2016年高考全国3卷文数试题（含答案）
2023-11-11 07:46:29
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试题类型：
2016年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.
4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）设集合，则=
（A） （B） （C） （D）
（2）若，则=
（A）1 （B） （C） （D）
（3）已知向量=（，），=（，），则∠ABC=
（A）30°（B）45°
（C）60°（D）120°
（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃.下面叙述不正确的是
（A）各月的平均最低气温都在0℃以上
（B）七月的平均温差比一月的平均温差大
（C）三月和十一月的平均最高气温基本相同
（D）平均最高气温高于20℃的月份有5个
（5）小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I,N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是
（A）（B）（C）（D）
（6）若tθ=，则cos2θ=
（A）（B）（C）（D）
（7）已知，则
(A)b（8）执行右面的程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=
（A）3
（B）4
（C）5
（D）6
（9）在中，B=
(A) (B) (C) (D)
（10）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为
（A）
（B）
（C）90
（D）81
（11）在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是
（A）（B）（C）（D）
（12）已知O为坐标原点，F是椭圆C：的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线经过OE的中点，则C的离心率为
（A）（B）（C）（D）
第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共3小题，每小题5分
（13）设x，y满足约束条件则z=2x+3y-5的最小值为______.
（14）函数y=s x-cosx的图像可由函数y=2s x的图像至少向右平移______个单位长度得到.
（15）已知直线l：与圆x2+y2=12交于A、B两点，过A、B分别作l的垂线与x轴交于C、D两点，则= .
（16）已知f(x)为偶函数，当时，，则曲线y= f(x)在点(1,2)处的切线方程式_____________________________.
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）（本小题满分12分）
已知各项都为正数的数列满足，.
（I）求；
（II）求的通项公式.
（18）（本小题满分12分）
下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图.
注：年份代码1-7分别对应年份2008-2014.
（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；
（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.
附注：
参考数据：，，，≈2.646.
参考公式：
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
（19）（本小题满分12分）
如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥地面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，=D，N为PC的中点.
（I）证明∥平面PAB;
（II）求四面体N的体积.
（20）（本小题满分12分）
已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点.
（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；
（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.
（21）（本小题满分12分）
设函数.
（I）讨论的单调性；
（II）证明当时，；
（III）设，证明当时，.
请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号
（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，⊙O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点。
（Ⅰ）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；
（Ⅱ）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明OG⊥CD。
（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直线坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（为参数）。以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρs（）=.
（I）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
（II）设点P在C1上，点Q在C2上，求OPQO的最小值及此时P的直角坐标.
（24）（本小题满分10分），选修4-5：不等式选讲
已知函数f(x)=O2x-aO+a.
（I）当a=2时，求不等式f(x)≤6的解集；
（II）设函数g(x)=O2x-1O.当x∈R时，f(x)+g(x)≥3，求a的取值范围。
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试题类型：新课标Ⅲ
2016年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学正式答案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）C （2）D （3）A （4）D （5）C （6）D
（7）A （8）B （9）D （10）B （11）B （12）A
第II卷
二、填空题：本大题共3小题，每小题5分。
（13） （14） （15）4 （16）
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（17）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题意得. .........5分
（Ⅱ）由得.
因为的各项都为正数，所以.
故是首项为，公比为的等比数列，因此. ......12分
（18）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由折线图中数据和附注中参考数据得
，，，
，
. ........4分
因为与的相关系数近似为0.99，说明与的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系. ............6分
（Ⅱ）由及（Ⅰ）得，
.
所以，关于的回归方程为：. ..........10分
将2016年对应的代入回归方程得：.
所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨. .........12分
（19）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由已知得，取的中点，连接，由为中点知，. ......3分
又，故平行且等于，四边形为平行四边形，于是.
因为平面，平面，所以平面. ........6分
（Ⅱ）因为平面，为的中点，
所以到平面的距离为. ....9分
取的中点，连结.由得，.
由得到的距离为，故.
所以四面体的体积. .....12分
（20）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题设.设，则，且
.
记过两点的直线为，则的方程为. .....3分
（Ⅰ）由于在线段上，故.
记的斜率为，的斜率为，则
.
所以. ......5分
（Ⅱ）设与轴的交点为，
则.
由题设可得，所以（舍去），.
设满足条件的的中点为.
当与轴不垂直时，由可得.
而，所以.
当与轴垂直时，与重合.所以，所求轨迹方程为. ....12分
（21）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题设，的定义域为，，令，解得.
当时，，单调递增；当时，，单调递减. .........4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在处取得最大值，最大值为.
所以当时，.
故当时，，，即. ..................7分
（Ⅲ）由题设，设，则，令，
解得.
当时，，单调递增；当时，，单调递减. ...............9分
由（Ⅱ）知，，故，又，故当时，.
所以当时，. ..................12分
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
解：（Ⅰ）连结，则.
因为，所以，又，所以.
又，所以， 因此.
（Ⅱ）因为，所以，由此知四点共圆，其圆心既在的垂直平分线上，又在的垂直平分线上，故就是过四点的圆的圆心，所以在的垂直平分线上，因此.
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
解：（Ⅰ）的普通方程为，的直角坐标方程为. ......5分
（Ⅱ）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值，
即为到的距离的最小值，.
..................8分
当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为. ..................10分
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
解：（Ⅰ）当时，.
解不等式，得.
因此，的解集为. ..................5分
（Ⅱ）当时，
，
当时等号成立，
所以当时，等价于. ① ......7分
当时，①等价于，无解.
当时，①等价于，解得.
