一类向量最值问题的几何解法

　　作者：学夫子
　　
　　因为出现多道非常类似的题目，所以学夫子觉得有必要总结一下他的解决办法，希望对大家有所帮助。涉及到向量的最值问题，特别是求某一个向量的模的最值，一般情况下我们有几种解决办法：涉及到坐标的采用坐标法，没有坐标的考虑平方后将其激活为向量运算，而如果这两种都行不通，那我们就应该尝试着用几何方法。
　　
　　为了方便，下面的字母默认代表向量，不是向量的参数我家绝对值符号
　　
　　例1：(2011全国)设向量a，b，c满足|a|=|b|=1，a·b=-1/2，<a-c，b-c>=60°，则|c|的最大值等于（）
　　
　　解：此题没有坐标，所以抛弃坐标法（其实坐标法也可以，因为根据他的条件很容易设置坐标），我们对|c|平方，但是也无法激活，因为我们无法把向量c表示为a和b的表达式，也就无法用条件，这是我们就可以考虑用几何法：
　　
　　如左图所示，a与b之间的夹角为120°，∠ACB=60°，所以，AOBC四点一定在一个圆上，如右图所示。现在要求|c|的最大值，就是求右图中那一条弦的最大值了，结果非常显然，最大值就是该圆的直径。
　　
　　与之完全相同的题目便是08年浙江的一道高考题：
　　
　　例2：已知向量a、b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a-c)·(b-c)=0,则|c|的最大值为（）
　　
　　解决办法就交给各位自己了，与例1一模一样的方法。答案为根号2.
　　
　　在最后，很多学生反映对向量的减法有点混淆。在这里有两个方法可以解决这个问题，一种就是将减法看成加法，减去一个向量就是加上其相反向量。另一个方法就是结合向量的坐标运算：向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标，类比到向量的减法也是如下图中：m=a-c，m是终点减起点，a的终点为m终点，c的终点就是m的起点，所以m=CA。很多概念类比记忆会有很多帮助的。（来源：学夫子数学博客）