2016年高考天津卷理数试题（含答案）
2023-11-18 04:04:49
绝密★启用前
2016年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
数 学（理工类）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2. 本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：
?如果事件，互斥，那么 ?如果事件，相互独立，那么
. .
?圆柱的体积公式.?圆锥的体积公式.
其中表示圆柱的底面面积， 其中表示圆锥的底面面积，
表示圆柱的高.表示圆锥的高.
一. 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）已知集合，，则
（A） （B）
（C） （D）
（2）设变量，满足约束条件则目标函数的最小值为
（A） （B） （C） （D）
（3） 在中，若，，，
则
（A） （B）
（C） （D）
（4） 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出
的值为
（A） （B）
（C） （D）
（5） 设是首项为正数的等比数列，公比为，则
""是"对任意的正整数，"的
（A） 充要条件
（B）充分而不必要条件
（C）必要而不充分条件
（D）既不充分也不必要条件
（6）已知双曲线，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于，，，四点，四边形的面积为，则双曲线的方程为
（A） （B） （C）（D）
（7） 已知是边长为的等边三角形，点，分别是边，的中点，连接
并延长到点，使得，则的值为
（A） （B） （C） （D）
（8）已知函数（，且）在R上单调递减，且关于的方程恰好有两个不相等的实数解，则的取值范围是
（A） （B）
（C）{} （D）{}
绝密★启用前
2016年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
数 学（理工类）
第Ⅱ卷
注意事项：
1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.
2. 本卷共12小题, 共110分.
二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分.
（9）已知，R，是虚数单位，若，则的值为_____________.
（10）的展开式中的系数为_____________.（用数字作答）
（11）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱
锥的三视图如图所示（单位：），则该四棱锥的体积为_________.
（12） 如图，是圆的直径，弦与相交于点，
，，则线段的长
为_____________.
（13） 已知是定义在R上的偶函数，且在区间
上单调递增.若实数满足，
则的取值范围是_____________.
（14） 设抛物线（为参数，）的焦
点，准线为.过抛物线上一点作的垂线，垂足为
.设，与相交于点.若，
且的面积为，则的值为_____________.
三. 解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（15）（本小题满分13分）
已知函数.
（Ⅰ）求的定义域与最小正周期；
（Ⅱ）讨论在区间上的单调性.
（16） （本小题满分13分）
某小组共人，利用假期参加义工活动.已知参加义工活动次数为，，的人数分
别为，，.现从这人中随机选出人作为该组代表参加座谈会.
（Ⅰ）设为事件"选出的人参加义工活动次数之和为"，求事件发生的概率；
（Ⅱ）设为选出的人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列
和数学期望.
（17） （本小题满分13分）
如图，正方形的中心为，四边形为矩形，平面平面，点为的中点，.
（Ⅰ）求证：∥平面；
（Ⅱ）求二面角的正弦值；
（Ⅲ）设为线段上的点，且，
求直线和平面所成角的正弦值.
（18） （本小题满分13分）
已知是各项均为正数的等差数列，公差为.对任意的，是和的等比中项.
（Ⅰ）设，，求证：数列是等差数列；
（Ⅱ）设，，，求证.
（19） （本小题满分14分）
设椭圆的右焦点为，右顶点为.已知，
其中为原点，为椭圆的离心率.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点.若，且≤，求直线的斜率的取值范
围.
（20） （本小题满分14分）
设函数，R，其中，R.
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）若存在极值点，且，其中，求证：；
（Ⅲ）设，函数，求证：在区间上的最大值不小于
2016年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数 学（理工类）
一、选择题：
（1）【答案】D
（2）【答案】B
（3）【答案】A
（4）【答案】B
（5）【答案】C
（6）【答案】D
（7）【答案】B
（8）【答案】C
第Ⅱ卷
二、填空题：
（9）【答案】2
（10）【答案】
（11）【答案】2
（12）【答案】
（13）【答案】
(14) 【答案】
三、解答题
（15）
【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）在区间上单调递增, 在区间上单调递减.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）先利用诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式、配角公式将函数化为基本三角函数：，再根据正弦函数性质求定义域、周期根据（1）的结论，研究三角函数在区间[]上单调性
试题解析： 解：的定义域为.
.
所以, 的最小正周期
解：令函数的单调递增区间是
由,得
设，易知.
所以, 当时, 在区间上单调递增, 在区间上单调递减.
