2016年高考北京卷文数试题（含答案）
2023-11-11 15:55:29
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2016年普通高等学校招生全国考试
数学（文）（北京卷）
本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本市卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合，则
（A） （B） （C） （D）
（2）复数
（A）i（B）1+i（C） （D）
（3）执行如图所示的程序框图，输出的s值为
（A）8
（B）9
（C）27
（D）36
（4）下列函数中，在区间 上为减函数的是
（A） （B） （C） （D）
（5）圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为
（A）1 （B）2 （C） （D）2
（6）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为
（A） （B） （C） （D）
（7）已知A（2，5），B（4，1）.若点P（x，y）在线段AB上，则2x?y的最大值为
（A）?1 （B）3 （C）7 （D）8
（8）某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.
学生序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 立定跳远（单位：米） 1.96 1.92 1.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.68 1.60 30秒跳绳（单位：次） 63 a 75 60 63 72 70 a?1 b 65 在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则
（A）2号学生进入30秒跳绳决赛 （B）5号学生进入30秒跳绳决赛
（C）8号学生进入30秒跳绳决赛 （D）9号学生进入30秒跳绳决赛
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）
（9）已知向量 ，则a与b夹角的大小为_________.
（10）函数的最大值为_________.
（11）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为___________.
(12) 已知双曲线 （a＞0，b＞0）的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为（ ,0），则a=_______；b=_____________.
(13)在△ABC中， ，a=c，则=_________.
(14)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店
①第一天售出但第二天未售出的商品有______种；
②这三天售出的商品最少有_______种.
三、解答题（共6题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）
（15）（本小题13分）
已知{}是等差数列，{}是等差数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4.
（Ⅰ）求{}的通项公式；
（Ⅱ）设= + ，求数列{}的前n项和.
（16）（本小题13分）
已知函数f（x）=2s ωx cos ωx+ cos 2ωx（ω>0）的最小正周期为π.
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间.
（17）（本小题13分）
某市民用水拟实行阶梯水价，每人用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：
（I）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？
（II）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费.
（18）（本小题14分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，
（I）求证：；
（II）求证：；
(III)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得?说明理由.
（19）（本小题14分）
已知椭圆C：过点A（2,0），B（0,1）两点.
（I）求椭圆C的方程及离心率；
（II）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形M的面积为定值.
（20）（本小题13分）
设函数
（I）求曲线在点处的切线方程；
（II）设，若函数有三个不同零点，求c的取值范围；
（III）求证：是有三个不同零点的必要而不充分条件.
2016年普通高等学校招生全国统一考试
数学(文)(北京卷)参考答案
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
（1）C （2）A （3）B （4）D （5）C （6）B （7）C （8）B
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）
（9） （10）2 （11） （12）1 2
（13）1 （14）16 29
三、解答题（共6小题，共80分）
（15）（共13分）
解：（I）等比数列的公比，
所以，．
设等差数列的公差为．
因为，，
所以，即．
所以（，，，）．
（II）由（I）知，，．
因此．
从而数列的前项和
．
（16）（共13分）
解：（I）因为
，
所以的最小正周期．
依题意，，解得．
（II）由（I）知．
函数的单调递增区间为（）．
由，
得．
所以的单调递增区间为（）．
（17）（共14分）
解：（I）由用水量的频率分布直方图知，
该市居民该月用水量在区间，，，，内的频
率依次为，，，，．
所以该月用水量不超过立方米的居民占%，用水量不超过立方米的居民占%．
依题意，至少定为．
（II）由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表：
组号 1 2 3 4 5 6 7 8 分组 频率 根据题意，该市居民该月的人均水费估计为：
（元）．
（18）（共13分）
解：（I）因为平面，
所以．
又因为，
所以平面．
（II）因为，，
所以．
因为平面，
所以．
所以平面．
所以平面平面．
（III）棱上存在点，使得平面．证明如下：
取中点，连结，，．
又因为为的中点，
所以．
又因为平面，
所以平面．
（19）（共14分）
解：（I）由题意得，，．
所以椭圆的方程为．
又，
所以离心率．
（II）设（，），则．
又，，所以，
直线的方程为．
令，得，从而．
直线的方程为．
令，得，从而．
所以四边形的面积
．
从而四边形的面积为定值．
（20）（共13分）
解：（I）由，得．
因为，，
所以曲线在点处的切线方程为．
（II）当时，，
所以．
令，得，解得或．
与在区间上的情况如下：
所以，当且时，存在，，
，使得．
由的单调性知，当且仅当时，函数有三个不同零点．
（III）当时，，，
此时函数在区间上单调递增，所以不可能有三个不同零点．
当时，只有一个零点，记作．
当时，，在区间上单调递增；
当时，，在区间上单调递增．
所以不可能有三个不同零点．
综上所述，若函数有三个不同零点，则必有．
故是有三个不同零点的必要条件．
当，时，，只有两个不同
零点， 所以不是有三个不同零点的充分条件．
因此是有三个不同零点的必要而不充分条件．
2016年普通高等学校招生全国考试
数学（文）（北京卷）
本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本市卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合，则
（A） （B） （C） （D）
（2）复数
（A）i（B）1+i（C） （D）
（3）执行如图所示的程序框图，输出的s值为
（A）8
（B）9
（C）27
（D）36
（4）下列函数中，在区间 上为减函数的是
（A） （B） （C） （D）
（5）圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为
（A）1 （B）2 （C） （D）2
（6）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为
（A） （B） （C） （D）
（7）已知A（2，5），B（4，1）.若点P（x，y）在线段AB上，则2x?y的最大值为
（A）?1 （B）3 （C）7 （D）8
（8）某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.
