作者：卢昌海
Montgomery关于Riemannζ函数非平凡零点分布的论文于1973年发表在了美国数学学会的系列出版物《纯数学专题讨论文集》(Proc.Symp.PureMath.)上。但最初几年里它并没有吸引多少眼球，因为这种存在于零点分布与随机矩阵理论之间的关联无论有多么奇妙，在当时都还只是一个纯粹的猜测，既没有严格的数学证明，也没有直接的数值证据。我们在第十三、十四两节中曾经介绍过对Riemannζ函数非平凡零点进行大规模计算的部分历史。在Montgomery的论文发表之初，人们对零点的计算还只进行到几百万个，而且——如我们在第十五节中所说——那些计算大都只是验证了“前N个零点”位于临界线上，却不曾涉及零点的具体数值。既然没有具体数值，自然也就无法用来检验Montgomery的对关联假设了。更何况——如我们在第十六节中所说——为了检验后者，我们需要研究虚部很大的零点，这显然也是当时的计算所远远不能触及的。因此当时就连Montgomery自己也觉得对他的猜测进行数值验证将是极为遥远的将来的事情。
但是Montgomery和我们在第十四节中提到过的那位输掉了葡萄酒的Zagier一样大大低估了计算机领域的发展速度。
在Montgomery的论文发表五年之后的某一天，他又来到了普林斯顿。不过这次不是为了觐见Selberg，而是来做一个有关Riemannζ函数零点分布的演讲。在那次演讲的听众中有一位来自32英里外的贝尔实验室(BellLabs)的年轻人，他被Montgomery所讲述的零点分布与随机矩阵理论间的关联深深地吸引住了。这位年轻人所在的实验室恰好拥有当时著名的Cray巨型计算机。这位年轻人就是我们在第十六节中提到的Odlyzko。
普林斯顿真是Montgomery的福地，五年前与Dyson在这里的相遇，使他了解到了零点分布与随机矩阵理论之间的神秘关联，从而为他的研究注入了一种奇异的魅力。五年后又是在这里，这种奇异的魅力打动了Odlyzko，从而有了我们在第十六节中介绍过的Odlyzko对Riemannζ函数非平凡零点的大规模计算分析。这些计算为Montgomery所猜测的零点分布与随机矩阵理论间的关联提供了大量的数值证据[注一]。这种关联，即经过适当的归一化之后的Riemannζ函数非平凡零点的间距分布与Gauss幺正系综(参阅第十八节)的本征值间距分布相同，也因此渐渐地被人们称为了Montgomery-Odlyzko定律(Montgomery-OdlyzkoLaw)[注二]。
Montgomery-Odlyzko定律虽然是用Gauss幺正系综来表述的，但我们在第十八节中曾经提到过，随机矩阵理论的本征值分布在矩阵阶数N→∞时具有普适性。因此Montgomery-Odlyzko定律所给出的关联并不限于Gauss幺正系综。不仅如此，这种本征值分布的普适性还有一层含义，那就是它不仅在各种系综下都相同，而且对系综中任何一个典型的系统——即任何一个典型的随机厄密矩阵——都相同。换句话说，我们不仅不需要指定系综的分布函数，甚至连系综本身都不需要，只要随便取出一个随机厄密矩阵就可以了。因此Montgomery-Odlyzko定律实际上意味着Riemannζ函数非平凡零点的分布可以用任何一个典型随机厄密矩阵的本征值分布来描述[注三]。
Montgomery当初的研究——如我们在第十六节中介绍的——只涉及零点分布的对关联函数。在他之后，人们对零点分布的高阶关联函数也作了研究。1996年，Z.Rudnick与P.Sarnak及E.B.Bogomolny与J.P.Keating分别“证明”了零点分布的高阶关联函数也与相应的随机厄密矩阵的本征值关联函数相同。美中不足的是，我们不得不对这种“证明”加上引号，因为它们和Montgomery的研究一样，并不是真正严格的证明，它们或是引进了额外的限制条件(如Z.Rudnick与P.Sarnak的研究)，或是运用了本身尚未得到证明的Riemann猜想及强孪生素数猜想(如E.B.Bogomolny与J.P.Keating的研究)。
但即便如此，所有这些理论及计算的结果还是非常清楚地显示出Riemannζ函数非平凡零点的分布与随机厄密矩阵的本征值分布——从而与由随机厄密矩阵理论所描述的一系列复杂物理体系的性质——之间的确存在着令人瞩目的关联。Montgomery-Odlyzko定律在“经验”意义上的成立几乎已是一个毋庸置疑的事实。
二十.Hilbert-Pólya猜想
