2016年高考全国3卷理数试题（含答案）
2023-11-30 05:50:07
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试题类型：
2016年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.
4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）设集合S= ，则ST=
(A) [2，3] (B)（- ，2] [3,+）
(C) [3,+） (D)（0，2] [3,+）
（2）若z=1+2i，则
(A)1 (B) -1 (C) i (D)-i
（3）已知向量 , 则ABC=
(A)300 (B) 450 (C) 600 (D)1200
（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。图中A点表示十月的平均最高气温约为150C，B点表示四月的平均最低气温约为50C。下面叙述不正确的是
(A) 各月的平均最低气温都在00C以上
(B) 七月的平均温差比一月的平均温差大
(C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同
(D) 平均气温高于200C的月份有5个
（5）若 ，则
(A) (B) (C) 1 (D)
（6）已知，，，则
（A） （B）（C）（D）
（7）执行下图的程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=
（A）3
（B）4
（C）5
（D）6
（8）在中，，BC边上的高等于,则
（A） （B） （C） （D）
(9)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为
（A）
（B）
（C）90
（D）81
(10) 在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球，若ABBC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是
（A）4π （B） （C）6π （D）
（11）已知O为坐标原点，F是椭圆C：的左焦点， A，B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线经过OE的中点，则C的离心率为
（A） （B） （C） （D）
（12）定义"规范01数列"{}如下：{}共有项，其中m项为0，m项为1，且对任意，中0的个数不少于1的个数.若m=4，则不同的"规范01数列"共有
（A）18个 （B）16个 （C）14个 （D）12个
第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共3小题，每小题5分
（13）若x，y满足约束条件 则z=x+y的最大值为_____________.
（14）函数的图像可由函数的图像至少向右平移_____________个单位长度得到。
（15）已知f(x)为偶函数，当时，，则曲线y=f(x)，在带你（1，-3）处的切线方程是_______________。
（16）已知直线与圆交于A，B两点，过A，B分别做l的垂线与x轴交于C，D两点，若，则__________________.
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）（本小题满分12分）
已知数列的前n项和，，其中0
（I）证明是等比数列，并求其通项公式
（II）若 ，求
（18）（本小题满分12分）
下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图
（I）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明
（II）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量。
（19）（本小题满分12分）
如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥地面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，=D，N为PC的中点.
（I）证明∥平面PAB;
（II）求直线与平面P所成角的正弦值.
（20）（本小题满分12分）
已知抛物线C： 的焦点为F，平行于x轴的两条直线分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点.
（I）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；
（II）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.
（21）（本小题满分12分）
设函数f（x）=acos2x+（a-1）（cosx+1），其中a＞0，记的最大值为A.
（Ⅰ）求f＇（x）；
（Ⅱ）求A；
（Ⅲ）证明≤2A.
请考生在[22]、[23]、[24]题中任选一题作答。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。如果多做，则按所做的第一题计分。
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，⊙O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点.
（I）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；
（II）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明OG⊥CD.
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 .
（I）写出的普通方程和的直角坐标方程；
（II）设点P在上，点Q在上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数
（I）当a=2时，求不等式的解集；
（II）设函数当时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围.
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试题类型：新课标Ⅲ
2016年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学正式答案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）D （2）C （3）A （4）D （5）A （6）A （7）B
（8）C （9）B （10）B （11）A （12）C
第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。第（22）题~第（24）题未选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共3小题，每小题5分
（13）
（14）
（15）
（16）4
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（17）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题意得，故，，.
由，得，即.由，得，所以.
因此是首项为，公比为的等比数列，于是．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，由得，即，
解得．
（18）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由折线图这数据和附注中参考数据得
，，，
，
.
因为与的相关系数近似为0.99，说明与的线性相关相当高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系.
（Ⅱ）由及（Ⅰ）得，
.
所以，关于的回归方程为：.
将2016年对应的代入回归方程得：.
所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨.
（19）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由已知得，取的中点，连接，由为中点知，.
