2015高考真题——数学理（重庆卷）Word版含答案
2023-12-04 00:45:53
2015年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）
数 学（理工类）
数学试题卷（理工农医类）共4页。满分150分。考试时间120分钟。
注意事项：
1、答题前，务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡规定的位置上；
2、答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，在选涂其它答案标号。
3、答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4、所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效。
5、考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。
特别提醒：
（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分。
一、选择题：本大题10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合，，则（ ）
（A）A＝B （B） （C） （D）
（2）在等差数列中，若，则＝（ ）
（A）－1 （B）0 （C）1 （D）6
（3）重庆市2013年各月的平均气温（oC）数据的茎叶图如下：
则这组数据的中位数是（ ）
（A）19 （B）20 （C）21.5 （D）23
（4）""是"的"（ ）
（A）充要条件 （B）充分而不必要条件
（C）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件
（5）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
（A） （2） （3） （4）
（6）若非零向量a，b满足，且，则a与b的夹角为（ ）
（A） （B） （C） （D）
（7）执行如题（7）图所示的程序框图，若输出k值为8，则判断框内可填入的条件是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
（8）已知直线：是圆C：的对称轴，过点A（-4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则＝（ ）
（A）2 （B） （C）6 （D）
（9）若，则＝（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
10、设双曲线（）的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于B、C两点，过B、C分别作AC、AB的垂线，两垂线交于点D。若D到直线BC的距离小于，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
二、填空题：本大题共6个小题，考生作答第5小题，每小题5分，共25分。把答案填写在答题卡相应的位置上。
（11）设复数的模为，则＝
（12）的展开式中的系数是 （用数字作答）
（13）在△ABC中，B＝120o，AB＝，A的角平分线AD＝，则AC＝
考生注意：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分。
（14）如题（14）图，圆O的弦AB，CD相交于点E，过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，若PA＝6，AE＝9，PC＝3，CE：ED＝2：1，则BE＝
（15）已知直线的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C的极坐标方程为，则直线与曲线C的交点的极坐标为
（16）若函数的最小值为5，则实数a＝ 。
三、解答题：本大题共6个小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分）
端午节吃粽子是我国的传统习俗。设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个。
（Ⅰ）求三种粽子各取到1个的概率；
（Ⅱ）设x表示取到的豆沙粽个数，求x的分布列与数学期望。
（18）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分）
已知函数
（Ⅰ）求的最小正周期和最大值；
（Ⅱ）讨论在上的单调性。
（19）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问9分）
如题（19）图，三菱锥P－ABC中，PC⊥平面ABC，PC＝3，∠ACB＝，D，E分别为线段AB，BC上的点，BC上的点，且CD＝DE＝，CE＝2EB＝2。
（Ⅰ）证明：DE⊥平面PCD；
（Ⅱ）求二面角A－PD－C的余弦值。
（20）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问5分）
设函数。
（Ⅰ）若在x＝0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）若在上为减函数，求a的取值范围。
（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）
如题（21）图，椭圆（）的左、右焦点分别为、，过的直线交椭圆于P、Q两点，且。
（Ⅰ）若，，求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若，求椭圆的离心率e。
（22）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）
在数列中，，。
（Ⅰ）若，求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，证明:
2015年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）
数学（理工类）参考答案
一、选择题：每小题5分，满分50分
（1）D (2)B (3)B (4)B (5)A
（6）D (7) C (8) C (9) C (10) A
二、填空题：每小题5分，满分25分
（11）3 (12) (13) (14)2 (15) （16）-6或4
三、解答题：满分75分
（17）（本题12份）
解：（Ⅰ）令A表示事件"三种粽子各取到1个"，则由古典型的概率计算公式有
（Ⅱ）X的所有可能值为0，1,2，且
综上知，X的分布列为
故（个）。
（18）（本题13分）
解：（Ⅰ）
因此的最小周期为，最大值为
（Ⅱ）当时，从而
当时，单调递增，
当即时，单调递减。
（19）（本题13分）
（Ⅰ）证明：由PC平面ABC，DE平面ABC，故PCDE. 由CE=2，CD=DE=得 为等腰直角三角形，故CDDE.
