几何的变换简说和教学改进建议

作者：学夫子
　　
　　函数的变换算是一大难点吧！更多是出现在三角函数一章里，在选修教材《坐标系与几何变换》里有更详细的阐述，学夫子在这里将这一块总结于此，尽量做得简单有效，并对我们经常所说的“上加下减，左加右减”想做点纠正，因为这种说法虽然看起来方便，但是事实上充满诸多不利之处的。不过函数一词是有诸多不便的，在这里用方程一词。
　　
　　1：方程的两种变换——平移变换和伸缩变换
　　
　　平移变换和伸缩变换是一种形象化的说法。不过学夫子更倾向于我自己创造出的另一种叫法——加法变换和乘法变换，因为从代数的角度，所谓平移变换，就是在方程有意义的前提下，将图象上每一个点的横坐标与纵坐标都加上一个常数，从而得到一个新函数。即平移变换是下面的一个变换：
　　
　　f(x,y)=0→f(x+m,y+n)=0
　　
　　而伸缩变换就是在方程有意义的前提下，将图象上每一个点的横坐标与纵坐标都乘以一个常数，从而得到一个新函数。即平移变换是下面的一个变换：
　　
　　f(x,y)=0→f(mx,ny)=0
　　
　　更为详细的推论我就不写了。我们知道，图象的平移有着一个“平移向量”这个概念的，为了方便理解和叙述，我在这里构造一个虚拟的“伸缩向量”，将这两种变换统一叙述成下面的图示：
　　
　　注意他们的特点，方程里对变量进行加，则相应点的坐标却是进行减；方程里对变量进行乘，则相应点的坐标却是进行除。不知道各位对这里的原因说得清楚，若有不懂，请于文章下面留言，我将尽快回答。
　　
　　2：对“上加下减，左加右减”一语的纠正建议
　　
　　正如我们上面所看到的，方程向上平移一个单位，其实就是沿着向量(0,1)平移，那么得到的方程里应该是因变量y减去1，而不是“上加”。当然这不是说我们的说法有误，而是这里的我们平时所说的”加“不是加在y后面，而是加在y=f(x)的右边。但是我们对自变量的加减却不是如此，这带来的混乱是显然的。不仅有碍于我们中学的学习，对于我们后面的学习也很有影响，从另一个角度看这也不符合数学美的要求：坐标系左下为负，右上为正，那么”左“和”下“，”右“与”上“就应该结合起来。况且，这种”上加下减“，就算学生能理解，但是也只能用于这种显函数，不能适用于一般的曲线方程，更不能适用于往后更复杂的”隐函数“，而我们知道，这些类型的函数才是学生后面数学学习的重点。所以为了弥补这一缺陷，学夫子建议尽早让学生从”函数“一词”过渡到“方程”一词，更能从方程的层次探讨各类问题。（来源：学夫子数学博客）