2015高考真题——数学文（上海卷）Word版含答案
2023-11-19 02:19:06
2015年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）文
2015年上海市文科试题
一．填空题（本大题共14小题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律零分）
1.函数的最小正周期为.
2.设全集.若集合，，则.
3.若复数满足，其中是虚数单位，则.
4.设为的反函数，则.
5.若线性方程组的增广矩阵为解为，则.
6.若正三棱柱的所有棱长均为，且其体积为，则.
7.抛物线上的懂点到焦点的距离的最小值为1，则.
8. 方程的解为.
9.若满足，则目标函数的最大值为.
10. 在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）.
11.在的二项式中，常数项等于 （结果用数值表示）.
12.已知双曲线、的顶点重合，的方程为，若的一条渐近线的斜率是的一条渐近线的斜率的2倍，则的方程为
13.已知平面向量、、满足，且，则的最大值是
14.已知函数.若存在，，，满足，且，则的最小值为
二．选择题（本大题共4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律零分.
15. 设、，则"、均为实数"是"是实数"的（ ）.
A. 充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
16. 下列不等式中，与不等式解集相同的是（ ）.
A. B.
C. D.
17. 已知点 的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的纵坐标为（ ）.
A. B.
C. D.
18. 设是直线与圆在第一象限的交点，则极限( ).
A. B.
C. D.
三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19.(本题满分12分)
如图，圆锥的顶点为，底面圆为，底面的一条直径为，为半圆弧的中点，为劣弧的中点，已知，求三棱锥的体积，并求异面直线和所成角的大小.
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
已知函数，其中为常数
(1)根据的不同取值，判断函数的奇偶性，并说明理由；
(2)若，判断函数在上的单调性，并说明理由.
21. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
如图，三地有直道相通，千米，千米，千米，现甲、乙两警员同时从地出发匀速前往地，经过小时，他们之间的距离为（单位：千米）.甲的路线是，速度为千米/小时，乙的路线是，速度为千米/小时，乙到达Q地后在原地等待.设时，乙到达地，时，乙到达地.
(1)求与的值；
(2)已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米，当时，求的表达式，并判断在上的最大值是否超过3？说明理由.
22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.
已知椭圆，过原点的两条直线和分别与椭圆交于点、和、，记的面积为.
(1)设，用、的坐标表示点到直线的距离，并证明；
（2）设，，，求的值;
(3)设与的斜率之积为，求的值，使得无论和如何变动，面积保持不变.
23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分, 第3小题满分8分.
已知数列与满足.
(1)若且,求的通项公式;
(2)设的第项是最大项,即,求证:的第项是最大项;
(3)设,,求的取值范围,使得对任意，，且
答案
一、（第1题至第14题）
1. 2.{1.4} 3. 4. 5.16 6. 4 7. 2 8. 2
9. 3 10. 120 11.240 12. 13. 14.8
二、（第15题至第18题）
15 .A 16.B 17.D 18.A
三、（第19题至第23题）
19.[解]
因为,所以为异面直线与所成的角或其补角
由,得,
在中，由余弦定理得,故异面直线与所成的角的大小为
20.[解]（1）的定义域为,关于原点对称，
，
当时，为奇函数
当时，由，知，故即不是奇函数也不是偶函数。
（2）设，则
，
由，得＞0， 2＜＜4, 1＜＜4，
，又1＜＜3,所以2＜＜12,
得-＞0，从而＞0，即，故当时，
在[1,2]上单调递增。
21.[解]（1）
记乙到P时甲所在地为R，则OR=千米。
在中，PR2=OP2+OR22OP・ORcosO,所以（千米）
（2）,
如图建立平面直角坐标系。设经过小时，甲、乙所在位置分别为M,N.
当时，
在上的最大值是，不超过3
22.[证]（1）直线：，点到的距离
因为，
所以.
[解]（2）由,得
由（1），
由题意，，解得或-1
[解]（3）设：，则：.
设,
由，得
同理、
由（1）,
=,
整理得
由题意知S与k无关，则，得，所以
23.[解](1)由，得，
所以是首项为1，公差为6的等差数列，
故的通项公式为=,
[证]（2）由，得
所以为常数列，，即
因为，,所以，即
故的第项是最大项
[解]（3）因为，所以，
当时，+...+
= ...
=
当时，，符合上式
所以
因为＜0，且对任意,，故＜0，特别地＜0
于是
此时对任意，
当＜＜0时，，由指数函数的单调性知，
的最大值为，最小值为，由题意，的最大值及最小值分别为
。由及<6,解得
综上所述，的取值范围为.
