中学数学中的第三个数学绝世奇迹

数学中的“帕巴拉神庙”（到底有多少个解法？）
　　
　　用《分角定理》作出一题千解（一题千解，古今唯一）
　　
　　1999年全国高中联赛加式题。已知：四边形ABCD，对角线AC平分∠BAD，F为AC上一点，BF交DC于E，DF交BC于G。
　　
　　求证：∠CAG=∠CAE（一）。
　　
　　添线有多解。用《分角定理》，不添线，就能作出很多异想天开的解法。如何发现出来？图明示：有很多三角形及分角线、对顶角、互补角，可用《分角定理》，变出很多边角关系，进行代换。特别是解题实践体会，可能有千多个不同解法。都是不添线，只列一式。
　　
　　《分角定理》：三角形中的一角被一直线内分（或外分），又分对边为两线段时，则：两线段之比等于与两对应分角正弦之正比乘以与两对应分角的两条不重合边之正比。还可转化出很多不同的表述。
　　
　　如图.。△ABC，AD内分∠BAC，则有：（BD/CD）=（sin∠BAD/sin∠CAD）·（AB/AC）。
　　
　　△ABD，AC外分∠BAD，则有：（BC/BD）=（sin∠BAC/sin∠BAD）·（AC/AD）。
　　
　　（解一）设AG交BF于H，AE交DF于M，又设∠CAG=∠CAE=α（二），∠CAG=β∠CAE=γ，∠BAG=θ，∠DAE=φ。∠AFB=∠CFE=∠1，∠BFG=∠DFE=∠2，∠AFD=∠CFG=∠3，∠BGH=∠4，∠ABH=∠5，∠GBH=∠6，∠CDF=∠7，∠ADF=∠8，∠AGF=∠9，∠AHF=∠10，∠AED=∠11，∠AEF=∠12，∠AMF=∠13，∠CGF=∠14，∠CEF=∠15，∠ACG=∠16，∠ACE=∠17。
　　
　　由1＝（AB/AB）·（AD/AD）=（AB/BG）·（DE/AD）×（BG/CG）×（CE/DE）·（CG/CE）·（AD/AB）=
　　
　　(sin∠4/sinθ)·(sinφ/sin∠11)×(sin∠2/sin∠3)·（BF/CF）×(sin∠1/sin∠2)
　　
　　·（CF/DF）·（CG/CE）·（AD/AB）→
　　
　　(sinθ/sinφ)＝(sin∠4/AB)·(AD/sin∠11)·(sin∠1/sin∠3)
　　
　　·（BF/CF）·（CF/DF）·（CG/CE）
　　
　　=(sin∠B/AG)·(AE/sin∠D)·(sin∠1/sin∠3)·(sin∠16/sin∠6)·(sin∠7/
　　
　　sin∠17)·（CG/CE）=
　　
　　=(sin∠B/AC)·(AC/sin∠D)·（CG/AG）·（AE/CE）·(sin∠1/sin∠3)·(sin∠16/
　　
　　sin∠17)·(CF/sin∠6)·(sin∠7/CF)
　　
　　=(sinα/BC)·(CD/sinα)·(sinβ/sin∠16)·(sin∠17/sinγ)·(sin∠1/sin∠3)
　　
　　·(sin∠16/sin∠17)(BC/sin∠1)(sin∠3/CD)→
　　
　　=(sinβ/sinγ)→sinφ·sinβ=sinγ·sinθ※。
　　
　　由※sinφ·sinβ=sinγ·sinθ，→由（二）→sin（α－γ）·sinβ=sinγ·sin（α－β）→
　　
　　sinβsinαcosγ－sinβcosαsinγ=
　　
　　sinγsinαcosβ－sinγcosαsinβ→sinβcosγ=sinγcosβ→tanβ=tanγ，由β、γ＜π/2→β=γ。
　　
　　所以∠CAG=∠CAE。证毕。由此可见，只要证明了（sinβ/sinγ）=（sinθ/sinφ），或sinφ·sinβ=
　　
　　sinγ·sinθ※，就行。
　　
　　（解二）接（解一）：由1=（AF/AG）·（AG/AC）·（AE/AF）·（AC/AE）⑴=(sin∠9/sin∠3。)·(sin∠16/
　　
　　sin∠4。)·
　　
　　(sin∠1。/sin∠12)·(sin∠11。/sin∠17)=(sin∠9/sin∠4)·(sin∠11/sin∠12)·
