2016年高考全国2卷理数试题（含答案）
2023-11-17 04:28:26
2016年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.
4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）已知在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是
（A） （B）（C）（D）
（2）已知集合，，则
（A）（B）（C）（D）
（3）已知向量，且，则m=
（A）－8 （B）－6 （C）6 （D）8
（4）圆的圆心到直线 的距离为1，则a=
（A） （B） （C） （D）2
（5）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为
（A）24 （B）18 （C）12 （D）9
（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为
（A）20π （B）24π （C）28π （D）32π
（7）若将函数y=2s 2x的图像向左平移个单位长度，则评议后图象的对称轴为
（A）x=- (k∈Z) （B）x=+ (k∈Z) （C）x=- (k∈Z) （D）x=+ (k∈Z)
（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=
（A）7 （B）12 （C）17 （D）34
（9）若cos(-α)= ，则s 2α=
（A） （B） （C）- （D）-
（10）从区间随机抽取个数,，...，，，，...，，构成n个数对，，...，，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率 的近似值为
（A） （B） （C） （D）
（11）已知F1，F2是双曲线E的左，右焦点，点M在E上，M F1与 轴垂直，s ,则E的离心率为
（A） （B） （C） （D）2
（12）已知函数满足，若函数与图像的交点为 则
（A）0 （B）m （C） （D）
第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共3小题，每小题5分
(13)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若cos A=，cos C=，a=1，则b= .
(14)α、β是两个平面，m、n是两条直线，有下列四个命题：
（1）如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.
（2）如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.
（3）如果α∥β，mα，那么m∥β.
（4）如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.
其中正确的命题有 .(填写所有正确命题的编号）
（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说："我与乙的卡片上相同的数字不是2"，乙看了丙的卡片后说："我与丙的卡片上相同的数字不是1"，丙说："我的卡片上的数字之和不是5"，则甲的卡片上的数字是 。
（16）若直线y=kx+b是曲线y=x+2的切线，也是曲线y=（x+2）的切线，则b= 。
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本题满分12分）
为等差数列的前n项和，且记，其中表示不超过x的最大整数，如.
（I）求；
（II）求数列的前1 000项和.
18.（本题满分12分）
某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：
上年度出险次数 0 1 2 3 4 5 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
一年内出险次数 0 1 2 3 4 5 概率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0. 05 （I）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
（II）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；
（III）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.
19.（本小题满分12分）
如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E,F分别在AD,CD上，AE=CF=，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△的位置，.
（I）证明：平面ABCD；
（II）求二面角的正弦值.
20. （本小题满分12分）
已知椭圆E:的焦点在轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点，点N在E上，MA⊥NA.
（I）当t=4，时，求△N的面积；
（II）当时，求k的取值范围.
（21）（本小题满分12分）
(I)讨论函数 的单调性，并证明当 >0时，
(II)证明：当 时，函数 有最小值.设g（x）的最小值为，求函数 的值域.
请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号
（22）（本小题满分10分）选修4-1：集合证明选讲
如图，在正方形ABCD，E,G分别在边DA,DC上（不与端点重合），且DE=DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F.
(I) 证明：B,C,E,F四点共圆；
(II)若AB=1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积.
（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直线坐标系xoy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25.
（I）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
（II）直线l的参数方程是（t为参数）,l与C交于A、B两点，OABO=，求l的斜率。
（24）（本小题满分10分），选修4-5：不等式选讲
已知函数f(x)= Ox-O+Ox+O，M为不等式f(x) ＜2的解集.
（I）求M；
（II）证明：当a,b∈M时，Oa+bO＜O1+abO。
2016年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学答案
第Ⅰ卷
一.选择题：
（1）【答案】A
（2）【答案】C
（3）【答案】D
（4）【答案】A
（5）【答案】B
（6）【答案】C
（7）【答案】B
（8）【答案】C
（9）【答案】D
（10）【答案】C
（11）【答案】A
（12）【答案】C
第Ⅱ卷
二、填空题
(13)【答案】
(14) 【答案】②③④
（15）【答案】1和3
（16）【答案】
三.解答题
17.（本题满分12分）
【答案】（Ⅰ），， ；（Ⅱ）1893.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）先求公差、通项，再根据已知条件求；（Ⅱ）用分段函数表示，再由等差数列的前项和公式求数列的前1 000项和．
试题解析：（Ⅰ）设的公差为，据已知有，解得
所以的通项公式为
（Ⅱ）因为
所以数列的前项和为
考点：等差数列的的性质，前项和公式，对数的运算.
