从不同角度看齐次函数的值域

函数是高中生头疼的，函数值域就更使头疼中的头疼，因为他涉及到不等式、最值甚至导数等诸多问题。不过今天学夫子并不打算谈值域的求法，谈起来也还不如去看书来得明了。今天谈的，是一种大家熟知的函数——齐次分式函数的值域问题。我们从不同的角度来看它。
我们先来熟悉这个函数的结论
齐次分式函数：

现在我们分别从几个不同的角度来看待这个结论，首先大家最熟悉的，应该就是分离系数法了
1：分离系数法

2：从解析几何的角度
我们首先要知道，(cx+d)/(ax+b)在几何上表示点(ax,cx)和点(-b,-d)之间的斜率，而点(ax,cx)是直线y=c/ax上的一点。如下图所示：

由于c/a≠d/b，所以点P不在直线上，那么根据我们的直觉就可以看出来，直线PA的斜率就不可能与直线y的斜率相等，也就是KPA≠c/a，所以y=(cx+d)/(ax+b)的值域就是y≠c/a
3：反函数法
定义域就是求x的范围，值域就是求y的范围，所以如果能求出其反函数，那么求值域就跟求定义域一个样，而恰好我们的齐次分式函数就可以求反函数

可知其反函数的定义域就是y≠c/a，这也就是原函数的定义域。
4：从糖开水角度
是的，我没有打错字，就是糖开水，当然盐开水啥的也可以。我们用生活中的糖开水来检验下面的结论

现在你有一杯a克的糖开水，里面有c克糖，即糖开水的浓度为c/a，现在又有另外一杯糖开水b克，里面有d克糖，即浓度为d/b。现在将这两杯糖开水倒在一块，得到的糖开水中就有(c+d)克糖，(a+b)克糖开水，也就是其浓度为(c+d)/(a+b)，那么上面结论中的意思其实就是：要想让兑后的糖开水浓度和第一杯一样，就必须让第二杯糖开水的浓度和第一杯一样。也就是必须要两倍浓度一样的糖开水混合在一起，其浓度才会不变，或者就是干脆不加第二杯，也就是d=b=0。
由这个结论就可以得到齐次分式函数的值域。

因为c/a≠d/b
5：从导数极限的角度
这个需要一点极限方面的知识，所以中学生可以略过。考虑函数y=(cx+d)/(ax+b)的值域，我们就必须观察该函数的几个“关键点”，一个就是x=-b/a时，一个就是x趋于无穷时。
当x=-b/a，可以看到，此时y值趋于无穷，说明函数没有上限。当x趋于无穷的时候，分子分母都趋于无穷，所以我们需要求其极限值，利用诺必达法则，分子分母求导既得，此时极限值为y=c/a。也就是说c/a就是y无法取到的那一个函数值。从而得该函数的值域为y≠c/a。
文章来源：学夫子数学博客