2016年高考浙江卷理数试题（含答案）
2023-11-22 08:45:07
2016年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）
数学（理科）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1.已知集合P=，Q=，则P=
A.[2,3] B.(-2,3] C.[1,2) D.
2.已知互相垂直的平面交于直线l，若直线m,n满足，则
A.B. C. D.
3.在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影，由区域中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB，则=
A. B.4 C. D.6
4.命题"使得"的否定形式是
A.使得 B.使得
C.使得 D.使得
5.设函数，则的最小正周期
A.与b有关，且与c有关 B.与b有关，但与c无关
C.与b无关，且与c无关 D.与b无关，但与c有关
6.如图，点列分别在某锐角的两边上，且
，，
，.
（表示点P与Q不重合）
若，为的面积，则
A.是等差数列B.是等差数列
C.是等差数列D.是等差数列
7.已知椭圆与双曲线的焦点重合，分别为的离心率，则
A.且 B.且
C.且 D.且
8.已知实数.
A.若则
B.若则
C.若则
D.若则
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
9.若抛物线上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是.
10.已知，则A=，b=.
11.某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的表面积是2，体积是
3.
12.已知，若，则a=，b=.
13.设数列的前n项和为，若
，则=，=.
14.如图，在中，AB=BC=2，.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD=DA，PB=BA，则四面体PBCD的体积的最大值是.
15.已知向量a，b，=1，=2，若对任意单位向量e，均有|a・+|b・，则a・b的最大值是.
三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.（本题满分14分）在中，内角所对的边分别为，已知
（Ⅰ）证明：
（Ⅱ）若的面积，求角A的大小.
17.（本题满分15分）如图，在三棱台中，已知平面BCFE平面ABC，，，，，
（Ⅰ）求证：
（Ⅱ）求二面角的余弦值.
18. （本题满分15分）设，函数,
其中
（Ⅰ）求使得等式成立的x的取值范围
（Ⅱ）（i）求的最小值
（ii）求在上的最大值
19.（本题满分15分）如图，设椭圆C:
（Ⅰ）求直线被椭圆截得到的弦长（用a,k表示）
（Ⅱ）若任意以点为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点，求椭圆的离心率的取值范围.
20、（本题满分15分）设数列满足，
（Ⅰ）求证：
（Ⅱ）若，，证明：，.
浙江数学（理科）试题
参考答案
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分40分.
1.B 2.C 3.C 4.D 5.B 6.A 7.A 8.D
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.多空题每题6分，单空题每题4分，满分16分.
9.9 10. 11.72,32 12.4,2 13.1,121 14. 15.
三、解答题：本大题共5小题，共74分。
16.本题主要考查三角函数及其变换、正弦和余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力。满分14分。
（I）由正弦定理得，
故，
于是．
又，，故，所以
或，
因此（舍去）或，
所以，．
（II）由得，故有
，
因，得．
又，，所以．
当时，；
当时，．
综上，或．
17.本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，同时考查空间想象能力和运算求解能力。满分15分。
（I）延长，，相交于一点，如图所示．
因为平面平面，且，所以，
平面，因此，
．
又因为，，，所以
为等边三角形，且为的中点，则
．
所以平面．
（II）方法一：
过点作，连结．
因为平面，所以，则平面，所以．
所以，是二面角的平面角．
在中，，，得．
在中，，，得．
所以，二面角的平面角的余弦值为．
方法二：
如图，延长，，相交于一点，则为等边三角形．
取的中点，则，又平面平面，所以，平面．
以点为原点，分别以射线，的方向为，的正方向，
建立空间直角坐标系．
由题意得
，，，
，，．
因此，
，，．
设平面的法向量为，平面的法向量为．
由，得，取；
由，得，取．
于是，．
所以，二面角的平面角的余弦值为．
18.本题主要考查函数的单调性与最值、分段函数、不等式性质等基础知识。同时考查推理论证能力，分析问题和解决问题的能力。满分15分。
（I）由于，故
当时，，
当时，．
所以，使得等式成立的的取值范围为
．
（II）（i）设函数，，则
，，
所以，由的定义知，即
．
（ii）当时，
，
当时，
．
所以，
．
19．本题主要考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分15分。
（I）设直线被椭圆截得的线段为，由得
，
故
，．
因此
．
（II）假设圆与椭圆的公共点有个，由对称性可设轴左侧的椭圆上有两个不同的点，，满足
．
记直线，的斜率分别为，，且，，．
由（I）知，
，，
故
，
所以．
由于，，得
，
因此
， ①
因为①式关于，的方程有解的充要条件是
，
所以
．
因此，任意以点为圆心的圆与椭圆至多有个公共点的充要条件为
，
由得，所求离心率的取值范围为．
20.本题主要考查数列的递推关系与单调性、不等式性质等基础知识，同时考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力。满分15分。
（I）由得，故
，，
所以
，
因此
．
（II）任取，由（I）知，对于任意，
，
故
．
从而对于任意，均有
．
由的任意性得． ①
否则，存在，有，取正整数且，则
，
与①式矛盾．
综上，对于任意，均有．
数学（理科）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1.已知集合P=，Q=，则P=
A.[2,3] B.(-2,3] C.[1,2) D.