【结束】
18.（本题满分12分）
【答案】（Ⅰ）根据互斥事件的概率公式求解；（Ⅱ）由条件概率公式求解；（Ⅲ）记续保人本年度的保费为，求的分布列为，在根据期望公式求解..
【解析】
试题分析：
试题解析：（Ⅰ）设表示事件："一续保人本年度的保费高于基本保费"，则事件发生当且仅当一年内出险次数大于1，故
（Ⅱ）设表示事件："一续保人本年度的保费比基本保费高出"，则事件发生当且仅当一年内出险次数大于3，故
又，故
因此所求概率为
（Ⅲ）记续保人本年度的保费为，则的分布列为
因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为
考点： 条件概率，随机变量的分布列、期望.
【结束】
19.（本小题满分12分）
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）证，再证，最后证；（Ⅱ）用向量法求解.
试题解析：（I）由已知得，，又由得，故.
因此，从而.由,得.
由得.所以，.
于是，，
故.
又，而，
所以.
（II）如图，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，.设是平面的法向量，则，即，所以可以取.设是平面的法向量，则，即，所以可以取.于是， .因此二面角的正弦值是.
考点：线面垂直的判定、二面角.
【结束】
20.（本小题满分12分）
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）先求直线的方程，再求点的纵坐标，最后求的面积；（Ⅱ）设，，将直线的方程与椭圆方程组成方程组，消去，用表示，从而表示，同理用表示，再由求.
试题解析：（I）设，则由题意知，当时，的方程为，.
由已知及椭圆的对称性知，直线的倾斜角为.因此直线的方程为.
将代入得.解得或，所以.
因此的面积.
（II）由题意，，.
将直线的方程代入得.
由得，故.
由题设，直线的方程为，故同理可得，
由得，即.
当时上式不成立，
因此.等价于，
即.由此得，或，解得.
因此的取值范围是.
考点：椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系.
【结束】
（21）（本小题满分12分）
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）先求定义域，用导数法求函数的单调性，当时，证明结论；（Ⅱ）用导数法求函数的最值，在构造新函数，又用导数法求解.
试题解析：（Ⅰ）的定义域为.
且仅当时，，所以在单调递增，
因此当时，
所以
（II）
由（I）知，单调递增，对任意
因此，存在唯一使得即，
当时，单调递减；
当时，单调递增.
因此在处取得最小值，最小值为
于是，由单调递增
所以，由得
因为单调递增，对任意存在唯一的
使得所以的值域是
综上，当时，有，的值域是
考点： 函数的单调性、极值与最值.
【结束】
请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号
（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）证再证四点共圆；（Ⅱ）证明四边形的面积是面积的2倍.
试题解析：（I）因为,所以
则有
所以由此可得
由此所以四点共圆.
（II）由四点共圆，知，连结，
由为斜边的中点，知,故
因此四边形的面积是面积的2倍，即
考点： 三角形相似、全等，四点共圆
【结束】
（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
试题分析：（I）利用，可得C的极坐标方程；（II）先将直线的参数方程化为普通方程，再利用弦长公式可得的斜率．
试题解析：（I）由可得的极坐标方程
（II）在（I）中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为
由所对应的极径分别为将的极坐标方程代入的极坐标方程得
于是
由得，
所以的斜率为或.
考点：圆的极坐标方程与普通方程互化， 直线的参数方程，点到直线的距离公式.
【结束】
（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.
【解析】
试题分析：（I）先去掉绝对值，再分，和三种情况解不等式，即可得；（II）采用平方作差法，再进行因式分解，进而可证当，时，．
试题解析：（I）
当时，由得解得；
当时， ；
当时，由得解得.
所以的解集.
（II）由（I）知，当时，，从而
，
因此
考点：绝对值不等式，不等式的证明.
