2015高考真题——数学理（天津卷）Word版含答案
2023-11-20 01:46:17
2015年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数 学（理工类）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
第I卷
注意事项：
・1、每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2.本卷共8小题，每小题5分，共40分
参考公式：
如果事件 A，B 互斥，那么 ・如果事件 A，B 相互独立，
P(A∪B)=P(A)+P(B)． P(AB)=P(A) P(B)．
柱体的体积公式V 柱体=Sh 锥体的体积公式V = V=1/3Sh
其中 S 表示柱体的底面积 其中 S 表示锥体的底面积，
h 表示柱体的高． h 表示锥体的高．
第Ⅰ卷注意事项：本卷共8小题，每小题5分，共40分.
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）已知全集 ，集合 ，集合 ，则集合
A∩C u B=
（A） （B） （C） （D）
（2）设变量 满足约束条件 ，则目标函数的最大值为
（A）3（B）4（C）18（D）40
（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为
（A） （B）6（C）14（D）18
（4）设 ，则" "是" "的
（A）充分而不必要条件
（B）必要而不充分条件
（C）充要条件
（D）既不充分也不必要条件
（5）如图，在圆 中， 是弦 的三等分点，弦分别经过点 .若 ，则线段 的长为
（A） （B）3（C） （D）
（6）已知双曲线 的一条渐近线过点 ，且双曲线的一个焦点在抛物线 的准线上，则双曲线的方程为
（A） （B）
（C） （D）
（7）已知定义在 上的函数 （ 为实数）为偶函数，记 ，则 的大小关系为
（A） （B）
（C） （D）
（8）已知函数 函数 ，其中 ，若函数 恰有4个零点，则的取值范围是
（A） （B）
（C） （D）
第II卷
注意事项：
1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.
2、本卷共12小题，共计110分.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
（9） 是虚数单位，若复数 是纯虚数，则实数的值为 .
（10）一个几何体的三视图如图所示（单位：），
则该几何体的体积为 .
（11）曲线 与直线 所围成的封闭图形的面积为 .
（12）在 的展开式中， 的系数为 .
（13）在 中，内角 所对的边分别为 ，已知的面积为 ， 则 的值为 .
（14）在等腰梯形 中,已知 ,动点 和 分别在线段 和 上, .
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15.（本小题满分13分）已知函数，
(I)求最小正周期；
(II)求在区间上的最大值和最小值.
16. （本小题满分13分）
为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.
(I)设A为事件"选出的4人中恰有2 名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会"求事件A发生的概率；
(II)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.
17. （本小题满分13分）
如图，在四棱柱中，侧棱,,,
,且点M和N分别为的中点.
(I)求证： ∥平面ABCD
(II)求二面角的正弦值；
(III)设E为棱上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为，求线段的长
18. （本小题满分13分）
已知数列满足，且成等差数列.
(I)求q的值和的通项公式；
(II)设，求数列的前n项和.
19. （本小题满分14分）已知椭圆的左焦点为,离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线被圆截得的线段的长为c，.
(I)求直线的斜率；
(II)求椭圆的方程；
(III)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP（O为原点）的斜率的取值范围.
20. （本小题满分14分）
已知函数，其中.
(I)讨论的单调性；
(II)设曲线与轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为,求证：对于任意的正实数，都有；
(III)若关于的方程有两个正实根，求证： .
绝密★启用前
2015年普通高等学校招生全套统一考试（天津卷）
数学（理工类）参考解答
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分40分。
（1）A （2）C （3）B （4）A
（5）A （6）D （7）C （8）D
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分30分。
（9）-2 （10） （11）
（12） （13）8 （14）
三、解答题
（15）本小题主要考查两角差的正弦公式和余弦公式、二倍角的正弦公式和余弦公式，三角函数的最小正周期、单调性等基础知识。考查基本运算能力。满分13分。
（I）解：由已知，有
=
所以，的最小正周期T=
(II)解：因为在区间上是减函数，在区间上是增函数，，，.所以，在区间上的最大值为，最小值为.
（16）本小题主要考查古典概型及其概率计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.满分13分.
（I）解：由已知，有
所以，事件A发生的概率为.
（II）解：随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.
所以，随见变量的分布列为
1 2 3 4
随机变量的数学期望
（17）本小题主要考查直线与平面平行和垂直、二面角、直线与平面所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力。满分13分.
如图，以A为原点建立空间直角坐标系，依题意可得,,,
,.
又因为M,N分别为和的中点，
得,.
(I)证明：依题意，可得为平面的一个法向量. =.由此可得=0，又因为直线平面，所以∥平面.
（II）解：，.设为平面的法向量，则
即不妨设，可得.
设为平面DE 法向量，则又，得
不妨设z=1，可得.
因此有，于是.
所以，二面角的正弦值为。
（III）解：依题意，可设，其中，则，从而。又为平面的一个法向量，由已知，得
=，整理得，又因为，解得.