由PCCD=C,DE垂直于平面PCD内的两条相交直线，故DE平面PCD。
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，为等腰直角三角形，.如答（19）图，过D作DF垂直CE于F，已知DF=FC=FE=1，又已知EB=1，故FB=2.
由得DF∥AC,, 故AC= DF=
以C为坐标原点，分别以的方向为轴，轴，轴的方向建立空间直角坐标系，则
设平面PAD的法向量为
由得，故可取
由（Ⅰ）可知DE平面PCD，故平面PCD的法向量可取为,即.
从而法向量，的夹角的余弦值为
故所求的二面角A-PD-C的余弦值为.
（20）（本题12分）
解：（Ⅰ）对求导得
因为在处取得极值，所以即.
当时，=故从而在点（1，）处的切线方程为化简得
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
令
由解得
当时，，即，故为减函数；
当时，，即，故为增函数；
当时，，即，故为减函数；
由在上为减函数，知解得
故的取值范围为
（21）（本题12分）
解：（Ⅰ）由椭圆的定义，
设椭圆的半焦距为c，又已知
因此,即从而
故所求椭圆的标准方程为
（Ⅱ）解法一：如答（21）图，设点在椭圆上，且则
求得
由得从而
由椭圆的定义，.从而由有又由知因此即于是解得
解法二：如答（21）图，由椭圆的定义，，从而由有又由知因此得从而由知因此。
（22）（本题12分）
解：（Ⅰ）由
若存在某个使得则由上述递推公式易得重复上述过程可得，此与矛盾，所以对任意
从而即是一个公比的等比数列。
故
（Ⅱ）由，数列的递推关系式变为，变形为由上式及，归纳可得
因为所以对求和得
另一方面，由上已证的不等式知
综上，
数 学（理工类）
数学试题卷（理工农医类）共4页。满分150分。考试时间120分钟。
注意事项：
1、答题前，务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡规定的位置上；
2、答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，在选涂其它答案标号。
3、答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4、所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效。
5、考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。
特别提醒：
（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分。
一、选择题：本大题10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合，，则（ ）
（A）A＝B （B） （C） （D）
（2）在等差数列中，若，则＝（ ）
（A）－1 （B）0 （C）1 （D）6
（3）重庆市2013年各月的平均气温（oC）数据的茎叶图如下：
则这组数据的中位数是（ ）
（A）19 （B）20 （C）21.5 （D）23
（4）""是"的"（ ）
（A）充要条件 （B）充分而不必要条件
（C）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件
（5）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
（A） （2） （3） （4）
（6）若非零向量a，b满足，且，则a与b的夹角为（ ）
（A） （B） （C） （D）
（7）执行如题（7）图所示的程序框图，若输出k值为8，则判断框内可填入的条件是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
（8）已知直线：是圆C：的对称轴，过点A（-4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则＝（ ）
（A）2 （B） （C）6 （D）
（9）若，则＝（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
10、设双曲线（）的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于B、C两点，过B、C分别作AC、AB的垂线，两垂线交于点D。若D到直线BC的距离小于，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
二、填空题：本大题共6个小题，考生作答第5小题，每小题5分，共25分。把答案填写在答题卡相应的位置上。
（11）设复数的模为，则＝
（12）的展开式中的系数是 （用数字作答）
（13）在△ABC中，B＝120o，AB＝，A的角平分线AD＝，则AC＝
考生注意：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分。
（14）如题（14）图，圆O的弦AB，CD相交于点E，过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，若PA＝6，AE＝9，PC＝3，CE：ED＝2：1，则BE＝
