2015高考真题——数学文（新课标I卷）Word版含答案
2023-12-09 12:32:48
2015年普通高等学校招生全国统一考试（新课标1卷）文
一、选择题：每小题5分,共60分
1、已知集合，则集合中的元素个数为
（A） 5 （B）4 （C）3 （D）2
2、已知点，向量，则向量
（A） （B） （C） （D）
3、已知复数满足，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
4、如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ）
（A） （B） （C） （D）
5、已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线的焦点重合，是C的准线与E的两个交点，则
（A） （B） （C） （D）
6、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题："今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问"积及为米几何？"其意思为："在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？"已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（ ）
（A）斛 （B）斛 （C）斛 （D）斛
7、已知是公差为1的等差数列，为的前项和，若，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
8、函数的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
9、执行右面的程序框图，如果输入的，则输出的（ ）
（A） （B） （C）7 （D）8
10、已知函数 ，
且，则
（A）
（B）
（C）
（D）
11、圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为，则( )
（A）
（B）
（C）
（D）
12、设函数的图像与的图像关于直线对称，且
，则( )
（A） （B） （C） （D）
二、填空题：本大题共4小题,每小题5分
13、数列中为的前n项和，若，则 .
14.已知函数的图像在点的处的切线过点，则 .
15. 若x,y满足约束条件 ,则z=3x+y的最大值为 ．
16.已知是双曲线的右焦点，P是C左支上一点， ，当周长最小时，该三角形的面积为 ．
三、解答题
17. （本小题满分12分）已知分别是内角的对边，.
（I）若，求
（II）若，且 求的面积.
18. （本小题满分12分）如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，，
（I）证明：平面平面；
（II）若， 三棱锥的体积为，求该三棱锥的侧面积.
19. （本小题满分12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的宣传费和年销售量数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
（I）根据散点图判断，与，哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；
（II）根据（I）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（III）已知这种产品的年利润z与x，y的关系为 ，根据（II）的结果回答下列问题：
（i）当年宣传费=49时，年销售量及年利润的预报值时多少？
（ii）当年宣传费为何值时，年利润的预报值最大？
20. （本小题满分12分）已知过点且斜率为k的直线l与圆C：交于M，N两点.
（I）求k的取值范围；
（II）若，其中O为坐标原点，求.
21. （本小题满分12分）设函数.
（I）讨论的导函数的零点的个数；
（II）证明：当时.
请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号
22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图AB是O直径，AC是O切线，BC交O与点E.
（I）若D为AC中点，证明：DE是O切线；
（II）若 ，求的大小.
23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 中，直线，圆，以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（I）求的极坐标方程.
（II）若直线的极坐标方程为，设的交点为，求 的面积.
24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数 .
（I）当 时求不等式 的解集；
（II）若的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.
2015年普通高等学校招生全国统一考试（新课标1卷）文
答案
一、 选择题
（1）D （2）A （3）C （4）C （5）B （6）B
（7）B （8）D （9）C （10）A （11）B （12）C
二、 填空题
（13）6 （14）1 （15）4 （16）
三、 解答题
17、解：
（I）由题设及正弦定理可得=2ac.
又a=b，可得cosB== ......6分
（II）由（I）知=2ac.
因为B=，由勾股定理得.
故，的c=a=.
所以△ABC的面积为1. ......12分
18、解：
（I）因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.
因为BE⊥平面ABCD,所以AC⊥BE,故AC⊥平面BED.
又AC平面AEC,所以平面AEC⊥平面BED. ......5分
（II）设AB=，在菱形ABCD中，又∠ABC= ，可得
AG=GC=，GB=GD=.
因为AE⊥EC,所以在Rt△AEC中，可的EG=.
由BE⊥平面ABCD,知△EBG为直角三角形，可得BE=.
由已知得，三棱锥E-ACD的体积=×AC・GD・BE=.
故=2 ......9分
从而可得AE=EC=ED=.
所以△EAC的面积为3，△EAD的面积与 △ECD的面积均为.
故三棱锥E-ACD的侧面积为3+2. ......12分
19、解：
（I）由散点图可以判断，y=c+d适宜作为年销售量y关于年宣传费的回归方程式类型.