所以，线段的长为.
(18)本小题主要考查等比数列及其前n项和公式、等差中项等基础知识。考查数列求和的基本方法、分类讨论思想和运算求解能力.满分13分.
（I）解：由已知，有，即，所以.又因为，故，由，得.
当时，；
当时，.
所以，的通项公式为
（II）解：由（I）得.设的前n项和为，则
，
，
上述两式相减，得
，
整理得，.
所以，数列的前n项和为，.
（19）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程和圆的方程、直线与圆的位置关系、一元二次不等式等基础知识.考查用代数方法研究 曲线的性质，考查运算求解能力，以及用函数与方程思想解决问题的能力。满分14分.
（I）解：由已知有，又由，可得.
设直线的斜率为，则直线的方程为.由已知，有+，解得.
（II）解：由（I）得椭圆方程为，直线的方程为，两个方程联立，消去y，整理得，解得，或.因为点M在第一象限，可得M的坐标为.有，解得，所以椭圆的方程为.
（III）解：设点P的坐标为，直线FP的斜率为，得，即，
与椭圆方程联立消去，整理得.又由已知，得，解得，或.
设直线的斜率为，得，即，与椭圆方程联立，整理可得.
①当时，有，因此，于是，得.
②当时，有，因此，于是，得.
综上，直线的斜率的取值范围是.
（20）本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、利用导数研究函数的性质、证明不等式等基础知识和方法.考查分类讨论思想、函数思想和划归思想.考查综合分析问题和解决问题的能力。满分14分.
（I）解：由=，可得==，其中，且.
下面分两种情况讨论：
（1）当为奇数时.
令=0，解得，或.
当变化时，，的变化情况如下表：
- + -
所以，在，上单调递减，在内单调递增。
（2）当为偶数时.
当，即时，函数单调递增；
当，即时，函数单调递减.
所以，在上单调递增，在上单调递减.
（II）证明：设点的坐标为，则，.曲线在点处的切线方程为，即.令，即，则.
由于在上单调递减，故在上单调递减.又因为，所以当时，，当时，，所以在内单调递增，在上单调递减，所以对于任意的正实数，都有，即对于任意的正实数，都有.
（III）证明：不妨设.由（II）知.设方程的根为，可得，当时，在上单调递减.又由（II）知，可得.
类似地，设曲线在原点处的切线方程为，可得，当，，即对于任意的，.
设方程的根为，可得.因为在上单调递增，且，因此.
由此可得.
因为，所以，故.
所以，.
数 学（理工类）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
第I卷
注意事项：
・1、每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2.本卷共8小题，每小题5分，共40分
参考公式：
如果事件 A，B 互斥，那么 ・如果事件 A，B 相互独立，
P(A∪B)=P(A)+P(B)． P(AB)=P(A) P(B)．
柱体的体积公式V 柱体=Sh 锥体的体积公式V = V=1/3Sh
其中 S 表示柱体的底面积 其中 S 表示锥体的底面积，
h 表示柱体的高． h 表示锥体的高．
第Ⅰ卷注意事项：本卷共8小题，每小题5分，共40分.
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）已知全集 ，集合 ，集合 ，则集合
A∩C u B=
（A） （B） （C） （D）
（2）设变量 满足约束条件 ，则目标函数的最大值为
（A）3（B）4（C）18（D）40
（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为
（A） （B）6（C）14（D）18
（4）设 ，则" "是" "的
（A）充分而不必要条件
（B）必要而不充分条件
（C）充要条件
（D）既不充分也不必要条件
（5）如图，在圆 中， 是弦 的三等分点，弦分别经过点 .若 ，则线段 的长为
（A） （B）3（C） （D）
（6）已知双曲线 的一条渐近线过点 ，且双曲线的一个焦点在抛物线 的准线上，则双曲线的方程为
（A） （B）
（C） （D）
（7）已知定义在 上的函数 （ 为实数）为偶函数，记 ，则 的大小关系为
（A） （B）
（C） （D）
（8）已知函数 函数 ，其中 ，若函数 恰有4个零点，则的取值范围是
（A） （B）
（C） （D）
第II卷
注意事项：
1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.
2、本卷共12小题，共计110分.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
（9） 是虚数单位，若复数 是纯虚数，则实数的值为 .
（10）一个几何体的三视图如图所示（单位：），
则该几何体的体积为 .
（11）曲线 与直线 所围成的封闭图形的面积为 .
（12）在 的展开式中， 的系数为 .
（13）在 中，内角 所对的边分别为 ，已知的面积为 ， 则 的值为 .
（14）在等腰梯形 中,已知 ,动点 和 分别在线段 和 上, .
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15.（本小题满分13分）已知函数，
(I)求最小正周期；
(II)求在区间上的最大值和最小值.
16. （本小题满分13分）
为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.
(I)设A为事件"选出的4人中恰有2 名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会"求事件A发生的概率；
(II)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.
