2015高考真题——数学理（山东卷）Word版含答案
2023-11-12 06:51:39
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2015年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)
理科数学
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页。满分150分。考试用时120分钟。考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。答案写在试卷上无效。
3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。
4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
参考公式：
如果事件A,B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).
第Ⅰ卷（共50分）
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的
（1） 已知集合A={X|X2-4X+3<0}，B={X|2（A）（1，3） （B）（1，4） （C）（2，3） （D）（2，4）
（2）若复数Z满足，其中i为虚数单位，则Z=
（A）1-i （B）1+i （C）-1-i （D）-1+i
（3）要得到函数y=s（4x-）的图像，只需要将函数y=s4x的图像（）
（A）向左平移个单位 （B）向右平移个单位
（C）向左平移个单位 （D）向右平移个单位
（4）已知菱形ABCD 的边长为a，∠ABC=60o ,则＝
（A）- （B）- （C） （D）
（5）不等式|xx<2的解集是
（A）（-，4） （B）（-，1） （C）（1，4） （D）（1，5）
（6）已知x,y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a=
（A）3 （B）2 （C）-2 （D）-3
（7）在梯形ABCD中，∠ABC=，AD//BC，BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为
（A） （B） （C） （D）2
（8）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N（0，32），从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为
（附：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ-σ<ξ<μ+σ）=68.26%，P（μ-2σ<ξ<μ+2σ）=95.44%.）
（A）4.56% （B）13.59% （C）27.18% （D）31.74%
（9）一条光线从点（-2，-3）射出，经y轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（）
（A）或（B或
（C）或（D）或
（10）设函数f(x)=,则满足f(f(a))=的a的取值范围是（）
（A）[,1]（B）[0,1]
（C）[（D）[1, +
第Ⅱ卷（共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
（11）观察下列各式：
C10=40
......
照此规律，当nN时，
-1 + -1 + -1 +...+ -1 = .
(12)若"x[0,]，txm"是真命题，则实数m的最小值为
（13）执行右边的程序框图，输出的T的值为 .
(14)已知函数 的定义域和值域都是 ，则
（15）平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：（a>0,b>0）的渐近线与抛物线C2：
X2=2py(p>0)交于O，若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为 ＿＿＿
三、解答题：本答题共6小题，共75分。
（16）（本小题满分12分）
设f（x）=2（x+）.
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A,B,C,的对边分别为a,b,c,若f（）=0,a=1,求△ABC面积的最大值。
(17)(本小题满分12分)
如图，在三棱台DEF-ABC中，
AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点。
（Ⅰ）求证：BC//平面FGH；
（Ⅱ）若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF=DE, ∠BAC= ,求平面FGH与平面ACFD所成的角（锐角）的大小.
（18）（本小题满分12分）
设数列的前n项和为.已知2=+3.
（I）求的通项公式；
（II）若数列满足，求的前n项和.
（19）（本小题满分12分）
若是一个三位正整数，且的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称为"三位递增数"（如137,359,567等）.
在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的"三位递增数"中随机抽取1个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的"三位递增数"的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得分；若能被10整除，得1分.
（I）写出所有个位数字是5的"三位递增数" ；
（II）若甲参加活动，求甲得分的分布列和数学期望.
（20）（本小题满分13分）
平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别是.以为圆心以3为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆上.
(Ⅰ)求椭圆的方程；
（Ⅱ）设椭圆为椭圆上任意一点，过点的直线 交椭圆 于两点，射线 交椭圆 于点 .
( i )求的值；
（ii）求△面积的最大值.
