2015高考真题——数学文（新课标II卷）Word版含答案
2023-11-09 16:21:26
2015年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号框。写在本试卷上无效。
3．答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、 选择题：本大题共12小题。每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1.已知集合，，则A∪B=
A. B. C. D.
2.若为实数，且，则
A. B. C. D.
3. 根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是
A.逐年比较，2008年减少二氧化碳排放量的效果显著
B.2007年我国治理二氧化碳排放显现成效
C.2006年以来我国二氧化碳年排放量呈逐渐减少趋势
D.2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关
4.向量a=(1，-1) b=(-1，2)，则（2a +b）.a=
A. B. C. D.
5. 设是数列的前项和，若，则
A. 5 B. 7 C. 9 D. 11
6. 一个正方体被一个平面截取一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为
A. B. C. D.
7.已知三点，，，则外接圆的圆心到原点的距离为
A. B. C. D.
8.右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中"更相减损术".执行该程序框图，若输入的、分别为14、18，则输出的
A. 0 B. 2 C. 4 D. 14
9.已知等比数列满足，，则
A. 2 B. 1 C. D.
10.已知、是球的球面上两点，，为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36，则球的表面积为
A. B. C. D.
11.如图，长方形的边，，是的中点，点沿着、与运动，记.将动点到、两点距离之和表示为的函数，则的图象大致为
12. 设函数，则使得成立的的取值范围是
A. B.
C. D.
二．填空题：共4小题，每小题5分.
13. 已知函数的图象过点，则 .
14.若、满足约束条件，则的最大值为 .
15.已知双曲线过点，且渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为 .
16.已知曲线在点处的切线与曲线相切，则 .
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17、（本小题满分12分）
ΔABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC.
（I） 求；
（II） 若∠BAC=60°,求∠B.
18、（本小题满分12分）
某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得分A地区用户满意评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表.
B地区用户满意度评分的频数分布表
满意度评分分组 [50,60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100) 频数 2 8 14 10 6 (I) 在答题卡上作出B地区用户满意度评分的频数分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）
(II) 根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级；
满意度评分 低于70分 70分到80分 不低于90分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由.
19、（本小题满分12分）
如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8,点E，分别在A1B1, D1C1上，A1E= D1F=4.过点E,F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.
（I） 在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）
（II） 求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.
20、（本小题满分12分）
已知椭圆C：（>>0）的离心率为，点（2，）在C上.
（I） 求C的方程.
（II） 直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.
21、（本小题满分12分）
已知函数f（x）= x +a（1- x）
（I） 讨论f（x）的单调性；
（II） 当f（x）有最大值，且最大值大于2a-2时，求a的取值范围.
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号。
22、（本小题满分10分）选修4-1，几何证明选择
如图，O为等腰三角形ABC内一点，圆O与ΔABC的底边BC交于M,N两点，与底边上的高AD交于G,且与AB，AC分别相切于E,F两点.
（I） 证明：EF//BC;
（II） 若AG等于圆O的半径，且AE==2，求四边形EBCF的面积
23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直线坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t0）其中0α.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：p=2，C3：p=2。
（I） 求C1 与C3 交点的直角坐标；
（II） 若C1 与C2 相交于点A，C1 与C3 相交于点B，求的最大值.
24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d.证明：
（I） 若ab>cd，则>;
（II） >是<的充要条件.
2015年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学试题答案
一.选择题
（1 ）A （2 ）D （3 ）D （4 ）C （5 ） A （6 ）D
（7 ）B （8 ）B （9 ）C （10 ）C （11 ）B （12 ）A
二.选择题
（13 ）-2 （14 ）8 （15 ） （16 ）8
三.解答题
（17）解：
（Ⅰ）由正弦定理得
因为AD平分所以
（Ⅱ）因为所以
由（Ⅰ）知 所以 即。
（18）解：
（Ⅰ）
通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值；B地区用户满意度评分比较集中，而A地区用户满意度评分比较分散。
（Ⅱ）A地区用户满意度等级为不满意的概率大。
记CA表示事件："A地区用户满意度等级为不满意"；CB表示事件："B地区用户满意度等级为不满意"。
由直方图得P(CA)的估计值为（0.01+0.02+0.03）×10=0.6，
P(CB) 的估计值为（0.005+0.02）×10=0.25.
