分形几何是美籍法国数学家芒德勃罗在20世纪70年代创立的一门数学新分支，它研究的是广泛存在于自然界和人类社会中一类没有特征尺度却有自相似结构的复杂形状和现象，它与欧氏几何不同。欧氏几何是关于直觉空间形体关系分析的一门学科，它研究的是直线、圆、正方体等规则的几何形体，这些形体都是人为的。但是，“云彩不是球体、山岭不是锥体、海岸线不是圆周”。
自然界的众多形状都是如此的不规则和支离破碎。对这些形状的认识，欧几里得并未能给后人留下更多的启示，传统的欧氏几何在它们面前显得那样的苍白无力、对大自然的这种挑战，二千年来，激励着一代又一代的数学家上下求索，探寻从欧氏几何体系中解放出来的道路。终于在1975年，芒德勃罗发表了被视为分形几何创立标志的专著《分形：形、机遇和维数》。从此，一门崭新的数学分支——分形几何学跻身于现代数学之林。
经过近二、三十年的开拓和发展，分形研究现已深入到各个科学技术领域，在哲学、数学、物理学、材料科学、计算机科学、地学、医学等众多领域，甚至在电影、美术和书法等艺术领域都得到了广泛的应用，对现代科学产生了至为深远的影响，所以美国著名物理学家惠勒说：“可以相信，明天谁不熟悉分形，谁就不能被认为是科学上的文化人！”
一般是分数（也可以是整数）。显见，分形几何给学生带来的是一种全新的几何观念．让他们学习分形几何初步知识，帮助他们实现从欧氏几何领域向分形几何领域的认知的初步跨越。由于分形是一类无特征尺度的几何形体，所以无法用通常的度量：长度或重量或体积等参数去刻划其特征，而只能用分数维作为其复杂程度的定量表征，这是和学生已形成的传统维数观念相悖的：在欧氏几何里，点是0维的，线段是1维的，正方形是2维的，正方体是3维的；而分形的维数却一般是分数：三分康托尔集、三元科赫曲线、门杰海绵的维数分别是0.6309、1.2618、2.7268．这种维数是新颖的，将对学生固有的维数观念产生强劲的冲击。分形几何学可以用于表述大自然创造的复杂的真实物体，例如下面的例子。
（1）一些经典分形图：康托尔三分集、科赫雪花曲线、谢尔宾斯基垫片、“有皮没有肉”的门杰海绵、恶魔的阶梯等；
（2）科赫雪花曲线的字符串替换算法作图；
（3）特征长度，分形的自相似性的认识；
（4）海岸线的测量问题，海岸线与科赫曲线的本质联系；
（5）皮亚诺曲线与分数维的初步知识；
（6）“病态”怪物画廊。
来源：中国科普博览