　　
　　(sin∠16/sin∠3)·(sin∠1/sin∠17)=
　　
　　(sin∠9/sin∠4)·(sin∠11/sin∠12)·（FG/CG）·（CE/EF）=（BG/CG）×(sin∠9/sin∠4)
　　
　　·（FG/BG）×(sin∠11/sin∠12)·
　　
　　（DE/EF）·（CE/DE）=（BG/CG）×（FH/BH）·（DM/MF）×（CE/DE）=(sin∠2/sin∠3)
　　
　　·（BF/CF）×（FH/BH）·（DM/MF）×
　　
　　(sin∠1/sin∠2)·（CF/DF）=(sin∠1/sin∠3)×（BF/BH）×（DM/DF）·（FH/MF）=(sin∠1/
　　
　　sin∠3)×(sinα/sinθ)·（AF/AH）×
　　
　　(sinφ/sinα)·（AM/AF）·（FH/MF）=(sin∠1/sin∠3)·(sinφ/sinθ)
　　
　　·（AM/MF）·（FH/AH）=
　　
　　(sin∠1/sin∠3)·(sinφ/sinθ)·(sin∠3/sinγ)·(sinβ/sin∠1)=(sinβ·sinφ)/(
　　
　　sinγ·sinθ)=1。由解㈠※。证毕。
　　
　　（解三）由（DF/DM）×（BG/BC）×（AH/GH）×（ME/AE）×（AC/AF）=(sinα/sinφ)·（AF/AM）×
　　
　　(sin∠2/sin∠1。)·（GF/CF）×(sin∠2/sin∠1。)·（GF/CF）×(sin∠1/sin∠2)
　　
　　·（AF/GF）×(sin∠2/sin∠1。)·（MF/AF）×（AC/AF）=(sinα/sin∠1)·(DE/sinφ)·
　　
　　(sin∠2/DE)·（MF/AM）×（AC/CF）=(sinα/sin∠1)·(AD/sin∠11)·(sin∠15。/DF)·
　　
　　(sinγ/sin∠3)×(sin∠15。/DF)·(sinγ/sin∠3)×(sin∠11/sin∠15)
　　
　　·（AE/EF=）(sin∠1/sinγ)=
　　
　　(sinα/sin∠3)（AD/DF）=(sinα/sin∠3)·(sin∠3/sinα)=1⑴。
　　
　　由⑴→1=（DF/DM）×（BG/BC）×（AH/GH）×（ME/AE）×（AC/AF）=(sinα/sinφ)·（AF/AM）×(sinθ/
　　
　　sinα)·（AG/AC）
　　
　　×(sin∠1/sin∠2)·（AF/GF）×(sin∠2/sin∠1。)·（MF/AF）×（AC/AF）=(sinθ/sinφ)
　　
　　·（AG/GF）·（MF/AM）=
　　
　　(sinθ/sinφ)·(sin∠3/sinβ)·(sinγ/sin∠3)=(sinθ/sinφ)·(sinγ/
　　
　　sinβ)=1。由解㈠※。证毕。
　　
　　（解四）由1＝(sin∠3。/sin∠2)·（CF/EF）×(sin∠1/sin∠3。)·（FH/FG）×(sin∠2/sin∠1。)
　　
　　·（GF/CF）×（EF/FH）=
　　
　　（CD/DE）×（AH/AG）×（BG/BC）×（EF/FH）=(sinα/sinφ)·（AC/AE）×（AH/AG）×(sinθ/sinα)
　　
　　·（AG/AC）×(sinγ/sinβ)
　　
　　·（AE/AH）=(sinθ/sinφ)·(sinγ/sinβ=1⑴。由解㈠※。证毕。
　　
　　这是用《分角定理》的最简解法，只列一式。方法简单，用《正弦定理》和《分角定理》，进行变与代，经多次选择和试验，一定能学会，可能会创新出新的解法。
　　
　　总结以上，图中有29条线段，如解一有406个组合，如解二有23751个组合，如解三不知有多少个组合，如解四也不知有多少个组合，而且每一个组合又可以导出几个不同解法，这样，到底有多少个解法，值得数学爱好者去探索，有可能总结出解题规律，找出简便的解题方法。但要确定到底有多少个解法，恐非易事，如能设计出解题程序，可能会加速，但何时做到，这好像数学中的“帕巴拉神庙”！