又，故平行且等于，四边形为平行四边形，于是.
因为平面，平面，所以平面.
（Ⅱ）取的中点，连结，由得，从而，且.
以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意知，
，，，，
，，.
设为平面的法向量，则，即，可取，
于是.
（20）解：由题设.设，则，且
.
记过两点的直线为，则的方程为. .....3分
（Ⅰ）由于在线段上，故.
记的斜率为，的斜率为，则
.
所以. ......5分
（Ⅱ）设与轴的交点为，
则.
由题设可得，所以（舍去），.
设满足条件的的中点为.
当与轴不垂直时，由可得.
而，所以.
当与轴垂直时，与重合.所以，所求轨迹方程为. ....12分
（21）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）．
（Ⅱ）当时，
因此，． .........4分
当时，将变形为．
令，则是在上的最大值，，，且当时，取得极小值，极小值为．
令，解得（舍去），．
（。┑笔保在内无极值点，，，，所以．
（）当时，由，知．
又，所以．
综上，． .........9分
（Ⅲ）由（Ⅰ）得.
当时，.
当时，，所以.
当时，，所以.
请考生在[22]、[23]、[24]题中任选一题作答。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。如果多做，则按所做的第一题计分。
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
解：（Ⅰ）连结，则.
因为，所以，又，所以.
又，所以， 因此.
（Ⅱ）因为，所以，由此知四点共圆，其圆心既在的垂直平分线上，又在的垂直平分线上，故就是过四点的圆的圆心，所以在的垂直平分线上，因此.
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
解：（Ⅰ）的普通方程为，的直角坐标方程为. ......5分
（Ⅱ）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值，
即为到的距离的最小值，.
..................8分
当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为. ..................10分
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
解：（Ⅰ）当时，.
解不等式，得.
因此，的解集为. ..................5分
（Ⅱ）当时，
，
当时等号成立，
所以当时，等价于. ① ......7分
当时，①等价于，无解.
当时，①等价于，解得.
所以的取值范围是. ..................10分
试题类型：
2016年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.
4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）设集合S= ，则ST=
(A) [2，3] (B)（- ，2] [3,+）
(C) [3,+） (D)（0，2] [3,+）
（2）若z=1+2i，则
(A)1 (B) -1 (C) i (D)-i
（3）已知向量 , 则ABC=
(A)300 (B) 450 (C) 600 (D)1200
（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。图中A点表示十月的平均最高气温约为150C，B点表示四月的平均最低气温约为50C。下面叙述不正确的是
(A) 各月的平均最低气温都在00C以上
(B) 七月的平均温差比一月的平均温差大
(C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同
(D) 平均气温高于200C的月份有5个
（5）若 ，则
(A) (B) (C) 1 (D)
（6）已知，，，则
（A） （B）（C）（D）
（7）执行下图的程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=
（A）3
（B）4
（C）5
（D）6
（8）在中，，BC边上的高等于,则
（A） （B） （C） （D）
(9)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为
（A）
（B）
（C）90
（D）81
(10) 在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球，若ABBC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是
（A）4π （B） （C）6π （D）
（11）已知O为坐标原点，F是椭圆C：的左焦点， A，B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线经过OE的中点，则C的离心率为
（A） （B） （C） （D）
（12）定义"规范01数列"{}如下：{}共有项，其中m项为0，m项为1，且对任意，中0的个数不少于1的个数.若m=4，则不同的"规范01数列"共有
（A）18个 （B）16个 （C）14个 （D）12个
第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共3小题，每小题5分
（13）若x，y满足约束条件 则z=x+y的最大值为_____________.
（14）函数的图像可由函数的图像至少向右平移_____________个单位长度得到。
（15）已知f(x)为偶函数，当时，，则曲线y=f(x)，在带你（1，-3）处的切线方程是_______________。
（16）已知直线与圆交于A，B两点，过A，B分别做l的垂线与x轴交于C，D两点，若，则__________________.
