那么，难道说走曲折的路径比走直线能够更快地到达目的地吗？是的，如果全程各段的行进速度不一样，那情形的确是这样。
举例来说，假定有一个人住在两个火车站之间，而离一个火车站很近。他想尽快走到比较远的那个车站上去，他会骑马向反方向走到比较近的车站，在那里搭上火车到他的目的地去。从他的村庄到他的目的地，如果一直骑马前去，走的路会近一些，但是他宁愿骑马搭火车走一段比较长的路，原因是这样走会比较快到达目的地。在这里，走长的路就比走短的路更快。
现在不妨再花一分钟时间看一看另外一个例子。一位骑马的通讯员，要从力点把一份报告送到C点的司令官那里（左图）。在他和司令官帐幕之间隔着一片沙地和一片大草地，沙地和草地的分界线是一条直线，马在沙地里走是很困难的，这儿的速度只等于在草地上速度的一半。问：为了尽快把报告送到，这位骑马的通讯员应该选择怎么样的路线？
初看，最快的路径自然应当是从A到C的直线。但这是完全错误的，而且我也不相信会有走这条路径的通讯员。沙地上难走他是明白的，这使他正确地考虑到难走的沙路应该越短越好，就是越过这沙地的路线应该越斜得少越好；当然，这样做会加长了越过草地上的路；但马在草地上可以走得比较快，速度等于沙地的2倍，因此路长一些也还是有利的，可以使得全程在较短时间里走完。换句话说，他走的路线应该在沙地和草地的分界线上折曲，使草地上所走的路线跟分界线的垂线所成的角，比沙地上所走的路线跟这垂线所成的角大。懂几何学的人，可以用勾股弦定理算出直线AC果然不是最快的路线，如果照我们这里图上所画的尺寸来说，假定我们沿AEC折线行进的话（右图），可以更快到达目的地。
左图上注明，沙地阔2公里，草地宽3公里，BC长7公里。于是按照勾股弦定理，AC的全长（右图）就是里面AN部分是沙地上所走的路，这段路很容易看出是等于全长的2／5，就是等于3．44公里。由于沙地上行进速度只等于草地上的一半，3．44公里的沙路就得用去在草地上走6．88公里的时间。因此，走完全长8．60公里的AC直线的路程所要花的时间，等于在草地上走12．04公里所花的时间。
现在我们给折线路程AEC也来做一次同样的计算。折线的AE部分是2公里，所花的时间等于在草地上走4公里的时间；总加起来，走完AEC折线，所花的时间相当于在草地上走4＋7．61＝11．61公里。
照这样说，看起来比较“短”的直路，实际上相当于在草地上走12．04公里，而比较“长”的折线路却一共相当于在草地上走11．61公里。你看，比较“长”的路竟要比那比较“短”的路近12．04－11．61＝0．43公里，就是大约近半公里！我们这里还没有指出最快的路线。理论告诉我们，最快的路线应该是（这儿得找三角学来帮忙了）使b角的正弦跟a角的正弦间的比（sinb：sina）等于草地上速度跟沙地上速度间的比，就是2：l。换句话说，要选最快的路线，一定要使sinb等于sina的2倍。这样跨过分界线的M点，应该离E点1公里。
那时候
恰好等于两个速度的比。
那么，这全部路程换算为在草地上走的路程，等于多长呢？试演算一下：于，这相当于在草地上走4．47公里，6．70公里。全程长4．47＋6．70＝11．17公里，就是要比直线路程短0．87公里，因为我们已经知道那直线路程的长度是相当于草地上12．04公里的。
这儿你可以看见，在本题所说的条件下，一按曲折路线走是比依直线走更有利的。光线就正是选择了这样的捷径，因为光的折射定律就完全适合于解答这个题目的一切数学上的要求的：折射角的正弦跟入射角正弦的比（下图），恰好等于光在新的介质里的速度跟它在原来的介质里的速度的比；从另一方面来说，这个比值就是光在这两种介质间的折射率。把光的反射和折射的定律结合到一起，我们就可以说光线在不管什么情形下都是依最快的路径行进的，这在物理学上就叫“最快到达的原理”（费马原理）。
假如介质不是均匀的，它的折射能力是逐渐改变的，例如在大气里──在这种情形下，仍旧是合于最快到达的原理的。这可以解释从天体来的光线在大气里稍微折射的现象，天文学家叫这种折射为“大气折射”。大气的密度是从上向下层逐渐加大的，在这样的大气里，光线的折射路线是凹向地面的，这样光线在上层空气里走的时间比较久，因为在那里它可以走得更快些，而在不容易走快的下层里走的时间比较短；结果它就会比沿直线路径更快地到达目的地。
最快到达的原理（费马原理）不只对光的现象适用，对于声的传播以及一切波动也完全适用，不管波动是属于哪一种类的。
读者一定很想知道，波动的这种特性是怎样解释的。这种特性在最近的物理学理论上起了很大的作用。因此我把现代物理学家薛定愕对于这一点的解释介绍在下面。
从方才谈的兵士行进的例子出发，而且假定光线是在密度逐渐改变的介质里行进，现代物理学家说：
假定兵士都握着一根长杆子，使得队伍的正面能够保持整齐。现在司令员下令用全速跑步前进。假如地面的情形是逐渐改变的，比方说，起初队伍的右翼移动得比较快，以后左翼才跟了上去──这样队伍的正面就自然而然会转了过去。这里我们就可以看出，他们所走的路径就不是直线而是曲折了的。至于这条路径在时间上应该是最快到达目的地这一点，那是很明显的，因为每个兵士都是用最大速度在跑的。