那么在Riemannζ函数非平凡零点这样的纯数学客体与由随机矩阵理论所描述的纯物理现象之间为什么会出现像Montgomery-Odlyzko定律那样的关联呢？很遗憾，这是一个我们至今也未能完全理解的谜团。不过有意思的是，虽然在与Montgomery论文的发表已相隔几十年的今天我们仍未能彻底理解Montgomery-Odlyzko定律的本质，可是远在Montgomery的论文发表之前六十余年前的二十世纪一、二十年代，数学界就曾经流传过一个与Montgomery-Odlyzko定律极有渊源的猜想，这个猜想也是用两个人的名字命名的，叫做Hilbert-Pólya猜想(Hilbert-Pólyaconjecture)，它的内容是这样的：
Hilbert-Pólya猜想：Riemannζ函数的非平凡零点与某个厄密算符的本征值相对应。
当然，确切地讲，Hilbert-Pólya猜想指的是：如果把Riemannζ函数的非平凡零点写成ρ=1/2+it的形式，则那些t与某个厄密算符的本征值一一对应[注四]。我们知道，厄密算符的本征值全都是实数。因此如果那些t与某个厄密算符的本征值相对应，则它们必定全都是实数，从而意味着所有非平凡零点ρ=1/2+it的实部都等于1/2，这正是Riemann猜想的内容。因此如果Hilbert-Pólya猜想成立，则Riemann猜想也必定成立。
我们在上节中提到，Montgomery-Odlyzko定律表明Riemannζ函数非平凡零点的分布可以用任何一个典型随机厄密矩阵的本征值分布来描述。这种描述虽然奇妙，终究只是统计意义上的描述。但如果Hilbert-Pólya猜想成立，则Riemannζ函数的非平凡零点干脆就直接与某个厄密矩阵的本征值一一对应了。这是严格意义上的对应，有了这种对应，统计意义上的对应自然就不在话下。因此Hilbert-Pólya猜想虽然比Montgomery-Odlyzko定律早了六十余年，却是一个比Montgomery-Odlyzko定律更强的命题！
历史真是富有戏剧性，从二十世纪早期开始流传的Hilbert-Pólya猜想居然在无形之中与半个多世纪之后才出现的Montgomery-Odlyzko定律做了跨越时间的遥远呼应。
但这一呼应实在是太遥远了，Montgomery的论文尚且因为缺乏证据而遭到冷场，Hilbert-Pólya猜想自然就更无人问津了。这种冷落是如此彻底，以至于当Montgomery的论文及后续研究重新燃起人们对Hilbert-Pólya猜想的兴趣，并开始追溯它的起源时，大家惊讶地发现不仅Hilbert和GeorgePólya(1887-1985)两人不曾在人们找寻得到的任何发表物或手稿之中留下过一丝一毫有关Hilbert-Pólya猜想的内容。而且在Montgomery之前所有其他人的文字之中竟然也找不到任何与这一猜想有关的叙述。一个隐约流传了大半个世纪的数学猜想竟似乎没有落下过半点文字记录，却一直流传了下来，真是一个奇迹！
但Odlyzko执著地想要探寻这一奇迹的起点。那时候Hilbert早已去世，Pólya却还健在。1981年12月8日，Odlyzko给Pólya发去了一封信，询问Hilbert-Pólya猜想的来龙去脉。当时Pólya已是九十四岁的高龄，卧病在床，基本不再执笔回复信件了，但Odlyzko的信却很及时地得到了他的亲笔回复。毕竟，对一位数学家来说，自己的名字能够与伟大的Hilbert出现在同一个猜想中是一种巨大的荣耀。Pólya在回信中这样写道[注五]：
很感谢你12月8日的来信。我只能叙述一下自己的经历。
1914年初之前的两年里我在Göttingen。我打算向Landau学习解析数论。有一天他问我：“你学过一些物理，你知道任何物理上的原因使Riemann猜想必须成立吗？”我回答说，如果ξ函数的非平凡零点与某个物理问题存在这样一种关联，使得Riemann猜想等价于该物理问题中所有本征值都是实数这一事实，那么Riemann猜想就必须成立。
三年后(1985年)Pólya也离开了人世，他给Odlyzko的这封回信便成了迄今所知有关Hilbert-Pólya猜想的唯一文字记录。至于早已去世的Hilbert在什么场合下提出过类似的想法，则也许将成为数学史上一个永远的谜团了。
二十一.Riemann体系何处觅？
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