2015年上海市文科试题
一．填空题（本大题共14小题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律零分）
1.函数的最小正周期为.
2.设全集.若集合，，则.
3.若复数满足，其中是虚数单位，则.
4.设为的反函数，则.
5.若线性方程组的增广矩阵为解为，则.
6.若正三棱柱的所有棱长均为，且其体积为，则.
7.抛物线上的懂点到焦点的距离的最小值为1，则.
8. 方程的解为.
9.若满足，则目标函数的最大值为.
10. 在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）.
11.在的二项式中，常数项等于 （结果用数值表示）.
12.已知双曲线、的顶点重合，的方程为，若的一条渐近线的斜率是的一条渐近线的斜率的2倍，则的方程为
13.已知平面向量、、满足，且，则的最大值是
14.已知函数.若存在，，，满足，且，则的最小值为
二．选择题（本大题共4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律零分.
15. 设、，则"、均为实数"是"是实数"的（ ）.
A. 充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
16. 下列不等式中，与不等式解集相同的是（ ）.
A. B.
C. D.
17. 已知点 的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的纵坐标为（ ）.
A. B.
C. D.
18. 设是直线与圆在第一象限的交点，则极限( ).
A. B.
C. D.
三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19.(本题满分12分)
如图，圆锥的顶点为，底面圆为，底面的一条直径为，为半圆弧的中点，为劣弧的中点，已知，求三棱锥的体积，并求异面直线和所成角的大小.
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
已知函数，其中为常数
(1)根据的不同取值，判断函数的奇偶性，并说明理由；
(2)若，判断函数在上的单调性，并说明理由.
21. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
如图，三地有直道相通，千米，千米，千米，现甲、乙两警员同时从地出发匀速前往地，经过小时，他们之间的距离为（单位：千米）.甲的路线是，速度为千米/小时，乙的路线是，速度为千米/小时，乙到达Q地后在原地等待.设时，乙到达地，时，乙到达地.
(1)求与的值；
(2)已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米，当时，求的表达式，并判断在上的最大值是否超过3？说明理由.
22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.
已知椭圆，过原点的两条直线和分别与椭圆交于点、和、，记的面积为.
(1)设，用、的坐标表示点到直线的距离，并证明；
（2）设，，，求的值;
(3)设与的斜率之积为，求的值，使得无论和如何变动，面积保持不变.
23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分, 第3小题满分8分.
已知数列与满足.
(1)若且,求的通项公式;
(2)设的第项是最大项,即,求证:的第项是最大项;
(3)设,,求的取值范围,使得对任意，，且
答案
一、（第1题至第14题）
1. 2.{1.4} 3. 4. 5.16 6. 4 7. 2 8. 2
9. 3 10. 120 11.240 12. 13. 14.8
二、（第15题至第18题）
15 .A 16.B 17.D 18.A
三、（第19题至第23题）
19.[解]
因为,所以为异面直线与所成的角或其补角
由,得,
在中，由余弦定理得,故异面直线与所成的角的大小为
20.[解]（1）的定义域为,关于原点对称，
，
当时，为奇函数
当时，由，知，故即不是奇函数也不是偶函数。
（2）设，则
，
由，得＞0， 2＜＜4, 1＜＜4，
，又1＜＜3,所以2＜＜12,
得-＞0，从而＞0，即，故当时，
在[1,2]上单调递增。
21.[解]（1）
记乙到P时甲所在地为R，则OR=千米。
在中，PR2=OP2+OR22OP・ORcosO,所以（千米）
（2）,
如图建立平面直角坐标系。设经过小时，甲、乙所在位置分别为M,N.
当时，
在上的最大值是，不超过3
22.[证]（1）直线：，点到的距离
因为，
所以.
[解]（2）由,得
由（1），
由题意，，解得或-1
[解]（3）设：，则：.
设,
由，得
同理、
由（1）,
=,
整理得
由题意知S与k无关，则，得，所以
23.[解](1)由，得，
所以是首项为1，公差为6的等差数列，
故的通项公式为=,
[证]（2）由，得
所以为常数列，，即
因为，,所以，即
故的第项是最大项
[解]（3）因为，所以，
当时，+...+
= ...
=
当时，，符合上式
所以
因为＜0，且对任意,，故＜0，特别地＜0
于是
此时对任意，
当＜＜0时，，由指数函数的单调性知，
的最大值为，最小值为，由题意，的最大值及最小值分别为
。由及<6,解得
综上所述，的取值范围为.
