数学能否达到符号化水平，受制于文化

数学其实就是一大堆符号:数字符号0、1、2、3、4、5、6、7、8、9……;运算符号+、-、×、÷、dy、dx、∫……;常量符号a、b、c……,变量符号x、y、z……;关系符号=、<、>、∥、⊥、≌、~……;函数符号f(x)、sin、cos、tg、ctg……
　　
　　用符号有什么好处?
　　
　　(1)“字母将代数(按:包括整个数学)从字句的束缚下解放出来”,不再是“一大串累赘的言语”,并免去了“人类语言的种种含糊和误解”。(2)符号能代表事物的“一类”(按:如“1”就可代表“元素惟一的任一集合”、“单位1”等等“类”),使数学摆脱了单个对象的局限而具有了很高的一般性。(3)使数学运算的过程和方法也成为象数字那样的研究对象,便于研究各种运算规律——如结合律(a+b)×c=a×c+b×c,乘方的定义aa……a=an,等等。(引自T·丹齐克《数——科学的语言》,苏仲湘译,商务印书馆1985年4月版65-73页)
　　
　　丹齐克概括说:“在各个不同国家,代数的发展通常连续经历三个阶段:文辞阶段,缩写阶段和符号阶段。”(同上书第65页)
　　
　　故事1:符号“0”的创造历程。
　　
　　把“没有”用“空位”表示,古巴比伦、古中国都会(比如中国古代的算筹和后来的算盘都用空位表示“没有”),但没有特定的符号。巴比伦人曾在公元前3世纪创造了记号(象斜翘着的π)来表示空位,玛雅人也曾创造过表示空位的零号(像一只贝壳或眼睛),但都没把零看作一个独立的数。
　　
　　印度人聪明些:他们在公元前2世纪至公元3世纪用“·”表示0,但至迟到9世纪这个“·”已经演变成圆圈“0”(印度中央邦瓜廖尔城立于公元876年的一块石碑上,就明白无误地刻着表示零的“0”);此外更重要的,他们把“0”看作可实行运算的数,还制定了关于零的运算法则。
　　
　　印度数码公元8世纪传入阿拉伯国家,后来阿拉伯人又把它传到欧洲,并逐渐演变成现在的0、1、2、3、4、5、6、7、8、9(即所谓“阿拉伯数字”,其实是印度人首创的),不过其中的零号传播较晚——估计在13世纪初。
　　
　　印度人“用圆圈符号‘0’表示零,可以说是数学史上的一大发明。在数学史上,‘0’的意义是多方面的,它既表示‘无’的概念,又表示位值记数中的空位,而且是数域中的一个基本元素,可以与其它数一起运算。”(其实“0”还有“数轴正半轴起点”、“数轴正负数分界点”的意义)
　　
　　特别要注意加粗了的最后那个意义——只有“0”成了实在的“数”,简便、清晰的笔算才能形成。(引自李文林《数学史概论》108-109)
　　
　　故事2:部分常用数学符号的创造者与创造时间。
　　
　　+、-(德国J·Widman,1489年);×(英国W·Oughtred,1631年);÷(瑞士J·H·Rehn,1659年);=(英国R·Recorde,1557年);∷(比例,英国W·Oughtred,1631年);>,<(英国T·Harriot,16世纪);an(法国N·Chuquet,1484年);√----(奥地利C·Rudolff,16世纪);已知数a、b、c、……,未知数x、y、z、……(法国Descartes即笛卡尔,1637年);f(x)(瑞士Euler即欧拉,1748-1770年);dx、dy(法国Leibniz即,1684年);∫(法国Leibniz即,1675年)。(引自同上书)
　　
　　故事3:中国数学停滞在丹齐克说的“缩写阶段”。
　　
　　直到宋、元时期,中国数学仍只发展到“代数符号化的尝试”水平:数字仍然是一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、万这样的方块字,或者是用算筹(竹、木或金属小棒)摆成的一些样式(我打不出来);进步到以“元”、“太”、“天”、“地”、“人”、“物”等方块字来表示各个不同的未知数,但只能算是李先生所说的“半符号代数”。
　　
　　即使这半步的发展也沦为“绝唱”:“元末以后,中国传统数学骤转衰落。整个明清两代,不仅未再产生出能与《数学九章》、《四元宝鉴》相媲美的数学杰作,而且在清中叶乾嘉学派重新发掘研究以前,……宋元数学的精粹,竟长期失传,无人通晓。明初开始长达三百年的时期内,除了珠算的发展及与之相关的着作(如程大位《算法统宗》,1502)的出现,中国传统数学研究不仅没有新的创造,反而倒退了。……16、17世纪,当近代数学在欧洲蓬勃兴起之后,中国数学就更明显地落后了。”(引自同上书)
　　
　　反思:什么原因使中国传统数学达不到符号化水平?
　　
　　李文林举出了外因和内因:
　　
　　外因是数学外部文化(、经济和教育的制度,思想观念)的桎梏:“皇朝更迭的漫长的封建社会,在晚期表现出日趋严重的停滞性与腐朽性,数学发展缺乏社会动力和思想刺激。元代以后,科举考试制度中的《明算科》完全废除,唯以八股取士,数学家社会地位低下,研究数学者没有出路,自由探讨受到束缚甚至遭禁锢。……而无论是笔算数学还是演绎几何(按:在西方它们早已盛行),在中国的传播都由于‘天朝帝国’的妄大、自守而显得困难和缓慢。”
　　
　　内因是数学自身文化的桎梏:“中国传统数学本身也存在着弱点。……筹算本身却有很大的局限性。在筹算框架内发展起来的半符号代数……不能突破筹算的限制演进为彻底的符号代数。筹式方程运算不但笨拙累赘,而且对五个以上未知量的方程组无能为力(按:因为摆算筹的长方形框只有四个方位)。另一方面,……缺乏演绎论证的算法倾向(按:中国传统数学只重实用性的运算方法、轻视公理化的演绎论证)……难以升华为现代数学。”
　　
　　其实还可补充一条重要的数学外部文化原因:我们的方块字强调表意,哪怕一个小小的偏旁部首都有含义,很难把它们切割出来成为抽象符号;印度、阿拉伯、欧洲等地的文字却由若干表音的字母连接而成,每个字母几乎毫无独立意义,于是易于切割成一个个抽象的符号。
　　
　　不得不慨叹:数学的发展既受外部文化的重大影响,又受自身文化特质的重大影响!