考点：三角函数性质，诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式、配角公式
【结束】
(16)
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析
【解析】
试题分析：（Ⅰ）先确定从这10人中随机选出2人的基本事件种数：，再确定选出的2人参加义工活动次数之和为4所包含基本事件数：，最后根据概率公式求概率（Ⅱ）先确定随机变量可能取值为再分别求出对应概率，列出概率分布，最后根据公式计算数学期望
试题解析：解：由已知，有
所以，事件发生的概率为.
随机变量的所有可能取值为
，
，
.
所以，随机变量分布列为
随机变量的数学期望.
考点：概率，概率分布与数学期望
【结束】
(17)
【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）（Ⅲ）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）利用空间向量证明线面平行，关键是求出面的法向量，利用法向量与直线方向向量垂直进行论证（Ⅱ）利用空间向量求二面角，关键是求出面的法向量，再利用向量数量积求出法向量夹角，最后根据向量夹角与二面角相等或互补关系求正弦值（Ⅲ）利用空间向量证明线面平行，关键是求出面的法向量，再利用向量数量积求出法向量夹角，最后根据向量夹角与线面角互余关系求正弦值
试题解析：依题意，，如图，以为点，分别以的方向为轴，轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得，.
（I）证明：依题意，.设为平面的法向量，则，即 .不妨设，可得，又，可得，又因为直线，所以.
（II）解：易证，为平面的一个法向量.依题意，.设为平面的法向量，则，即 .不妨设，可得.
因此有，于是，所以，二面角的正弦值为.
（III）解：由，得.因为，所以，进而有，从而，因此.所以，直线和平面所成角的正弦值为.
考点：利用空间向量解决立体几何问题
【结束】
(18)
【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析
【解析】
试题分析：（Ⅰ）先根据等比中项定义得：，从而，因此根据等差数列定义可证：（Ⅱ） 对数列不等式证明一般以算代证先利用分组求和化简，再利用裂项相消法求和，易得结论.
试题解析：（I）证明：由题意得，有，因此，所以是等差数列.
（II）证明：
所以.
考点：等差数列、等比中项、分组求和、裂项相消求和
【结束】
（19）
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）求椭圆标准方程，只需确定量，由，得，再利用，可解得，（Ⅱ）先化简条件：，即M再OA中垂线上，，再利用直线与椭圆位置关系，联立方程组求；利用两直线方程组求H，最后根据，列等量关系解出直线斜率.取值范围
试题解析：（1）解：设，由，即，可得，又，所以，因此，所以椭圆的方程为.
（2）（Ⅱ）解：设直线的斜率为（），则直线的方程为.设，由方程组，消去，整理得.
解得，或，由题意得，从而.
由（Ⅰ）知，，设，有，.由，得，所以，解得.因此直线的方程为.
设，由方程组消去，解得.在中，，即，化简得，即，解得或.
所以，直线的斜率的取值范围为.
考点：椭圆的标准方程和几何性质，直线方程
【结束】
（20）
【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）详见解析
【解析】
试题分析：（Ⅰ）先求函数的导数：，再根据导函数零点是否存在情况，分类讨论：①当时，有恒成立，所以的单调增区间为.②当时，存在三个单调区间（Ⅱ）由题意得，计算可得再由及单调性可得结论（Ⅲ）实质研究函数最大值：主要比较，的大小即可，分三种情况研究①当时，，②当时，，③当时，.
试题解析：（Ⅰ）解：由，可得.
下面分两种情况讨论：
（1）当时，有恒成立，所以的单调递增区间为.
（2）当时，令，解得，或.
当变化时，，的变化情况如下表：
＋ 0 － 0 ＋ 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以的单调递减区间为，单调递增区间为，.
（Ⅱ）证明：因为存在极值点，所以由（Ⅰ）知，且，由题意，得，即，
进而.
又
，且，由题意及（Ⅰ）知，存在唯一实数满足 ，且，因此，所以；
（Ⅲ）证明：设在区间上的最大值为，表示两数的最大值.下面分三种情况同理：
（1）当时，，由（Ⅰ）知，在区间上单调递减，所以在区间上的取值范围为，因此
，所以.
（2）当时，，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知，，，
所以在区间上的取值范围为，因此
.
（3）当时，，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知，
，，
所以在区间上的取值范围为，因此
.
综上所述，当时，在区间上的最大值不小于.