学生序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 立定跳远（单位：米） 1.96 1.92 1.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.68 1.60 30秒跳绳（单位：次） 63 a 75 60 63 72 70 a?1 b 65 在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则
（A）2号学生进入30秒跳绳决赛 （B）5号学生进入30秒跳绳决赛
（C）8号学生进入30秒跳绳决赛 （D）9号学生进入30秒跳绳决赛
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）
（9）已知向量 ，则a与b夹角的大小为_________.
（10）函数的最大值为_________.
（11）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为___________.
(12) 已知双曲线 （a＞0，b＞0）的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为（ ,0），则a=_______；b=_____________.
(13)在△ABC中， ，a=c，则=_________.
(14)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店
①第一天售出但第二天未售出的商品有______种；
②这三天售出的商品最少有_______种.
三、解答题（共6题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）
（15）（本小题13分）
已知{}是等差数列，{}是等差数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4.
（Ⅰ）求{}的通项公式；
（Ⅱ）设= + ，求数列{}的前n项和.
（16）（本小题13分）
已知函数f（x）=2s ωx cos ωx+ cos 2ωx（ω>0）的最小正周期为π.
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间.
（17）（本小题13分）
某市民用水拟实行阶梯水价，每人用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：
（I）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？
（II）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费.
（18）（本小题14分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，
（I）求证：；
（II）求证：；
(III)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得?说明理由.
（19）（本小题14分）
已知椭圆C：过点A（2,0），B（0,1）两点.
（I）求椭圆C的方程及离心率；
（II）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形M的面积为定值.
（20）（本小题13分）
设函数
（I）求曲线在点处的切线方程；
（II）设，若函数有三个不同零点，求c的取值范围；
（III）求证：是有三个不同零点的必要而不充分条件.
2016年普通高等学校招生全国统一考试
数学(文)(北京卷)参考答案
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
（1）C （2）A （3）B （4）D （5）C （6）B （7）C （8）B
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）
（9） （10）2 （11） （12）1 2
（13）1 （14）16 29
三、解答题（共6小题，共80分）
（15）（共13分）
解：（I）等比数列的公比，
所以，．
设等差数列的公差为．
因为，，
所以，即．
所以（，，，）．
（II）由（I）知，，．
因此．
从而数列的前项和
．
（16）（共13分）
解：（I）因为
，
所以的最小正周期．
依题意，，解得．
（II）由（I）知．
函数的单调递增区间为（）．
由，
得．
所以的单调递增区间为（）．
（17）（共14分）
解：（I）由用水量的频率分布直方图知，
该市居民该月用水量在区间，，，，内的频
率依次为，，，，．
所以该月用水量不超过立方米的居民占%，用水量不超过立方米的居民占%．
依题意，至少定为．
（II）由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表：
组号 1 2 3 4 5 6 7 8 分组 频率 根据题意，该市居民该月的人均水费估计为：
（元）．
（18）（共13分）
解：（I）因为平面，
所以．
又因为，
所以平面．
（II）因为，，
所以．
因为平面，
所以．
所以平面．
所以平面平面．
（III）棱上存在点，使得平面．证明如下：
取中点，连结，，．
又因为为的中点，
所以．
又因为平面，
所以平面．
（19）（共14分）
解：（I）由题意得，，．
所以椭圆的方程为．
又，
所以离心率．
（II）设（，），则．
又，，所以，
直线的方程为．
令，得，从而．
直线的方程为．
令，得，从而．
所以四边形的面积
．
从而四边形的面积为定值．
（20）（共13分）
解：（I）由，得．
因为，，
所以曲线在点处的切线方程为．
（II）当时，，
所以．
令，得，解得或．
与在区间上的情况如下：
所以，当且时，存在，，
，使得．
由的单调性知，当且仅当时，函数有三个不同零点．
（III）当时，，，
此时函数在区间上单调递增，所以不可能有三个不同零点．
当时，只有一个零点，记作．
当时，，在区间上单调递增；
当时，，在区间上单调递增．
所以不可能有三个不同零点．
综上所述，若函数有三个不同零点，则必有．
故是有三个不同零点的必要条件．
当，时，，只有两个不同
零点， 所以不是有三个不同零点的充分条件．
因此是有三个不同零点的必要而不充分条件．
