线与形的完美结合

遂宁市安居区拦江中学 彭文俊
　　
　　“简单的线性规划”系新教材增设的重点内容之一，因其在生产实践中的实用性和数形结合的完美性，备受高考命题者的青睐，亦在各类考试中侠踪频闪。其考法主要有以下三大类：
　　
　　一、用集合观点理解不等式表达的平面区域。
　　
　　例：设平面上两点A(1,2)和B(-1,2)分布在直线2x+y+m=0的异侧，求m的取值范围。
　　
　　理解说明：若点（x,y）在直线上，则二元函数f(x,y)=2x+y+m=0直线两侧的点集分别为f(x,y)>0或f(x,y)<0的区域。
　　
　　解：设f(x,y)=2x+y+m=0
　　
　　由题知f(1,2)×f(1,2)<0
　　
　　即(4+m)m<0
　　
　　∴–4<m<0
　　
　　二、考察目标函数的几何意义。
　　
　　x–y+1≧0
　　
　　例：设实数x,y满足约束条件x+y–2≧0
　　
　　x≦0
　　
　　y≦0
　　
　　求：（1）z=x+2y的最大值和最小值。
　　
　　（2）y/x的最大值
　　
　　（3）x2+y2–2x–y的最小值
　　
　　理解说明：（1）形如z=ax+by型的线性目标函数是线性规划处理的重点问题。变形为y=–a/bx+z/b后，其意义凸现出来；即当直线y=–a/bx平移于可行域内在y轴上的截距z/b取最值时，相应目标函数取最值。
　　
　　（2）令y/x=k则y=kx，则k表示过原点直线的斜率。
　　
　　（3）x2+y2–2x–y=((x–1)2–(y–1/2)2)2–5/4表示定点（1,1/2）与可行域内动点（x,y）的距离的平方与5/4的差。
　　
　　解：作出可行域如下：
　　
　　（1）作直线x+2y=0，即y=–1/2X平移至可行域内滑动观察知过点B(2，2)时y=–1/2X+z/2的纵截距最大此时z最大。过点A(2，0)时，y轴上截距最小，即z/2最小即z最小。
　　
　　故Zmax=2×2+2=6,Zmin=2+2×0=2
　　
　　（2）令y/x=k,则y=kx，显然直线y=kx过D点时，斜率k最大。
　　
　　x+y–2=0
　　
　　由知D(1/2,3/2)故kmax=3。
　　
　　x–y+1=0
　　
　　（3）令m=x+y–2x–y=((x–1)2–(y–1/2)2)2–5/4
　　
　　定点（1，1/2）到直线AD距离最小由d=∣1+1/2-2∣=1/22
　　
　　∴d2=1/8
　　
　　故mmin=1/8–5/4=–9/8
　　
　　三、求平面区域的面积。
　　
　　例：求︳x–2︳+︳y–2︳≦2不等式表示的平面区域的面积。
　　
　　理解说明：︳x–2︳+︳y–2︳≦2表示的区域可看作由
　　
　　︳x︳+︳y︳≦2表示的区域向右向上各平移2个单位得到
　　
　　故面积不变。
　　
　　x≧0
　　
　　解：在︳x︳+︳y︳≦2中，先作出y≧0表示的区域如图中的△OAB，
　　
　　x+y≦2
　　
　　再由对称性作出其它三个区域，构成正方形ABCD，其面积为8。
　　
　　故︳x–2︳+︳y–2︳≦2表示的平面区域的面积为8。
　　
　　变式思考：︳x+a︳+︳y+b︳≦2
　　
　　表示的平面区域的面积为8（与a,b无关）。