(21)(本小题满分14分)
设函数，其中。
（Ⅰ）讨论函数极值点的个数，并说明理由；
（Ⅱ）若>0，成立，求的取值范围。
2015年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
理科数学试题参考答案
一、 选择题
（1）C （2）A （3）C （4）D （5）A
（6）B （7）C （8）B （9）D (10)C
二、填空题
（11） （12）1 （13） （14） （15）
三、解答题
（16）
解：（Ⅰ）由题意
由
可得
由
得
所以的单调递增区间是（）
单调递减区间是（）
（II）
由题意A是锐角，所以
由余弦定理：
，且当时成立
面积最大值为
（17）
（Ⅰ）证法一：
连接，设，连接
在三棱台中，
，为的中点，
可得,
所以 四边形为平行四边形，
则 为的中点，
又 为的中点，
所以,
又平面 平面，
所以平面
证法二：
在三棱台中，
由,为的中点，
可得 ,
所以四边形为平行四边形，
可得 ,
在中，为的中点，为的中点，
所以,
又,所以平面平面,
因为 平面,
所以 平面。
（II）解法一：
设,则,
在三棱台中，
为的中点，
由,
可得 四边形为平行四边形，
因此,
又 平面，
所以 平面，
在中，由，，是中点，
所以 ,
因此 两两垂直，
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
所以
可得
故，
设是平面的一个法向量，则
由 可得
可得 平面的一个法向量，
因为是平面的一个法向量，
所以
所以平面与平面所成角（锐角）的大小为
解法二：
作与点，作与点，连接
由平面,得,
又 ,
所以平面，
因此 ,
所以即为所求的角，
在中，,
由,
可得,
从而,
由 平面，平面，
得 ，
因此 ,
所以 ,
所以 平面与平面所成角（锐角）的大小为。
（18）
解：（I）因为，
所以，故 ，
当时，，
此时 ，即，
所以
（II）因为，所以 ，
当时，，
所以；
，
所以
两式相减，得
，
所以
经检验，也适合，
综上可得
（19）
解：（I）个位数是5的"三位递增数"有
125，135，145，235，245，345；
（II）由题意知，全部"三位递增数"的个数为，
随机变量是取值为：0，-1,1，因此
，
，
所以的分布列为
0 -1 1 则
（20）
解：（I）由题意知，则，
又，
可得
所以椭圆的方程为
（II）由（I）知椭圆的方程为
（i）设,由题意知，
因为
又， 即
所以 ，即
（ii）设，
将代入椭圆的方程，
可得，
由 ，可得
则有
所以
因为 直线与轴交点的坐标为，
所以 的面积
令
将代入椭圆的方程，
可得 ，
由，可得
由①②可知 ，
因此，
故 ，
当且仅当时，即时取得最大值，
由（i）知，面积为，
所以 面积的最大值为.
（21）
解：（Ⅰ）由题意知 函数的定义域为，
，
令，
（1）当时，，
此时，函数在单调递增，无极值点；
（2）当时，，
①当时，，,
，函数在单调递增，无极值点；
②当时，，
设方程的两根为，
因为，
所以，
由 ，可得，
所以 当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
因此 函数有两个极值点。
（3）当时，，
由，可得，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
所以函数有一个极值点。
综上所述：
当时，函数有一个极值点；
当时，函数无极值点；
当时，函数有两个极值点。
（II）由（I）知，
（1）当时，函数在上单调递增，
因为 ，
所以 时，，符合题意；
（2）当时，由，得，
所以 函数在上单调递增，
又，所以时，，符合题意；
（3）当时，由，可得，
所以时，函数单调递减；
因为，
所以时，，不合题意；
（4）当时，设，
因为时，
所以 在上单调递增。
因此 当时，，
即 ，
可得 ，
当时，，
此时 ，不合题意，
综上所述，的取值范围是
2015年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)
理科数学
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页。满分150分。考试用时120分钟。考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。答案写在试卷上无效。
3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。
4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
参考公式：
如果事件A,B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).
第Ⅰ卷（共50分）
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的
（1） 已知集合A={X|X2-4X+3<0}，B={X|2
（2）若复数Z满足，其中i为虚数单位，则Z=
（A）1-i （B）1+i （C）-1-i （D）-1+i
（3）要得到函数y=s（4x-）的图像，只需要将函数y=s4x的图像（）
（A）向左平移个单位 （B）向右平移个单位
（C）向左平移个单位 （D）向右平移个单位
（4）已知菱形ABCD 的边长为a，∠ABC=60o ,则＝
（A）- （B）- （C） （D）
（5）不等式|xx<2的解集是
（A）（-，4） （B）（-，1） （C）（1，4） （D）（1，5）
（6）已知x,y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a=
（A）3 （B）2 （C）-2 （D）-3
（7）在梯形ABCD中，∠ABC=，AD//BC，BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为
（A） （B） （C） （D）2
（8）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N（0，32），从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为
（附：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ-σ<ξ<μ+σ）=68.26%，P（μ-2σ<ξ<μ+2σ）=95.44%.）
（A）4.56% （B）13.59% （C）27.18% （D）31.74%
（9）一条光线从点（-2，-3）射出，经y轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（）
（A）或（B或
（C）或（D）或
（10）设函数f(x)=,则满足f(f(a))=的a的取值范围是（）
（A）[,1]（B）[0,1]
（C）[（D）[1, +
第Ⅱ卷（共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
（11）观察下列各式：
C10=40
......
照此规律，当nN时，
-1 + -1 + -1 +...+ -1 = .
(12)若"x[0,]，txm"是真命题，则实数m的最小值为
（13）执行右边的程序框图，输出的T的值为 .
(14)已知函数 的定义域和值域都是 ，则
（15）平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：（a>0,b>0）的渐近线与抛物线C2：
X2=2py(p>0)交于O，若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为 ＿＿＿
三、解答题：本答题共6小题，共75分。
（16）（本小题满分12分）
设f（x）=2（x+）.
