2015高考真题——数学理（新课标Ⅱ卷）word版
2023-12-09 13:40:45
2015年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
(1) 已知集合A=｛-2，-1，0，2｝，B=｛x|（x-1）（x+2）＜0｝，则A∩B=
（A）｛-1，0｝ （B）｛0，1｝ （C）｛-1，0，1｝ （D）｛0，1，2｝
(2) 若a为实数且（2+ai）（a-2i）=-4i,则a=
（A）-1 （B）0 （C）1 （D）2
(3) 根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论不正确的是.
（A） 逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著.
（B） 2007年我国治理二氧化硫排放显现成效.
（C） 2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势.
（D） 2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关.
（4）等比数列｛｝满足a1=3，a1+ a3+ a5=21，则a3+ a5+ a7 =
（A）21 （B）42 （C）63 （D）84
（5）设函数则
（A）3 （B）6 （C）9 （D）12
（6）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为
（A） （B） （C） （D）
（7）过三点A（1,3），B（4,2），C（1,-7）的圆交于y轴于M、N两点，则=
（A）2 （B）8 （C）4 （D）10
（8）右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的"更相减损术".执行该程序框图，若输入a,b分别为14,18，则输出的a=
（A）0 （B）2 （C）4 （D）14
（9）已知A,B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为
A．36π B.64π C.144π D.256π
(10).如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，∠BOP=x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则f（x）的图像大致为
（11）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，?为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为
A． B．2 C． D．
（12）设函数是奇函数的导函数，，当x>0时，＜0，则使得f (x) >0成立的x的取值范围是
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题本大题共四个小题，每小题5分。
（13）设向量a，b不平行，向量与平行，则实数= ；
（14）若x，y满足约束条件，则的最大值为____________ ；
（15） 的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则α=__________；
（16）设Sn是数列{}的前项和，且，则Sn=___________________．
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）（本小题满分12分）
?ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，?ABD是?ADC面积的2倍。
(Ⅰ)求 ； (Ⅱ) 若AD=1，DC= ，求BD和AC的长．
(18) (本小题满分12分）
某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：
A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76
78 86 95 66 97 78 88 82 76 89
B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82
93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；
（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：
满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 记事件C："A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级"，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率。
（19）(本小题满分12分）
如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4，过点E，F的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形
（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）；
（Ⅱ）求直线AF与平面所成角的正弦值.
（20）(本小题满分12分）
已知椭圆C：(m＞0)，直线不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.
(Ⅰ) 证明：直线OM的斜率与的斜率的乘积为定值；
（Ⅱ）若l过点，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否平行四边行？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．
（21）(本小题满分12分）
设函数.
(Ⅰ)证明：f(x)在（-∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；
(Ⅱ)若对于任意x1,，x2∈[-1,1]，都有｜f(x1)- f(x2)｜≤e-1，求m的取值范围．
请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号。
（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，O为等腰三角形ABC内一点，圆O与△ABC的底边BC交于M、N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E、F两点.
(Ⅰ)证明：EF∥BC
(Ⅱ) 若AG等于圆O的半径，且AE==,求四边形EBCF的面积.
（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线C1：（t为参数，t≠0）其中，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：，C3：.
(Ⅰ).求C2与C3交点的直角坐标；
(Ⅱ).若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求的最大值.
（24）（本小题满分10分）选修4-5不等式选讲
设a，b，c，d均为正数，且，证明：
(Ⅰ) 若>，则；
(Ⅱ) 是 的充要条件.
理科数学
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
(1) 已知集合A=｛-2，-1，0，2｝，B=｛x|（x-1）（x+2）＜0｝，则A∩B=
（A）｛-1，0｝ （B）｛0，1｝ （C）｛-1，0，1｝ （D）｛0，1，2｝
(2) 若a为实数且（2+ai）（a-2i）=-4i,则a=
（A）-1 （B）0 （C）1 （D）2
(3) 根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论不正确的是.
（A） 逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著.
（B） 2007年我国治理二氧化硫排放显现成效.
（C） 2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势.
（D） 2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关.
（4）等比数列｛｝满足a1=3，a1+ a3+ a5=21，则a3+ a5+ a7 =
（A）21 （B）42 （C）63 （D）84
（5）设函数则
（A）3 （B）6 （C）9 （D）12
（6）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为
（A） （B） （C） （D）
（7）过三点A（1,3），B（4,2），C（1,-7）的圆交于y轴于M、N两点，则=
（A）2 （B）8 （C）4 （D）10
（8）右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的"更相减损术".执行该程序框图，若输入a,b分别为14,18，则输出的a=
（A）0 （B）2 （C）4 （D）14
（9）已知A,B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为
A．36π B.64π C.144π D.256π
(10).如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，∠BOP=x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则f（x）的图像大致为
（11）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，?为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为
A． B．2 C． D．
（12）设函数是奇函数的导函数，，当x>0时，＜0，则使得f (x) >0成立的x的取值范围是
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题本大题共四个小题，每小题5分。
（13）设向量a，b不平行，向量与平行，则实数= ；
（14）若x，y满足约束条件，则的最大值为____________ ；
（15） 的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则α=__________；
（16）设Sn是数列{}的前项和，且，则Sn=___________________．
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）（本小题满分12分）
?ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，?ABD是?ADC面积的2倍。
(Ⅰ)求 ； (Ⅱ) 若AD=1，DC= ，求BD和AC的长．
(18) (本小题满分12分）
某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：
A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76
78 86 95 66 97 78 88 82 76 89
B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82
93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；
（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：
满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 记事件C："A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级"，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率。
（19）(本小题满分12分）
如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4，过点E，F的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形
（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）；
（Ⅱ）求直线AF与平面所成角的正弦值.
（20）(本小题满分12分）
已知椭圆C：(m＞0)，直线不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.
(Ⅰ) 证明：直线OM的斜率与的斜率的乘积为定值；
（Ⅱ）若l过点，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否平行四边行？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．
（21）(本小题满分12分）
设函数.
(Ⅰ)证明：f(x)在（-∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；
(Ⅱ)若对于任意x1,，x2∈[-1,1]，都有｜f(x1)- f(x2)｜≤e-1，求m的取值范围．
请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号。
（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，O为等腰三角形ABC内一点，圆O与△ABC的底边BC交于M、N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E、F两点.
(Ⅰ)证明：EF∥BC
(Ⅱ) 若AG等于圆O的半径，且AE==,求四边形EBCF的面积.
（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线C1：（t为参数，t≠0）其中，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：，C3：.
(Ⅰ).求C2与C3交点的直角坐标；
(Ⅱ).若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求的最大值.
（24）（本小题满分10分）选修4-5不等式选讲
设a，b，c，d均为正数，且，证明：
(Ⅰ) 若>，则；
(Ⅱ) 是 的充要条件.