2.已知互相垂直的平面交于直线l，若直线m,n满足，则
A.B. C. D.
3.在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影，由区域中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB，则=
A. B.4 C. D.6
4.命题"使得"的否定形式是
A.使得 B.使得
C.使得 D.使得
5.设函数，则的最小正周期
A.与b有关，且与c有关 B.与b有关，但与c无关
C.与b无关，且与c无关 D.与b无关，但与c有关
6.如图，点列分别在某锐角的两边上，且
，，
，.
（表示点P与Q不重合）
若，为的面积，则
A.是等差数列B.是等差数列
C.是等差数列D.是等差数列
7.已知椭圆与双曲线的焦点重合，分别为的离心率，则
A.且 B.且
C.且 D.且
8.已知实数.
A.若则
B.若则
C.若则
D.若则
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
9.若抛物线上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是.
10.已知，则A=，b=.
11.某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的表面积是2，体积是
3.
12.已知，若，则a=，b=.
13.设数列的前n项和为，若
，则=，=.
14.如图，在中，AB=BC=2，.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD=DA，PB=BA，则四面体PBCD的体积的最大值是.
15.已知向量a，b，=1，=2，若对任意单位向量e，均有|a・+|b・，则a・b的最大值是.
三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.（本题满分14分）在中，内角所对的边分别为，已知
（Ⅰ）证明：
（Ⅱ）若的面积，求角A的大小.
17.（本题满分15分）如图，在三棱台中，已知平面BCFE平面ABC，，，，，
（Ⅰ）求证：
（Ⅱ）求二面角的余弦值.
18. （本题满分15分）设，函数,
其中
（Ⅰ）求使得等式成立的x的取值范围
（Ⅱ）（i）求的最小值
（ii）求在上的最大值
19.（本题满分15分）如图，设椭圆C:
（Ⅰ）求直线被椭圆截得到的弦长（用a,k表示）
（Ⅱ）若任意以点为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点，求椭圆的离心率的取值范围.
20、（本题满分15分）设数列满足，
（Ⅰ）求证：
（Ⅱ）若，，证明：，.
浙江数学（理科）试题
参考答案
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分40分.
1.B 2.C 3.C 4.D 5.B 6.A 7.A 8.D
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.多空题每题6分，单空题每题4分，满分16分.
9.9 10. 11.72,32 12.4,2 13.1,121 14. 15.
三、解答题：本大题共5小题，共74分。
16.本题主要考查三角函数及其变换、正弦和余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力。满分14分。
（I）由正弦定理得，
故，
于是．
又，，故，所以
或，
因此（舍去）或，
所以，．
（II）由得，故有
，
因，得．
又，，所以．
当时，；
当时，．
综上，或．
17.本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，同时考查空间想象能力和运算求解能力。满分15分。
（I）延长，，相交于一点，如图所示．
因为平面平面，且，所以，
平面，因此，
．
又因为，，，所以
为等边三角形，且为的中点，则
．
所以平面．
（II）方法一：
过点作，连结．
因为平面，所以，则平面，所以．
所以，是二面角的平面角．
在中，，，得．
在中，，，得．
所以，二面角的平面角的余弦值为．
方法二：
如图，延长，，相交于一点，则为等边三角形．
取的中点，则，又平面平面，所以，平面．
以点为原点，分别以射线，的方向为，的正方向，
建立空间直角坐标系．
由题意得
，，，
，，．
因此，
，，．
设平面的法向量为，平面的法向量为．
由，得，取；
由，得，取．
于是，．
所以，二面角的平面角的余弦值为．
18.本题主要考查函数的单调性与最值、分段函数、不等式性质等基础知识。同时考查推理论证能力，分析问题和解决问题的能力。满分15分。
（I）由于，故
当时，，
当时，．
所以，使得等式成立的的取值范围为
．
（II）（i）设函数，，则
，，
所以，由的定义知，即
．
（ii）当时，
，
当时，
．
所以，
．
19．本题主要考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分15分。
（I）设直线被椭圆截得的线段为，由得
，
故
，．
因此
．
（II）假设圆与椭圆的公共点有个，由对称性可设轴左侧的椭圆上有两个不同的点，，满足
．
记直线，的斜率分别为，，且，，．
由（I）知，
，，
故
，
所以．
由于，，得
，
因此
， ①
因为①式关于，的方程有解的充要条件是
，
所以
．
因此，任意以点为圆心的圆与椭圆至多有个公共点的充要条件为
，
由得，所求离心率的取值范围为．
20.本题主要考查数列的递推关系与单调性、不等式性质等基础知识，同时考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力。满分15分。
（I）由得，故
，，
所以
，
因此
．
（II）任取，由（I）知，对于任意，
，
故
．
从而对于任意，均有
．
由的任意性得． ①
否则，存在，有，取正整数且，则
，
与①式矛盾．
综上，对于任意，均有．