17. （本小题满分13分）
如图，在四棱柱中，侧棱,,,
,且点M和N分别为的中点.
(I)求证： ∥平面ABCD
(II)求二面角的正弦值；
(III)设E为棱上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为，求线段的长
18. （本小题满分13分）
已知数列满足，且成等差数列.
(I)求q的值和的通项公式；
(II)设，求数列的前n项和.
19. （本小题满分14分）已知椭圆的左焦点为,离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线被圆截得的线段的长为c，.
(I)求直线的斜率；
(II)求椭圆的方程；
(III)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP（O为原点）的斜率的取值范围.
20. （本小题满分14分）
已知函数，其中.
(I)讨论的单调性；
(II)设曲线与轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为,求证：对于任意的正实数，都有；
(III)若关于的方程有两个正实根，求证： .
绝密★启用前
2015年普通高等学校招生全套统一考试（天津卷）
数学（理工类）参考解答
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分40分。
（1）A （2）C （3）B （4）A
（5）A （6）D （7）C （8）D
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分30分。
（9）-2 （10） （11）
（12） （13）8 （14）
三、解答题
（15）本小题主要考查两角差的正弦公式和余弦公式、二倍角的正弦公式和余弦公式，三角函数的最小正周期、单调性等基础知识。考查基本运算能力。满分13分。
（I）解：由已知，有
=
所以，的最小正周期T=
(II)解：因为在区间上是减函数，在区间上是增函数，，，.所以，在区间上的最大值为，最小值为.
（16）本小题主要考查古典概型及其概率计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.满分13分.
（I）解：由已知，有
所以，事件A发生的概率为.
（II）解：随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.
所以，随见变量的分布列为
1 2 3 4
随机变量的数学期望
（17）本小题主要考查直线与平面平行和垂直、二面角、直线与平面所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力。满分13分.
如图，以A为原点建立空间直角坐标系，依题意可得,,,
,.
又因为M,N分别为和的中点，
得,.
(I)证明：依题意，可得为平面的一个法向量. =.由此可得=0，又因为直线平面，所以∥平面.
（II）解：，.设为平面的法向量，则
即不妨设，可得.
设为平面DE 法向量，则又，得
不妨设z=1，可得.
因此有，于是.
所以，二面角的正弦值为。
（III）解：依题意，可设，其中，则，从而。又为平面的一个法向量，由已知，得
=，整理得，又因为，解得.
所以，线段的长为.
(18)本小题主要考查等比数列及其前n项和公式、等差中项等基础知识。考查数列求和的基本方法、分类讨论思想和运算求解能力.满分13分.
（I）解：由已知，有，即，所以.又因为，故，由，得.
当时，；
当时，.
所以，的通项公式为
（II）解：由（I）得.设的前n项和为，则
，
，
上述两式相减，得
，
整理得，.
所以，数列的前n项和为，.
（19）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程和圆的方程、直线与圆的位置关系、一元二次不等式等基础知识.考查用代数方法研究 曲线的性质，考查运算求解能力，以及用函数与方程思想解决问题的能力。满分14分.
（I）解：由已知有，又由，可得.
设直线的斜率为，则直线的方程为.由已知，有+，解得.
（II）解：由（I）得椭圆方程为，直线的方程为，两个方程联立，消去y，整理得，解得，或.因为点M在第一象限，可得M的坐标为.有，解得，所以椭圆的方程为.
（III）解：设点P的坐标为，直线FP的斜率为，得，即，
与椭圆方程联立消去，整理得.又由已知，得，解得，或.
设直线的斜率为，得，即，与椭圆方程联立，整理可得.
①当时，有，因此，于是，得.
②当时，有，因此，于是，得.
综上，直线的斜率的取值范围是.
（20）本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、利用导数研究函数的性质、证明不等式等基础知识和方法.考查分类讨论思想、函数思想和划归思想.考查综合分析问题和解决问题的能力。满分14分.
（I）解：由=，可得==，其中，且.
下面分两种情况讨论：
（1）当为奇数时.
令=0，解得，或.
当变化时，，的变化情况如下表：
- + -
所以，在，上单调递减，在内单调递增。
（2）当为偶数时.
当，即时，函数单调递增；
当，即时，函数单调递减.
所以，在上单调递增，在上单调递减.
（II）证明：设点的坐标为，则，.曲线在点处的切线方程为，即.令，即，则.
由于在上单调递减，故在上单调递减.又因为，所以当时，，当时，，所以在内单调递增，在上单调递减，所以对于任意的正实数，都有，即对于任意的正实数，都有.
（III）证明：不妨设.由（II）知.设方程的根为，可得，当时，在上单调递减.又由（II）知，可得.
类似地，设曲线在原点处的切线方程为，可得，当，，即对于任意的，.
设方程的根为，可得.因为在上单调递增，且，因此.
由此可得.
因为，所以，故.
所以，.