【结束】
理科数学
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.
4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）已知在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是
（A） （B）（C）（D）
（2）已知集合，，则
（A）（B）（C）（D）
（3）已知向量，且，则m=
（A）－8 （B）－6 （C）6 （D）8
（4）圆的圆心到直线 的距离为1，则a=
（A） （B） （C） （D）2
（5）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为
（A）24 （B）18 （C）12 （D）9
（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为
（A）20π （B）24π （C）28π （D）32π
（7）若将函数y=2s 2x的图像向左平移个单位长度，则评议后图象的对称轴为
（A）x=- (k∈Z) （B）x=+ (k∈Z) （C）x=- (k∈Z) （D）x=+ (k∈Z)
（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=
（A）7 （B）12 （C）17 （D）34
（9）若cos(-α)= ，则s 2α=
（A） （B） （C）- （D）-
（10）从区间随机抽取个数,，...，，，，...，，构成n个数对，，...，，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率 的近似值为
（A） （B） （C） （D）
（11）已知F1，F2是双曲线E的左，右焦点，点M在E上，M F1与 轴垂直，s ,则E的离心率为
（A） （B） （C） （D）2
（12）已知函数满足，若函数与图像的交点为 则
（A）0 （B）m （C） （D）
第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共3小题，每小题5分
(13)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若cos A=，cos C=，a=1，则b= .
(14)α、β是两个平面，m、n是两条直线，有下列四个命题：
（1）如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.
（2）如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.
（3）如果α∥β，mα，那么m∥β.
（4）如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.
其中正确的命题有 .(填写所有正确命题的编号）
（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说："我与乙的卡片上相同的数字不是2"，乙看了丙的卡片后说："我与丙的卡片上相同的数字不是1"，丙说："我的卡片上的数字之和不是5"，则甲的卡片上的数字是 。
（16）若直线y=kx+b是曲线y=x+2的切线，也是曲线y=（x+2）的切线，则b= 。
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本题满分12分）
为等差数列的前n项和，且记，其中表示不超过x的最大整数，如.
（I）求；
（II）求数列的前1 000项和.
18.（本题满分12分）
某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：
上年度出险次数 0 1 2 3 4 5 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
一年内出险次数 0 1 2 3 4 5 概率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0. 05 （I）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
（II）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；
（III）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.
19.（本小题满分12分）
如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E,F分别在AD,CD上，AE=CF=，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△的位置，.
（I）证明：平面ABCD；
（II）求二面角的正弦值.
20. （本小题满分12分）
已知椭圆E:的焦点在轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点，点N在E上，MA⊥NA.
（I）当t=4，时，求△N的面积；
（II）当时，求k的取值范围.
（21）（本小题满分12分）
(I)讨论函数 的单调性，并证明当 >0时，
(II)证明：当 时，函数 有最小值.设g（x）的最小值为，求函数 的值域.
请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号
（22）（本小题满分10分）选修4-1：集合证明选讲
如图，在正方形ABCD，E,G分别在边DA,DC上（不与端点重合），且DE=DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F.
(I) 证明：B,C,E,F四点共圆；
(II)若AB=1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积.
（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直线坐标系xoy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25.
（I）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
（II）直线l的参数方程是（t为参数）,l与C交于A、B两点，OABO=，求l的斜率。
（24）（本小题满分10分），选修4-5：不等式选讲
已知函数f(x)= Ox-O+Ox+O，M为不等式f(x) ＜2的解集.
（I）求M；
（II）证明：当a,b∈M时，Oa+bO＜O1+abO。
2016年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学答案
第Ⅰ卷
一.选择题：
（1）【答案】A
（2）【答案】C
（3）【答案】D
（4）【答案】A
（5）【答案】B
（6）【答案】C
（7）【答案】B
（8）【答案】C
（9）【答案】D
（10）【答案】C
（11）【答案】A
（12）【答案】C
第Ⅱ卷
二、填空题
(13)【答案】
(14) 【答案】②③④
（15）【答案】1和3
（16）【答案】
三.解答题
17.（本题满分12分）
【答案】（Ⅰ），， ；（Ⅱ）1893.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）先求公差、通项，再根据已知条件求；（Ⅱ）用分段函数表示，再由等差数列的前项和公式求数列的前1 000项和．
试题解析：（Ⅰ）设的公差为，据已知有，解得
所以的通项公式为
（Ⅱ）因为
所以数列的前项和为
考点：等差数列的的性质，前项和公式，对数的运算.