所以A地区用户满意度等级为不满意的概率大。
（19）解：
（Ⅰ）交线围成的正方形EHGF如图：
（Ⅱ）作⊥AB,垂足为M，则=A1E=4，EB1=12，=AA1=8.因为EHGF为正方形，所以EH=EF=BC=10.于是MH=.因为长方体被平面分为两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为（也正确）
（20）解：
（Ⅰ）由题意有，
解得 。所以C的方程为
（Ⅱ）设直线将代入得
故
于是直线OM的斜率
所以直线OM的斜率与直线的斜率的乘积为定值。
（21）解：
（Ⅰ）f（x）的定义域为
若则所以单调递增。
若，则当时，当时，所以在单调递增，在单调递减。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，无最大值；当时，在取得最大值，最大值为。
因此 等价于
令，则在单调递增，
于是，当时；当时，
因此，的取值范围是
（22）解：
（Ⅰ）由于是等腰三角形，,所以是的平行线。又因为分别于，相切于点，，所以，故从而。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，故是的垂直平分线，又为的弦，所以在上。
连接,,则
由等于的半径得,所以. 因此和都是等边三角形。
因为，所以，。
因为，，所以于是
所以四边形的面积为
（23）解：
（Ⅰ）曲线C2的直角坐标方程为曲线C3的直角坐标方程为
联立 解得 或
所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和
（Ⅱ）曲线C1的极坐标方程为
因此A的极坐标为B的极坐标为所以当时，取得最大值，最大值为4.
（24）解：
（Ⅰ）因为
由题设，得。
因此。
（Ⅱ）（i）若则，即
因为，所以
由（Ⅰ）得
（ii）若，则，即
因为，所以.于是
因此
综上，是的充要条件
文科数学
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号框。写在本试卷上无效。
3．答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、 选择题：本大题共12小题。每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1.已知集合，，则A∪B=
A. B. C. D.
2.若为实数，且，则
A. B. C. D.
3. 根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是
A.逐年比较，2008年减少二氧化碳排放量的效果显著
B.2007年我国治理二氧化碳排放显现成效
C.2006年以来我国二氧化碳年排放量呈逐渐减少趋势
D.2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关
4.向量a=(1，-1) b=(-1，2)，则（2a +b）.a=
A. B. C. D.
5. 设是数列的前项和，若，则
A. 5 B. 7 C. 9 D. 11
6. 一个正方体被一个平面截取一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为
A. B. C. D.
7.已知三点，，，则外接圆的圆心到原点的距离为
A. B. C. D.
8.右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中"更相减损术".执行该程序框图，若输入的、分别为14、18，则输出的
A. 0 B. 2 C. 4 D. 14
9.已知等比数列满足，，则
A. 2 B. 1 C. D.
10.已知、是球的球面上两点，，为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36，则球的表面积为
A. B. C. D.
11.如图，长方形的边，，是的中点，点沿着、与运动，记.将动点到、两点距离之和表示为的函数，则的图象大致为
12. 设函数，则使得成立的的取值范围是
A. B.
C. D.
二．填空题：共4小题，每小题5分.
13. 已知函数的图象过点，则 .
14.若、满足约束条件，则的最大值为 .
15.已知双曲线过点，且渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为 .
16.已知曲线在点处的切线与曲线相切，则 .
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17、（本小题满分12分）
ΔABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC.
（I） 求；
（II） 若∠BAC=60°,求∠B.
18、（本小题满分12分）
某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得分A地区用户满意评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表.
B地区用户满意度评分的频数分布表
满意度评分分组 [50,60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100) 频数 2 8 14 10 6 (I) 在答题卡上作出B地区用户满意度评分的频数分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）
(II) 根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级；
满意度评分 低于70分 70分到80分 不低于90分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由.