考点：导数的运算，利用导数研究函数的性质、证明不等式
【结束】
2016年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
数 学（理工类）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2. 本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：
?如果事件，互斥，那么 ?如果事件，相互独立，那么
. .
?圆柱的体积公式.?圆锥的体积公式.
其中表示圆柱的底面面积， 其中表示圆锥的底面面积，
表示圆柱的高.表示圆锥的高.
一. 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）已知集合，，则
（A） （B）
（C） （D）
（2）设变量，满足约束条件则目标函数的最小值为
（A） （B） （C） （D）
（3） 在中，若，，，
则
（A） （B）
（C） （D）
（4） 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出
的值为
（A） （B）
（C） （D）
（5） 设是首项为正数的等比数列，公比为，则
""是"对任意的正整数，"的
（A） 充要条件
（B）充分而不必要条件
（C）必要而不充分条件
（D）既不充分也不必要条件
（6）已知双曲线，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于，，，四点，四边形的面积为，则双曲线的方程为
（A） （B） （C）（D）
（7） 已知是边长为的等边三角形，点，分别是边，的中点，连接
并延长到点，使得，则的值为
（A） （B） （C） （D）
（8）已知函数（，且）在R上单调递减，且关于的方程恰好有两个不相等的实数解，则的取值范围是
（A） （B）
（C）{} （D）{}
绝密★启用前
2016年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
数 学（理工类）
第Ⅱ卷
注意事项：
1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.
2. 本卷共12小题, 共110分.
二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分.
（9）已知，R，是虚数单位，若，则的值为_____________.
（10）的展开式中的系数为_____________.（用数字作答）
（11）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱
锥的三视图如图所示（单位：），则该四棱锥的体积为_________.
（12） 如图，是圆的直径，弦与相交于点，
，，则线段的长
为_____________.
（13） 已知是定义在R上的偶函数，且在区间
上单调递增.若实数满足，
则的取值范围是_____________.
（14） 设抛物线（为参数，）的焦
点，准线为.过抛物线上一点作的垂线，垂足为
.设，与相交于点.若，
且的面积为，则的值为_____________.
三. 解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（15）（本小题满分13分）
已知函数.
（Ⅰ）求的定义域与最小正周期；
（Ⅱ）讨论在区间上的单调性.
（16） （本小题满分13分）
某小组共人，利用假期参加义工活动.已知参加义工活动次数为，，的人数分
别为，，.现从这人中随机选出人作为该组代表参加座谈会.
（Ⅰ）设为事件"选出的人参加义工活动次数之和为"，求事件发生的概率；
（Ⅱ）设为选出的人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列
和数学期望.
（17） （本小题满分13分）
如图，正方形的中心为，四边形为矩形，平面平面，点为的中点，.
（Ⅰ）求证：∥平面；
（Ⅱ）求二面角的正弦值；
（Ⅲ）设为线段上的点，且，
求直线和平面所成角的正弦值.
（18） （本小题满分13分）
已知是各项均为正数的等差数列，公差为.对任意的，是和的等比中项.
（Ⅰ）设，，求证：数列是等差数列；
（Ⅱ）设，，，求证.
（19） （本小题满分14分）
设椭圆的右焦点为，右顶点为.已知，
其中为原点，为椭圆的离心率.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点.若，且≤，求直线的斜率的取值范
围.
（20） （本小题满分14分）
设函数，R，其中，R.
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）若存在极值点，且，其中，求证：；
（Ⅲ）设，函数，求证：在区间上的最大值不小于
2016年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数 学（理工类）
一、选择题：
（1）【答案】D
（2）【答案】B
（3）【答案】A
（4）【答案】B
（5）【答案】C
（6）【答案】D
（7）【答案】B
（8）【答案】C
第Ⅱ卷
二、填空题：
（9）【答案】2
（10）【答案】
（11）【答案】2
（12）【答案】
（13）【答案】
(14) 【答案】
三、解答题
（15）
【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）在区间上单调递增, 在区间上单调递减.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）先利用诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式、配角公式将函数化为基本三角函数：，再根据正弦函数性质求定义域、周期根据（1）的结论，研究三角函数在区间[]上单调性
试题解析： 解：的定义域为.
.
所以, 的最小正周期
解：令函数的单调递增区间是
由,得
设，易知.
所以, 当时, 在区间上单调递增, 在区间上单调递减.
