作者：卢昌海
围捕零点
时下流行一种休闲方式叫做DIY(DoItYourself)，讲究自己动手做一些原本只有工匠才做的东西，比方说自己动手做件陶器什么的。在像我这样懒散的人看来这简直比工作还累，可如今许多人偏偏就兴这个，或许是领悟了负负得正(累累得闲？)的道理吧。既是大势如此，我们也乐得共襄盛举，安排“休闲”一下，让大家亲自动手用Riemann-Siegel公式来计算一个Riemannζ函数的非平凡零点。
DIY一般有个特点，那就是课题本身看起来虽颇见难度，实际做起来却通常是捡其中相对简单的来做(以免打击休闲的积极性)。我们计算零点也是如此，挑其中相对简单——即容易计算——的非平凡零点来计算。那么什么样的非平凡零点比较容易计算呢？显然是那些听Riemann的话，乖乖躺在临界线上的——因为不在临界线上的非平凡零点即便有也绝不可能容易计算，否则Riemann猜想早被推翻了。
如我们在上节中所见，Riemann-Siegel公式包含了许多计算量很大的东西，其中最令人头疼的是求和，因为它使计算量成倍地增加。不过幸运的是那个求和是对n2<(t/2π)的自然数n进行的，因此如果t<8π≈25，求和就只有n=1一项。这显然是比较简单的，因此我们狡猾的目光就盯在了这一区间上。在这一区间上，Riemann-Siegel公式简化成为：
Z(t)=2cos[θ(t)]+R(t)
这就是我们此次围捕零点的工具。
在正式围捕之前，我们先做一点火力侦察——粗略地估计一下猎物的位置。我们要找的是使Z(t)为零的点，直接寻找显然是极其困难的，但我们注意到2cos[θ(t)](通常被称为主项)在θ(t)=(m+1/2)π时为零(m为整数)，这是一个不错的出发点。由上节中θ(t)的表达式不难证明，在所有这些使2cos[θ(t)]为零的θ(t)中，θ=-π/2(即m=-1)是使t在t<25中取值最小的(当然，别忘了t是正实数)，它所对应的t为t≈14.5。这是我们关于零点的第一个估计值。纯以数值而论，它还算不错，相对误差约为百分之三。
接下来我们对这个估计值进行一次修正。修正的理由是显而易见的，因为t≈14.5时R(t)明显不为零。为了计算R(t)，我们注意到t≈14.5时(t/2π)1/2≈1.5，因此R(t)中的参数N——即(t/2π)1/2的整数部分——为1，p——即(t/2π)1/2的分数部分——约为0.5。由此可以求出R(t)中的第一项——即C0(t/2π)-1/4——约为0.3。
为了抵消这额外的0.3，我们需要对t进行修正，使2cos[θ(t)]减少0.3。我们采用最简单的线性近似Δt≈Δ{2cos[θ(t)]}/{2cos[θ(t)]}'来计算这一修正值。为此注意到2cos[θ(t)]在t≈14.5处的导数{2cos[θ(t)]}'为-2θ'(t)sin[θ(t)]≈-2(1/2)ln(14.5/2π)sin(-π/2)≈0.83。由此可知t需要修正为t+Δt≈14.5-0.3/0.83≈14.14。这个数值与零点的实际值之间的相对误差仅为万分之四。但是需要提醒读者的是，这种估计——无论从数值上讲多么高明——都不足以证明零点的存在，而至多只能作为围捕零点前的火力侦察。
那么究竟怎样才能证明零点的存在呢？我们在上节中已经叙述了基本思路，那就是通过计算Z(t)的符号，如果Z(t)在临界线上某两点的符号相反，就说明Riemannζ函数在这两点之间存在零点。我们上面所做的估计就是为这一计算做准备的。现在我们就来进行这样的计算。由于我们已经估计出在t=14.14附近可能存在零点，因此我们就在14.1≤t≤14.2的区间上撒下一张小网。如果我们的计算表明Z(t)在这一区间的两端，即t=14.1与t=14.2，具有不同的符号，那就证明了Riemannζ函数在t=14.1与t=14.2之间存在零点[注一]。
下面我们就来进行计算：
对于t=14.1，(t/2π)1/2≈1.498027，θ(t)≈-1.742722。因而主项2cos[θ(t)]≈-0.342160，剩余项R(t)中p≈0.498027，从而其中第一项(即C0项)为C0(t/2π)-1/4≈0.312671。由这两部分(即主项及剩余项中的第一项)可得:
Z(14.1)≈-0.342160+0.312671=-0.029489
类似地，对于t=14.2，(t/2π)1/2≈1.503330，θ(t)≈-1.702141。因而主项2cos[θ(t)]≈-0.261934，剩余项R(t)中p≈0.503330，从而其中第一项(即C0项)为C0(t/2π)-1/4≈0.312129。由这两部分(即主项及剩余项中的第一项)可得:
Z(14.2)≈-0.261934+0.312129=0.050195
显然，如我们所期望的，Z(14.1)与Z(14.2)的符号相反，这表明在t=14.1与t=14.2之间存在Riemannζ函数的非平凡零点。当然，我们还没有考虑C1~C4项。这些项中带有C0的各阶导数，计算起来工作量非同小可，有违休闲的目的，因此就只好偷点懒了。熟悉计算软件的读者可以动用Maple、Matlab或Mathematica之类的计算软件来算一下。对于其他读者来说，我们就把算得的结果直接列在下表中了(其中包括我们手工算得的结果)：
Z(t)-0.0274460.052042
从表格所列的结果中可以看到，剩余项中的高阶项的贡献虽然有所起伏，但与第一项相比在总体上是很小的。对我们来说，这当然是很令人欣慰的结果，因为它表明我们手工所能计算的部分给出的贡献是主要的。这还是t较小的情况，随着t的增加，由于高阶项中所含t的负幂次较高，其贡献会变得越来越小[注二]。不过要严格表述这种趋势并予以证明，却绝非轻而易举。事实上Riemann-Siegel公式作为Z(t)的渐进展开式，其敛散性质与误差估计都是相当复杂的。
现在我们知道了Riemannζ函数在t=14.1与t=14.2之间存在零点。如果我们再仔细点，注意到Z(14.1)与Z(14.2)距离Z(t)=0的远近之比为0.027446:0.052042，用线性内插法可以推测零点的位置为：
t≈14.1+(14.2-14.1)×0.027446/(0.027446+0.052042)≈14.1345。
这与现代数值t=14.1347的相对偏差只有不到十万分之二！即使只估计到C0项(这是我们自己动手所及的范围)，其误差也只有不到万分之二(请读者自行完成内插法计算并验证误差)。
好了，猎物在手，我们的简短休闲也该见好就收了。大家是否体验到了一些成就感呢？要知道，Riemannζ函数的零点可是在Riemann的论文发表之后隔了四十四年才有人公布计算结果的哦。当然，我们用了Riemann-Siegel公式，但这没什么，一个好汉三个帮嘛！再说了，DIY哪有真的百分之百从头做起，连工具设备都包括在内的？想象一下，如果你DIY出来的陶器能够把缺陷控制在万分之二以内，那是何等的风光？当然，倘若你可以退回一百多年，把这个结果抢在Gram之前公布一下，那就更风光了。
在本节的最后，还有一件可能让大家有成就感的事情要提一下。那就是我们所用的估计零点的方法——即从使2cos[θ(t)]为零的点出发，然后依据R(t)的数值对其进行修正[注三]，最后再用Z(t)的符号变化来确定零点的存在——暗示着Riemannζ函数在临界线上的零点数目大致与cos[θ(t)]的零点数目相当。而后者大约有(请大家DIY)θ(t)/π~(t/2π)ln(t/2π)-(t/2π)个。不知大家是否还记得，这正是我们在第五节中介绍过的Riemann那三个命题中迄今无人能够证明的第二个命题！当然，我们这个也不是证明(真可惜，否则的话，嘿嘿……)，但这应该使大家对我们的休闲手段之高明有所认识吧？
注释
1.要注意的是，Z(t)在一个区间的两端具有不同符号只是Riemannζ函数在该区间内存在零点的充分条件，而非必要条件。换句话说，假如我们不幸发现Z(t)在我们所取的两点上具有相同的符号，我们并不能由此直接得出结论说Riemannζ函数在这两点之间不存在零点。至于这是为什么，请大家DIY。
2.但另一方面，随着t的增加，Riemann-Siegel公式中的求和所包含的项数会逐渐增加，因此计算的总体复杂程度并不呈现下降趋势。
3.对于求和中有不止一项的情形，修正所依据的将不仅仅是R(t)，但思路是类似的。
二零零四年五月二十三日写于纽约
二零零四年五月二十三日发表于本站
二零一二年一月三十一日最新修订
来源：科学松鼠会