【结束】
18.（本题满分12分）
【答案】（Ⅰ）根据互斥事件的概率公式求解；（Ⅱ）由条件概率公式求解；（Ⅲ）记续保人本年度的保费为，求的分布列为，在根据期望公式求解..
【解析】
试题分析：
试题解析：（Ⅰ）设表示事件："一续保人本年度的保费高于基本保费"，则事件发生当且仅当一年内出险次数大于1，故
（Ⅱ）设表示事件："一续保人本年度的保费比基本保费高出"，则事件发生当且仅当一年内出险次数大于3，故
又，故
因此所求概率为
（Ⅲ）记续保人本年度的保费为，则的分布列为
因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为
考点： 条件概率，随机变量的分布列、期望.
【结束】
19.（本小题满分12分）
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）证，再证，最后证；（Ⅱ）用向量法求解.
试题解析：（I）由已知得，，又由得，故.
因此，从而.由,得.
由得.所以，.
于是，，
故.
又，而，
所以.
（II）如图，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，.设是平面的法向量，则，即，所以可以取.设是平面的法向量，则，即，所以可以取.于是， .因此二面角的正弦值是.
考点：线面垂直的判定、二面角.
【结束】
20.（本小题满分12分）
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）先求直线的方程，再求点的纵坐标，最后求的面积；（Ⅱ）设，，将直线的方程与椭圆方程组成方程组，消去，用表示，从而表示，同理用表示，再由求.
试题解析：（I）设，则由题意知，当时，的方程为，.
由已知及椭圆的对称性知，直线的倾斜角为.因此直线的方程为.
将代入得.解得或，所以.
因此的面积.
（II）由题意，，.
将直线的方程代入得.
由得，故.
由题设，直线的方程为，故同理可得，
由得，即.
当时上式不成立，
因此.等价于，
即.由此得，或，解得.
因此的取值范围是.
考点：椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系.
【结束】
（21）（本小题满分12分）
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）先求定义域，用导数法求函数的单调性，当时，证明结论；（Ⅱ）用导数法求函数的最值，在构造新函数，又用导数法求解.
试题解析：（Ⅰ）的定义域为.
且仅当时，，所以在单调递增，
因此当时，
所以
（II）
由（I）知，单调递增，对任意
因此，存在唯一使得即，
当时，单调递减；
当时，单调递增.
因此在处取得最小值，最小值为
于是，由单调递增
所以，由得
因为单调递增，对任意存在唯一的
使得所以的值域是
综上，当时，有，的值域是
考点： 函数的单调性、极值与最值.
【结束】
请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号
（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）证再证四点共圆；（Ⅱ）证明四边形的面积是面积的2倍.
试题解析：（I）因为,所以
则有
所以由此可得
由此所以四点共圆.
（II）由四点共圆，知，连结，
由为斜边的中点，知,故
因此四边形的面积是面积的2倍，即
考点： 三角形相似、全等，四点共圆
【结束】
（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
试题分析：（I）利用，可得C的极坐标方程；（II）先将直线的参数方程化为普通方程，再利用弦长公式可得的斜率．
试题解析：（I）由可得的极坐标方程
（II）在（I）中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为
由所对应的极径分别为将的极坐标方程代入的极坐标方程得
于是
由得，
所以的斜率为或.
考点：圆的极坐标方程与普通方程互化， 直线的参数方程，点到直线的距离公式.
【结束】
（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.
【解析】
试题分析：（I）先去掉绝对值，再分，和三种情况解不等式，即可得；（II）采用平方作差法，再进行因式分解，进而可证当，时，．
试题解析：（I）
当时，由得解得；
当时， ；
当时，由得解得.
所以的解集.
（II）由（I）知，当时，，从而
，
因此
考点：绝对值不等式，不等式的证明.
【结束】