（15）已知直线的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C的极坐标方程为，则直线与曲线C的交点的极坐标为
（16）若函数的最小值为5，则实数a＝ 。
三、解答题：本大题共6个小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分）
端午节吃粽子是我国的传统习俗。设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个。
（Ⅰ）求三种粽子各取到1个的概率；
（Ⅱ）设x表示取到的豆沙粽个数，求x的分布列与数学期望。
（18）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分）
已知函数
（Ⅰ）求的最小正周期和最大值；
（Ⅱ）讨论在上的单调性。
（19）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问9分）
如题（19）图，三菱锥P－ABC中，PC⊥平面ABC，PC＝3，∠ACB＝，D，E分别为线段AB，BC上的点，BC上的点，且CD＝DE＝，CE＝2EB＝2。
（Ⅰ）证明：DE⊥平面PCD；
（Ⅱ）求二面角A－PD－C的余弦值。
（20）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问5分）
设函数。
（Ⅰ）若在x＝0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）若在上为减函数，求a的取值范围。
（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）
如题（21）图，椭圆（）的左、右焦点分别为、，过的直线交椭圆于P、Q两点，且。
（Ⅰ）若，，求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若，求椭圆的离心率e。
（22）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）
在数列中，，。
（Ⅰ）若，求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，证明:
2015年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）
数学（理工类）参考答案
一、选择题：每小题5分，满分50分
（1）D (2)B (3)B (4)B (5)A
（6）D (7) C (8) C (9) C (10) A
二、填空题：每小题5分，满分25分
（11）3 (12) (13) (14)2 (15) （16）-6或4
三、解答题：满分75分
（17）（本题12份）
解：（Ⅰ）令A表示事件"三种粽子各取到1个"，则由古典型的概率计算公式有
（Ⅱ）X的所有可能值为0，1,2，且
综上知，X的分布列为
故（个）。
（18）（本题13分）
解：（Ⅰ）
因此的最小周期为，最大值为
（Ⅱ）当时，从而
当时，单调递增，
当即时，单调递减。
（19）（本题13分）
（Ⅰ）证明：由PC平面ABC，DE平面ABC，故PCDE. 由CE=2，CD=DE=得 为等腰直角三角形，故CDDE.
由PCCD=C,DE垂直于平面PCD内的两条相交直线，故DE平面PCD。
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，为等腰直角三角形，.如答（19）图，过D作DF垂直CE于F，已知DF=FC=FE=1，又已知EB=1，故FB=2.
由得DF∥AC,, 故AC= DF=
以C为坐标原点，分别以的方向为轴，轴，轴的方向建立空间直角坐标系，则
设平面PAD的法向量为
由得，故可取
由（Ⅰ）可知DE平面PCD，故平面PCD的法向量可取为,即.
从而法向量，的夹角的余弦值为
故所求的二面角A-PD-C的余弦值为.
（20）（本题12分）
解：（Ⅰ）对求导得
因为在处取得极值，所以即.
当时，=故从而在点（1，）处的切线方程为化简得
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
令
由解得
当时，，即，故为减函数；
当时，，即，故为增函数；
当时，，即，故为减函数；
由在上为减函数，知解得
故的取值范围为
（21）（本题12分）
解：（Ⅰ）由椭圆的定义，
设椭圆的半焦距为c，又已知
因此,即从而
故所求椭圆的标准方程为
（Ⅱ）解法一：如答（21）图，设点在椭圆上，且则
求得
由得从而
由椭圆的定义，.从而由有又由知因此即于是解得
解法二：如答（21）图，由椭圆的定义，，从而由有又由知因此得从而由知因此。
（22）（本题12分）
解：（Ⅰ）由
若存在某个使得则由上述递推公式易得重复上述过程可得，此与矛盾，所以对任意
从而即是一个公比的等比数列。
故
（Ⅱ）由，数列的递推关系式变为，变形为由上式及，归纳可得
因为所以对求和得
另一方面，由上已证的不等式知
综上，