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）（本小题满分12分）
已知数列的前n项和，，其中0
（I）证明是等比数列，并求其通项公式
（II）若 ，求
（18）（本小题满分12分）
下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图
（I）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明
（II）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量。
（19）（本小题满分12分）
如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥地面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，=D，N为PC的中点.
（I）证明∥平面PAB;
（II）求直线与平面P所成角的正弦值.
（20）（本小题满分12分）
已知抛物线C： 的焦点为F，平行于x轴的两条直线分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点.
（I）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；
（II）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.
（21）（本小题满分12分）
设函数f（x）=acos2x+（a-1）（cosx+1），其中a＞0，记的最大值为A.
（Ⅰ）求f＇（x）；
（Ⅱ）求A；
（Ⅲ）证明≤2A.
请考生在[22]、[23]、[24]题中任选一题作答。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。如果多做，则按所做的第一题计分。
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，⊙O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点.
（I）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；
（II）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明OG⊥CD.
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 .
（I）写出的普通方程和的直角坐标方程；
（II）设点P在上，点Q在上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数
（I）当a=2时，求不等式的解集；
（II）设函数当时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围.
绝密★启封并使用完毕前
试题类型：新课标Ⅲ
2016年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学正式答案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）D （2）C （3）A （4）D （5）A （6）A （7）B
（8）C （9）B （10）B （11）A （12）C
第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。第（22）题~第（24）题未选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共3小题，每小题5分
（13）
（14）
（15）
（16）4
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（17）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题意得，故，，.
由，得，即.由，得，所以.
因此是首项为，公比为的等比数列，于是．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，由得，即，
解得．
（18）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由折线图这数据和附注中参考数据得
，，，
，
.
因为与的相关系数近似为0.99，说明与的线性相关相当高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系.
（Ⅱ）由及（Ⅰ）得，
.
所以，关于的回归方程为：.
将2016年对应的代入回归方程得：.
所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨.
（19）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由已知得，取的中点，连接，由为中点知，.
又，故平行且等于，四边形为平行四边形，于是.
因为平面，平面，所以平面.
（Ⅱ）取的中点，连结，由得，从而，且.
以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意知，
，，，，
，，.
设为平面的法向量，则，即，可取，
于是.
（20）解：由题设.设，则，且
.
记过两点的直线为，则的方程为. .....3分
（Ⅰ）由于在线段上，故.
记的斜率为，的斜率为，则
.
所以. ......5分
（Ⅱ）设与轴的交点为，
则.
由题设可得，所以（舍去），.
设满足条件的的中点为.
当与轴不垂直时，由可得.
而，所以.
当与轴垂直时，与重合.所以，所求轨迹方程为. ....12分
（21）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）．
（Ⅱ）当时，
因此，． .........4分
当时，将变形为．
令，则是在上的最大值，，，且当时，取得极小值，极小值为．
令，解得（舍去），．
（。┑笔保在内无极值点，，，，所以．
（）当时，由，知．
又，所以．
综上，． .........9分
（Ⅲ）由（Ⅰ）得.
当时，.
当时，，所以.
当时，，所以.
请考生在[22]、[23]、[24]题中任选一题作答。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。如果多做，则按所做的第一题计分。
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
解：（Ⅰ）连结，则.
因为，所以，又，所以.
又，所以， 因此.
（Ⅱ）因为，所以，由此知四点共圆，其圆心既在的垂直平分线上，又在的垂直平分线上，故就是过四点的圆的圆心，所以在的垂直平分线上，因此.
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
解：（Ⅰ）的普通方程为，的直角坐标方程为. ......5分
（Ⅱ）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值，
即为到的距离的最小值，.
..................8分
当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为. ..................10分
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
解：（Ⅰ）当时，.
解不等式，得.
因此，的解集为. ..................5分
（Ⅱ）当时，
，
当时等号成立，
所以当时，等价于. ① ......7分
当时，①等价于，无解.
当时，①等价于，解得.
所以的取值范围是. ..................10分
