用均值不等式求解一类函数值域

作者：学夫子
　　
　　这是中学数学里面比较重要的内容。我在这里总结总结一般的方法，以方便大家的学习。很多学生不太了解其中的变换方式，以为是一项技巧性比较强的活，其实不然，里面其实只需要简单的步骤。
　　
　　在求解两个多项式之商类型函数的值域时,可以考虑将之配凑成均值不等式求解。求解不是问题，重点在配了，如何配才能配成均值不等式？一句话可以回答：想方设法将分子的未知项配凑成分母的形式。就这一道题而言。分母刨开2不看，就是一个x-1，那么我们就尽量将分子的每一个x都配凑成，这还好办，x=x-1+1
　　
　　如果你对这个过程不熟悉，你就可以将令t=x-1，则原函数变成：
　　
　　然后再用均值不等式求解即可。显然可以看出来，我们的基本方向，就是想把分母换成单一的字母，从而方便我们的分离系数。因为只有当分母为单一元素的时候，才能够分离。中学数学里很多时候都用这种方法，比如在我们求解函数解析式的一类题目时。
　　
　　相信大家还能记得起我们的方法,那就是换元,令t=2x+5,反解x,带入右边将之化成关于t的函数,从而求解出f(x)。这样做的根本目的，无非就是想把左边括号里的多项式换成单个字母，从而求解。这和我们求上面求值域的方法是不是如出一辙？借助这种思想，我们当然就可以给一开始的什么“配凑法”也搞一个换元法：
　　
　　中学数学之所以很多学生感到复杂,无非就是因为内容太多,方法太多.其实很多数学思想都是相通的.如果在平时的数学教学中能够将那些看起来不同的思想统一起来,对学生的学习当然是大有裨益的.（来源：学夫子数学博客）