19、（本小题满分12分）
如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8,点E，分别在A1B1, D1C1上，A1E= D1F=4.过点E,F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.
（I） 在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）
（II） 求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.
20、（本小题满分12分）
已知椭圆C：（>>0）的离心率为，点（2，）在C上.
（I） 求C的方程.
（II） 直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.
21、（本小题满分12分）
已知函数f（x）= x +a（1- x）
（I） 讨论f（x）的单调性；
（II） 当f（x）有最大值，且最大值大于2a-2时，求a的取值范围.
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号。
22、（本小题满分10分）选修4-1，几何证明选择
如图，O为等腰三角形ABC内一点，圆O与ΔABC的底边BC交于M,N两点，与底边上的高AD交于G,且与AB，AC分别相切于E,F两点.
（I） 证明：EF//BC;
（II） 若AG等于圆O的半径，且AE==2，求四边形EBCF的面积
23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直线坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t0）其中0α.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：p=2，C3：p=2。
（I） 求C1 与C3 交点的直角坐标；
（II） 若C1 与C2 相交于点A，C1 与C3 相交于点B，求的最大值.
24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d.证明：
（I） 若ab>cd，则>;
（II） >是<的充要条件.
2015年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学试题答案
一.选择题
（1 ）A （2 ）D （3 ）D （4 ）C （5 ） A （6 ）D
（7 ）B （8 ）B （9 ）C （10 ）C （11 ）B （12 ）A
二.选择题
（13 ）-2 （14 ）8 （15 ） （16 ）8
三.解答题
（17）解：
（Ⅰ）由正弦定理得
因为AD平分所以
（Ⅱ）因为所以
由（Ⅰ）知 所以 即。
（18）解：
（Ⅰ）
通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值；B地区用户满意度评分比较集中，而A地区用户满意度评分比较分散。
（Ⅱ）A地区用户满意度等级为不满意的概率大。
记CA表示事件："A地区用户满意度等级为不满意"；CB表示事件："B地区用户满意度等级为不满意"。
由直方图得P(CA)的估计值为（0.01+0.02+0.03）×10=0.6，
P(CB) 的估计值为（0.005+0.02）×10=0.25.
所以A地区用户满意度等级为不满意的概率大。
（19）解：
（Ⅰ）交线围成的正方形EHGF如图：
（Ⅱ）作⊥AB,垂足为M，则=A1E=4，EB1=12，=AA1=8.因为EHGF为正方形，所以EH=EF=BC=10.于是MH=.因为长方体被平面分为两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为（也正确）
（20）解：
（Ⅰ）由题意有，
解得 。所以C的方程为
（Ⅱ）设直线将代入得
故
于是直线OM的斜率
所以直线OM的斜率与直线的斜率的乘积为定值。
（21）解：
（Ⅰ）f（x）的定义域为
若则所以单调递增。
若，则当时，当时，所以在单调递增，在单调递减。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，无最大值；当时，在取得最大值，最大值为。
因此 等价于
令，则在单调递增，
于是，当时；当时，
因此，的取值范围是
（22）解：
（Ⅰ）由于是等腰三角形，,所以是的平行线。又因为分别于，相切于点，，所以，故从而。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，故是的垂直平分线，又为的弦，所以在上。
连接,,则
由等于的半径得,所以. 因此和都是等边三角形。
因为，所以，。
因为，，所以于是
所以四边形的面积为
（23）解：
（Ⅰ）曲线C2的直角坐标方程为曲线C3的直角坐标方程为
联立 解得 或
所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和
（Ⅱ）曲线C1的极坐标方程为
因此A的极坐标为B的极坐标为所以当时，取得最大值，最大值为4.
（24）解：
（Ⅰ）因为
由题设，得。
因此。
（Ⅱ）（i）若则，即
因为，所以
由（Ⅰ）得
（ii）若，则，即
因为，所以.于是
因此
综上，是的充要条件
