=1：4：16：13。表3与表2的第一行和第一列数都相同，根据整除的理论，由于表2中这些余数都是同一个循环节的相关余数，说明表2中每一行数字之和都不能被17整除。表3中，设第一行之和到第四行之和分别为M、M*A/A、M*A/A、M*A/A。由于表3各数之和是表2各数之和加上17的整数倍的结果，又由整除理论可知表2各数之和是17的整数倍,所以表3也是17的整数倍,而表3四行之和为：M+M*A/A+M*A/A+M*A/A即：M*(A+A+A+A)/A。由于1≤A≤16，A不含有质数17的任何因数,由整除理论可知M不可能是17的整数倍，所以M/A不含有17的任何因数，只有(A+A+A+A)之和为17的整数倍。结论：在a/b(b为非2、3、5的质数)化小数中，所得的循环节的相关余数有w个，w为（b-1）的因数，若w=q*p成立，则可按其依次出现的顺序分成q组p个，那么无论任何分法，每一组相同位置的余数相加和为b的整数倍，即a+a+a…+a=Z*b(Z为整数)。
1.4在a/b化小数中，所得的任一循环节上的数字按循环顺序如果可以分成q组p个，则把每组数字按原循环顺序组成一个p位数后再把q个p位数加起来和为T，具有合九律。相关余数的第一列之和（A+A+A+……+A）除以b等于整数Z，当Z=1时，T为p位数字9组成的数；当1＜Z≤10时，T是首一位数字加上尾一位数字和为9，中间由p-1位数字9组成的数；当10+1≤Z≤10时,T是一个n+1位首尾和为n+1位9,中间由p-n-1位9组成的数；以1/7为例，产生的循环节为142857，共6位，可以分成3组，每组两个数字，即14、28、57，则14+28+57=99；或者分成42、85、71，则42+85+71=198，三组首位相关相余数相加为3+6+5=14，Z=14/7=2，2*9=18，首1加尾8即1+8=9。（注：本文中w、p、T含意与此节里相同）
2、除数为合数产生的循环节
2.1几种特殊数的性质。
真分数a/b中b=b*b：⑴若b=2，b为非2、5的质数时，a/b=（a*5）/b/10，若（a*5）/b=Z+v,(1≤v＜b),那么a/b=（Z+v/b）/10，Z部分不被包含在循环节里；而b=5时，同理可推。也就是说，b为2或5时，所产生的循环节与a/b[1≤a≤（b-1）]产生的循环节相同。而a中与b互质的数所产生的循环节全部可以通过相关转换成以b为除数所产生的循环节。⑵3是数字动态形式里9的因数，当b=3，b为质数时：①化a/b为小数的过程中不会出现余-a的情况；②若n=1，b产生的循环节上数字之和为3的整数倍，且同一个循环节里计算“半九律”的结果为“半三或半六律”；③若n=2，b产生的同一个循环节里计算“合九律”的结果“合X律”，X为1至8中的任何一个数字。④同一个循环节里的任意两个与3互质的相关余数之差皆为3（或9）的整数倍。
2.2在a/b中，1≤a＜b,b=b*b，b和b皆非2或5的质数（以后相同），那么a/b化小数的过程中会产生三部分循环小数，一部分是由从1到（b-1）中有（b-1）个含有b为因数的数，这些数与b约去b后成为以a/b化小数产生的循环节，1≤a≤（b-1）；同样地，第二部分与第一部分过程一样，是由a/b化小数产生的，1≤a≤（b-1）；第三部分是以b为除数，从1到（b-1）中与b互质的数为被除数产生的，其能产生（b-1）-（b-1）-（b-1）即（b+1）-（b+b）个参与这部分循环节的数。从1到b-1中含有b、2b、3b……（b-1）b和b、2b、3b……（b-1）b，通过演算，它们和为：b*（b+b-2）/2，由于b和b皆不为2或5的质数，所以（b+b-2）/2是一个整数，由从1到b-1之和是b*（b-1）/2，而（b-1）/2-（b+b-2）/2也为整数，故第三部分的余数之和是b的整数倍。若b是w个数字9组成数的因数，则b产生的第三部分循环节与由a/b（或a/b）产生的循环节组成w位数除以b（或b）相同，并且w是（b-1）/2-（b+b-2）/2的因数。以b=133、b=7、b=19为例，由（b+1）-（b+b）=133+1-7-19=108位，但由于w=6，w=18，它们的最小公倍数为18，所以18个9组成的数就能被133整除，所以有6个18位的循环节。当a=1时，循环节和相关余数如表4。
从表4排列可以看出，a+a=7K，而a+a=19K，a-a=7k,a-a=19k,以上K、K、k、k皆为整数。在133中只含因数7、19仅各一个，用1.3节表2的排列法来分析，18可分解为2*9、3*6两种，133的第一行若为6个余数1、10、100、69、25、117，和M为7*46，由a+a=7K，则第一行之和M含133的因数7，而必仅含因数19的第一列余数1、106、64之和19*9不能被133整除；若每行9个，则每行相连6个的结果才能被7整除，而9不是6的整数倍，所以第一行之和不含因数7，同理，也不含因数19，所以每列数字之和必同时含因数7、19，能被133整除，所以具有合九律。结论：⑴在a/b中，1≤a＜b,b=b*b，b和b、b所得的循环节位数分别为w、w、w，则w为w与w的最小公倍数，若w、w皆为偶数，设w/2=s,w/2=r，则第三部分相关余数中，a+a为b的整数倍，a与a之差为b的整数倍，而a+a为b的整数倍，a与a之差为b的整数倍。若w≠w且w≠w，第一行排w（或w）的整数倍p（或p）个相关余数所得的第一列和只是b（或b）的整数倍。而所得T有以b（或b）为除数所得的w/p（或w/p）个循环节组成的部分。⑵若w、w、w皆为偶数，且w/w、w/w皆为奇数，那么第三部份循环节具有半九律；若w、w有其一为质数或皆为质数，则第三部分同一个循环节里没有合九律，第j位相关余数到第j+w-1位（或j+w-1位）相关余数之和为b（或b）的整数倍即任意连续w（或w）个相关余数之和是b（或b）的整数倍。⑶若w是w的公倍数，则以b产生的循环节为数除以b结果始终还是b产生的循环，w位b产生的循环节组成的数除以b结果还是w/w个b产生的循环节。
2.3在a/b中,b=b，则产生的循环节有两部分，一部分由1到（b-1）除以b产生，另一部分由1到（b-1）中与b互质的数除以b产生。
2.4当b为n个质因数（非2、5）的积，从1到b-1中与b互质的数之和总是b的整数倍，化a/b为小数所得的循环节由2-1个不同的除数产生。
2.5在a/b中，b为n个质因数（非2、5）的积，相应的循环节位数为w、w、w、w…w，则w为w、w、w…w的最小公倍数，在b产生的循环节里，p为w、w、w、w…w中任何整数倍时，所得的T都没有合九律。当w为偶数，且w与w、w、w…w的比值皆为奇数时，与b互质产生的循环节才具有半九律。（来源：论文网）