（II）令，先建立y关于w的线性回归方程式.由于
,
，
所以y关于w的线性回归方程为,因此y关于的回归方程为
（Ⅲ）（i）由（II）知，当=49时，年销售量y的预报值
，
年利润z的预报值
......9分
（ii）根据（II）的结果知，年利润z的预报值
.
所以当，即=46.24时，取得最大值.
故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大. ......12分
20、解：
（I）由题设，可知直线的方程为.
因为与C交于两点，所以.
解得 .
所以k的取值范围为. ......5分
（II）设.
将代入方程，整理得
.
所以.
.
由题设可得=12，解得k=1，所以的方程是y=x+1.
故圆心C在上，所以. ......12分
21、解：
（I）的定义域为.
当≤0时，没有零点；
当时，因为单调递增，单调递减，所以在单调递增，又，
当b满足0＜b＜且b＜时，，故当＜0时存在唯一零点.
......6分
（II）由（I），可设在的唯一零点为，当时，＜0；
当时，＞0.
故在单调递减，在单调递增，所以时，取得最小值，最小值为.
由于，所以.
故当时，. ......12分
22、解：
（I）连接AE，由已知得，AE⊥BC,AC⊥AB.
在Rt△AEC中，由已知得，DE=DC,故∠DEC=∠DCE.
连结OE，则∠OBE=∠OEB.
又∠OED+∠ABC=，所以∠DEC+∠OEB=，故∠OED=，DE是O的切线.
......5分
（II）设CE=1，AE=，由已知得AB=，BE=.由射影定理可得，，
所以，即.可得，所以∠ACB=.
......10分
23、解：
（I）因为，所以的极坐标方程为，
的极坐标方程为. ......5分
（II）将代入，得，解得
.故，即
由于的半径为1，所以的面积为. ......10分
24、解：
（I）当时，化为.
当时，不等式化为，无解；
当时，不等式化为，解得；
当，不等式化为-+2＞0，解得1≤＜2.
所以的解集为. ......5分
（II）由题设可得，
所以函数的图像与轴围成的三角形的三个丁点分别为
,△ABC的面积为.
由题设得＞6，故＞2.
所以的取值范围为. ......10分
一、选择题：每小题5分,共60分
1、已知集合，则集合中的元素个数为
（A） 5 （B）4 （C）3 （D）2
2、已知点，向量，则向量
（A） （B） （C） （D）
3、已知复数满足，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
4、如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ）
（A） （B） （C） （D）
5、已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线的焦点重合，是C的准线与E的两个交点，则
（A） （B） （C） （D）
6、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题："今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问"积及为米几何？"其意思为："在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？"已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（ ）
（A）斛 （B）斛 （C）斛 （D）斛
7、已知是公差为1的等差数列，为的前项和，若，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
8、函数的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
9、执行右面的程序框图，如果输入的，则输出的（ ）
（A） （B） （C）7 （D）8
10、已知函数 ，
且，则
（A）
（B）
（C）
（D）
11、圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为，则( )
（A）
（B）
（C）
（D）
12、设函数的图像与的图像关于直线对称，且
，则( )
（A） （B） （C） （D）
二、填空题：本大题共4小题,每小题5分
13、数列中为的前n项和，若，则 .
14.已知函数的图像在点的处的切线过点，则 .
15. 若x,y满足约束条件 ,则z=3x+y的最大值为 ．
16.已知是双曲线的右焦点，P是C左支上一点， ，当周长最小时，该三角形的面积为 ．
三、解答题
17. （本小题满分12分）已知分别是内角的对边，.
（I）若，求
（II）若，且 求的面积.
18. （本小题满分12分）如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，，
（I）证明：平面平面；
（II）若， 三棱锥的体积为，求该三棱锥的侧面积.
19. （本小题满分12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的宣传费和年销售量数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
（I）根据散点图判断，与，哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；
（II）根据（I）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（III）已知这种产品的年利润z与x，y的关系为 ，根据（II）的结果回答下列问题：
（i）当年宣传费=49时，年销售量及年利润的预报值时多少？
（ii）当年宣传费为何值时，年利润的预报值最大？
20. （本小题满分12分）已知过点且斜率为k的直线l与圆C：交于M，N两点.