所以的取值范围是. ..................10分
试题类型：
2016年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.
4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）设集合，则=
（A） （B） （C） （D）
（2）若，则=
（A）1 （B） （C） （D）
（3）已知向量=（，），=（，），则∠ABC=
（A）30°（B）45°
（C）60°（D）120°
（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃.下面叙述不正确的是
（A）各月的平均最低气温都在0℃以上
（B）七月的平均温差比一月的平均温差大
（C）三月和十一月的平均最高气温基本相同
（D）平均最高气温高于20℃的月份有5个
（5）小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I,N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是
（A）（B）（C）（D）
（6）若tθ=，则cos2θ=
（A）（B）（C）（D）
（7）已知，则
(A)b
（A）3
（B）4
（C）5
（D）6
（9）在中，B=
(A) (B) (C) (D)
（10）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为
（A）
（B）
（C）90
（D）81
（11）在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是
（A）（B）（C）（D）
（12）已知O为坐标原点，F是椭圆C：的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线经过OE的中点，则C的离心率为
（A）（B）（C）（D）
第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共3小题，每小题5分
（13）设x，y满足约束条件则z=2x+3y-5的最小值为______.
（14）函数y=s x-cosx的图像可由函数y=2s x的图像至少向右平移______个单位长度得到.
（15）已知直线l：与圆x2+y2=12交于A、B两点，过A、B分别作l的垂线与x轴交于C、D两点，则= .
（16）已知f(x)为偶函数，当时，，则曲线y= f(x)在点(1,2)处的切线方程式_____________________________.
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）（本小题满分12分）
已知各项都为正数的数列满足，.
（I）求；
（II）求的通项公式.
（18）（本小题满分12分）
下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图.
注：年份代码1-7分别对应年份2008-2014.
（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；
（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.
附注：
参考数据：，，，≈2.646.
参考公式：
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
（19）（本小题满分12分）
如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥地面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，=D，N为PC的中点.
（I）证明∥平面PAB;
（II）求四面体N的体积.
（20）（本小题满分12分）
已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点.
（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；
（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.
（21）（本小题满分12分）
设函数.
（I）讨论的单调性；
（II）证明当时，；
（III）设，证明当时，.
请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号
（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，⊙O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点。
（Ⅰ）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；
（Ⅱ）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明OG⊥CD。
（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直线坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（为参数）。以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρs（）=.
（I）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
（II）设点P在C1上，点Q在C2上，求OPQO的最小值及此时P的直角坐标.
（24）（本小题满分10分），选修4-5：不等式选讲
已知函数f(x)=O2x-aO+a.
（I）当a=2时，求不等式f(x)≤6的解集；
（II）设函数g(x)=O2x-1O.当x∈R时，f(x)+g(x)≥3，求a的取值范围。
绝密★启封并使用完毕前
试题类型：新课标Ⅲ
2016年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学正式答案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）C （2）D （3）A （4）D （5）C （6）D
（7）A （8）B （9）D （10）B （11）B （12）A
第II卷
二、填空题：本大题共3小题，每小题5分。
（13） （14） （15）4 （16）
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（17）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题意得. .........5分
（Ⅱ）由得.
因为的各项都为正数，所以.
故是首项为，公比为的等比数列，因此. ......12分
（18）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由折线图中数据和附注中参考数据得
，，，
，
. ........4分
因为与的相关系数近似为0.99，说明与的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系. ............6分
（Ⅱ）由及（Ⅰ）得，
.
所以，关于的回归方程为：. ..........10分
将2016年对应的代入回归方程得：.
所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨. .........12分
（19）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由已知得，取的中点，连接，由为中点知，. ......3分
又，故平行且等于，四边形为平行四边形，于是.
因为平面，平面，所以平面. ........6分
（Ⅱ）因为平面，为的中点，
所以到平面的距离为. ....9分
取的中点，连结.由得，.
由得到的距离为，故.
所以四面体的体积. .....12分
（20）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题设.设，则，且
.
记过两点的直线为，则的方程为. .....3分
（Ⅰ）由于在线段上，故.
记的斜率为，的斜率为，则
.
所以. ......5分
（Ⅱ）设与轴的交点为，
则.
由题设可得，所以（舍去），.
设满足条件的的中点为.
当与轴不垂直时，由可得.
而，所以.
当与轴垂直时，与重合.所以，所求轨迹方程为. ....12分
（21）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题设，的定义域为，，令，解得.
当时，，单调递增；当时，，单调递减. .........4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在处取得最大值，最大值为.
所以当时，.
故当时，，，即. ..................7分
（Ⅲ）由题设，设，则，令，
解得.
当时，，单调递增；当时，，单调递减. ...............9分
由（Ⅱ）知，，故，又，故当时，.
所以当时，. ..................12分
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
解：（Ⅰ）连结，则.
因为，所以，又，所以.
又，所以， 因此.
（Ⅱ）因为，所以，由此知四点共圆，其圆心既在的垂直平分线上，又在的垂直平分线上，故就是过四点的圆的圆心，所以在的垂直平分线上，因此.
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
解：（Ⅰ）的普通方程为，的直角坐标方程为. ......5分
（Ⅱ）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值，
即为到的距离的最小值，.
..................8分
当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为. ..................10分
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
解：（Ⅰ）当时，.
解不等式，得.
因此，的解集为. ..................5分
（Ⅱ）当时，
，
当时等号成立，
所以当时，等价于. ① ......7分
当时，①等价于，无解.
当时，①等价于，解得.
所以的取值范围是. ..................10分