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A,B,C,的对边分别为a,b,c,若f（）=0,a=1,求△ABC面积的最大值。
(17)(本小题满分12分)
如图，在三棱台DEF-ABC中，
AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点。
（Ⅰ）求证：BC//平面FGH；
（Ⅱ）若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF=DE, ∠BAC= ,求平面FGH与平面ACFD所成的角（锐角）的大小.
（18）（本小题满分12分）
设数列的前n项和为.已知2=+3.
（I）求的通项公式；
（II）若数列满足，求的前n项和.
（19）（本小题满分12分）
若是一个三位正整数，且的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称为"三位递增数"（如137,359,567等）.
在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的"三位递增数"中随机抽取1个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的"三位递增数"的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得分；若能被10整除，得1分.
（I）写出所有个位数字是5的"三位递增数" ；
（II）若甲参加活动，求甲得分的分布列和数学期望.
（20）（本小题满分13分）
平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别是.以为圆心以3为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆上.
(Ⅰ)求椭圆的方程；
（Ⅱ）设椭圆为椭圆上任意一点，过点的直线 交椭圆 于两点，射线 交椭圆 于点 .
( i )求的值；
（ii）求△面积的最大值.
(21)(本小题满分14分)
设函数，其中。
（Ⅰ）讨论函数极值点的个数，并说明理由；
（Ⅱ）若>0，成立，求的取值范围。
2015年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
理科数学试题参考答案
一、 选择题
（1）C （2）A （3）C （4）D （5）A
（6）B （7）C （8）B （9）D (10)C
二、填空题
（11） （12）1 （13） （14） （15）
三、解答题
（16）
解：（Ⅰ）由题意
由
可得
由
得
所以的单调递增区间是（）
单调递减区间是（）
（II）
由题意A是锐角，所以
由余弦定理：
，且当时成立
面积最大值为
（17）
（Ⅰ）证法一：
连接，设，连接
在三棱台中，
，为的中点，
可得,
所以 四边形为平行四边形，
则 为的中点，
又 为的中点，
所以,
又平面 平面，
所以平面
证法二：
在三棱台中，
由,为的中点，
可得 ,
所以四边形为平行四边形，
可得 ,
在中，为的中点，为的中点，
所以,
又,所以平面平面,
因为 平面,
所以 平面。
（II）解法一：
设,则,
在三棱台中，
为的中点，
由,
可得 四边形为平行四边形，
因此,
又 平面，
所以 平面，
在中，由，，是中点，
所以 ,
因此 两两垂直，
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
所以
可得
故，
设是平面的一个法向量，则
由 可得
可得 平面的一个法向量，
因为是平面的一个法向量，
所以
所以平面与平面所成角（锐角）的大小为
解法二：
作与点，作与点，连接
由平面,得,
又 ,
所以平面，
因此 ,
所以即为所求的角，
在中，,
由,
可得,
从而,
由 平面，平面，
得 ，
因此 ,
所以 ,
所以 平面与平面所成角（锐角）的大小为。
（18）
解：（I）因为，
所以，故 ，
当时，，
此时 ，即，
所以
（II）因为，所以 ，
当时，，
所以；
，
所以
两式相减，得
，
所以
经检验，也适合，
综上可得
（19）
解：（I）个位数是5的"三位递增数"有
125，135，145，235，245，345；
（II）由题意知，全部"三位递增数"的个数为，
随机变量是取值为：0，-1,1，因此
，
，
所以的分布列为
0 -1 1 则
（20）
解：（I）由题意知，则，
又，
可得
所以椭圆的方程为
（II）由（I）知椭圆的方程为
（i）设,由题意知，
因为
又， 即
所以 ，即
（ii）设，
将代入椭圆的方程，
可得，
由 ，可得
则有
所以
因为 直线与轴交点的坐标为，
所以 的面积
令
将代入椭圆的方程，
可得 ，
由，可得
由①②可知 ，
因此，
故 ，
当且仅当时，即时取得最大值，
由（i）知，面积为，
所以 面积的最大值为.
（21）
解：（Ⅰ）由题意知 函数的定义域为，
，
令，
（1）当时，，
此时，函数在单调递增，无极值点；
（2）当时，，
①当时，，,
，函数在单调递增，无极值点；
②当时，，
设方程的两根为，
因为，
所以，
由 ，可得，
所以 当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
因此 函数有两个极值点。
（3）当时，，
由，可得，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
所以函数有一个极值点。
综上所述：
当时，函数有一个极值点；
当时，函数无极值点；
当时，函数有两个极值点。
（II）由（I）知，
（1）当时，函数在上单调递增，
因为 ，
所以 时，，符合题意；
（2）当时，由，得，
所以 函数在上单调递增，
又，所以时，，符合题意；
（3）当时，由，可得，
所以时，函数单调递减；
因为，
所以时，，不合题意；
（4）当时，设，
因为时，
所以 在上单调递增。
因此 当时，，
即 ，
可得 ，
当时，，
此时 ，不合题意，
综上所述，的取值范围是