考点：三角函数性质，诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式、配角公式
【结束】
(16)
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析
【解析】
试题分析：（Ⅰ）先确定从这10人中随机选出2人的基本事件种数：，再确定选出的2人参加义工活动次数之和为4所包含基本事件数：，最后根据概率公式求概率（Ⅱ）先确定随机变量可能取值为再分别求出对应概率，列出概率分布，最后根据公式计算数学期望
试题解析：解：由已知，有
所以，事件发生的概率为.
随机变量的所有可能取值为
，
，
.
所以，随机变量分布列为
随机变量的数学期望.
考点：概率，概率分布与数学期望
【结束】
(17)
【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）（Ⅲ）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）利用空间向量证明线面平行，关键是求出面的法向量，利用法向量与直线方向向量垂直进行论证（Ⅱ）利用空间向量求二面角，关键是求出面的法向量，再利用向量数量积求出法向量夹角，最后根据向量夹角与二面角相等或互补关系求正弦值（Ⅲ）利用空间向量证明线面平行，关键是求出面的法向量，再利用向量数量积求出法向量夹角，最后根据向量夹角与线面角互余关系求正弦值
试题解析：依题意，，如图，以为点，分别以的方向为轴，轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得，.
（I）证明：依题意，.设为平面的法向量，则，即 .不妨设，可得，又，可得，又因为直线，所以.
（II）解：易证，为平面的一个法向量.依题意，.设为平面的法向量，则，即 .不妨设，可得.
因此有，于是，所以，二面角的正弦值为.
（III）解：由，得.因为，所以，进而有，从而，因此.所以，直线和平面所成角的正弦值为.
考点：利用空间向量解决立体几何问题
【结束】
(18)
【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析
【解析】
试题分析：（Ⅰ）先根据等比中项定义得：，从而，因此根据等差数列定义可证：（Ⅱ） 对数列不等式证明一般以算代证先利用分组求和化简，再利用裂项相消法求和，易得结论.
试题解析：（I）证明：由题意得，有，因此，所以是等差数列.
（II）证明：
所以.
考点：等差数列、等比中项、分组求和、裂项相消求和
【结束】
（19）
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）求椭圆标准方程，只需确定量，由，得，再利用，可解得，（Ⅱ）先化简条件：，即M再OA中垂线上，，再利用直线与椭圆位置关系，联立方程组求；利用两直线方程组求H，最后根据，列等量关系解出直线斜率.取值范围
试题解析：（1）解：设，由，即，可得，又，所以，因此，所以椭圆的方程为.
（2）（Ⅱ）解：设直线的斜率为（），则直线的方程为.设，由方程组，消去，整理得.
解得，或，由题意得，从而.
由（Ⅰ）知，，设，有，.由，得，所以，解得.因此直线的方程为.
设，由方程组消去，解得.在中，，即，化简得，即，解得或.
所以，直线的斜率的取值范围为.
考点：椭圆的标准方程和几何性质，直线方程
【结束】
（20）
【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）详见解析
【解析】
试题分析：（Ⅰ）先求函数的导数：，再根据导函数零点是否存在情况，分类讨论：①当时，有恒成立，所以的单调增区间为.②当时，存在三个单调区间（Ⅱ）由题意得，计算可得再由及单调性可得结论（Ⅲ）实质研究函数最大值：主要比较，的大小即可，分三种情况研究①当时，，②当时，，③当时，.
试题解析：（Ⅰ）解：由，可得.
下面分两种情况讨论：
（1）当时，有恒成立，所以的单调递增区间为.
（2）当时，令，解得，或.
当变化时，，的变化情况如下表：
＋ 0 － 0 ＋ 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以的单调递减区间为，单调递增区间为，.
（Ⅱ）证明：因为存在极值点，所以由（Ⅰ）知，且，由题意，得，即，
进而.
又
，且，由题意及（Ⅰ）知，存在唯一实数满足 ，且，因此，所以；
（Ⅲ）证明：设在区间上的最大值为，表示两数的最大值.下面分三种情况同理：
（1）当时，，由（Ⅰ）知，在区间上单调递减，所以在区间上的取值范围为，因此
，所以.
（2）当时，，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知，，，
所以在区间上的取值范围为，因此
.
（3）当时，，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知，
，，
所以在区间上的取值范围为，因此
.
综上所述，当时，在区间上的最大值不小于.
考点：导数的运算，利用导数研究函数的性质、证明不等式
【结束】