（I）求k的取值范围；
（II）若，其中O为坐标原点，求.
21. （本小题满分12分）设函数.
（I）讨论的导函数的零点的个数；
（II）证明：当时.
请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号
22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图AB是O直径，AC是O切线，BC交O与点E.
（I）若D为AC中点，证明：DE是O切线；
（II）若 ，求的大小.
23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 中，直线，圆，以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（I）求的极坐标方程.
（II）若直线的极坐标方程为，设的交点为，求 的面积.
24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数 .
（I）当 时求不等式 的解集；
（II）若的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.
2015年普通高等学校招生全国统一考试（新课标1卷）文
答案
一、 选择题
（1）D （2）A （3）C （4）C （5）B （6）B
（7）B （8）D （9）C （10）A （11）B （12）C
二、 填空题
（13）6 （14）1 （15）4 （16）
三、 解答题
17、解：
（I）由题设及正弦定理可得=2ac.
又a=b，可得cosB== ......6分
（II）由（I）知=2ac.
因为B=，由勾股定理得.
故，的c=a=.
所以△ABC的面积为1. ......12分
18、解：
（I）因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.
因为BE⊥平面ABCD,所以AC⊥BE,故AC⊥平面BED.
又AC平面AEC,所以平面AEC⊥平面BED. ......5分
（II）设AB=，在菱形ABCD中，又∠ABC= ，可得
AG=GC=，GB=GD=.
因为AE⊥EC,所以在Rt△AEC中，可的EG=.
由BE⊥平面ABCD,知△EBG为直角三角形，可得BE=.
由已知得，三棱锥E-ACD的体积=×AC・GD・BE=.
故=2 ......9分
从而可得AE=EC=ED=.
所以△EAC的面积为3，△EAD的面积与 △ECD的面积均为.
故三棱锥E-ACD的侧面积为3+2. ......12分
19、解：
（I）由散点图可以判断，y=c+d适宜作为年销售量y关于年宣传费的回归方程式类型.
（II）令，先建立y关于w的线性回归方程式.由于
,
，
所以y关于w的线性回归方程为,因此y关于的回归方程为
（Ⅲ）（i）由（II）知，当=49时，年销售量y的预报值
，
年利润z的预报值
......9分
（ii）根据（II）的结果知，年利润z的预报值
.
所以当，即=46.24时，取得最大值.
故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大. ......12分
20、解：
（I）由题设，可知直线的方程为.
因为与C交于两点，所以.
解得 .
所以k的取值范围为. ......5分
（II）设.
将代入方程，整理得
.
所以.
.
由题设可得=12，解得k=1，所以的方程是y=x+1.
故圆心C在上，所以. ......12分
21、解：
（I）的定义域为.
当≤0时，没有零点；
当时，因为单调递增，单调递减，所以在单调递增，又，
当b满足0＜b＜且b＜时，，故当＜0时存在唯一零点.
......6分
（II）由（I），可设在的唯一零点为，当时，＜0；
当时，＞0.
故在单调递减，在单调递增，所以时，取得最小值，最小值为.
由于，所以.
故当时，. ......12分
22、解：
（I）连接AE，由已知得，AE⊥BC,AC⊥AB.
在Rt△AEC中，由已知得，DE=DC,故∠DEC=∠DCE.
连结OE，则∠OBE=∠OEB.
又∠OED+∠ABC=，所以∠DEC+∠OEB=，故∠OED=，DE是O的切线.
......5分
（II）设CE=1，AE=，由已知得AB=，BE=.由射影定理可得，，
所以，即.可得，所以∠ACB=.
......10分
23、解：
（I）因为，所以的极坐标方程为，
的极坐标方程为. ......5分
（II）将代入，得，解得
.故，即
由于的半径为1，所以的面积为. ......10分
24、解：
（I）当时，化为.
当时，不等式化为，无解；
当时，不等式化为，解得；
当，不等式化为-+2＞0，解得1≤＜2.
所以的解集为. ......5分
（II）由题设可得，
所以函数的图像与轴围成的三角形的三个丁点分别为
,△ABC的面积为.
由题设得＞6，故＞2.
所以的取值范围为. ......10分
