妙证定比分点公式和共面向量定理

作者：学夫子
　　定比分点公式：将三个同一平面并且不共线的向量e，f和a的起点移动在一起，如果其终点在一条直线上，那么存在实数对(m,n)，使得a=me+nf.并且m+n=1.
　　共面向量定理：将四个不共面向量e、f、g和a的起点移动在一起，如果其终点在一个平面上，那么存在实数对(m,n,l)，使得a=me+nf+lg，并且m+n+l=1.
　　一般情况下对这两个定理的证明，都是采用向量法，变化来变化去，虽然简单，但是学夫子总觉得有些饶人，这么漂亮的结论，怎么个也想找一个直观简单的方法出来。我们就要利用昨天文章的内容了。
　　1：定比分点公式
　　如图所示，考虑向量a、e和f，我们以e和f为基底，建立坐标系：
　　其中O为坐标原点，那么向量a的坐标就是其终点F的坐标。如果a=me+nf，那么a的坐标就是(m,n)，也是F点的坐标。由于该坐标系是以e和f为基底，所以A点坐标为(0,1),B点坐标为(1,0)。希望这个地方大家没有搞乱，从向量角度讲，因为e=e+0f，f=0e+f也可以得。在这样的坐标系下，单位长度就不是尺子上的单位长度，而是基底的长度就是单位长度。
　　由于在这样一个坐标系下，直线的方程形式保持不变，而直线AB又过点(0,1)好(1,0)，所以AB所在直线的方程为x+y=1，因为F点在直线AB上，所以m+n=1.
　　2：共面向量定理
　　同样的道理可以拿来证明共面向量定理，以e、f和g为基底建立坐标，如果a=me+nf+lg，那么(m,n,l)为a向量在该坐标系下的坐标。
　　由于平面方程在该坐标系下的形式仍然是ax+by+cz+d=0，不妨考虑平面ABC的方程，这个平面过点A(1,0,0)、B(0,1,0)、C(0,0,1)，所以该平面的方程就为x+y+z=1.因为D点在平面ABC立面，其坐标为(m,n,l)，所以有m+n+l=1.
　　自己感觉这样来证明的话会显得非常简单，只要理解坐标的真正概念即可。（来源：学夫子数学博客）