2015高考真题——数学文（重庆卷）Word版含答案
2023-11-14 02:11:22
2015年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）
数 学（文史类）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则
(A) (B) (C) (D)
2.""是""的
(A) 充要条件 (B) 充分不必要条件
(C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件
3.函数的定义域是
(A) (B)
(C) (D)
4.重庆市2013年各月的平均气温（°C）数据的茎叶图如下
则这组数据中的中位数是
(A) 19 (B) 20 (C ) 21.5 (D )23
5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
(A) (B) (C) (D)
6.若,则
(A) (B) (C) (D)
7.已知非零向量满足则的夹角为
(A) (B) (C) (D)
8.执行如图（8）所示的程序框图，则输出s的值为
(A) (B) (C) (D)
9.设双曲线的右焦点是F，左、右顶点分别是,过F做的垂线与双曲线交于B，C两点，若,则双曲线的渐近线的斜率为
(A) (B) (C) (D)
10.若不等式组,表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为
(A)-3 (B) 1 (C) (D)3
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应位置上.
11．复数的实部为________.
12.若点P（1，2）在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为___________.
13. 设的内角A，B，C的对边分别为,且,则c=________.
14.设,则的最大值为 ________.
15. 在区间上随机地选择一个数p，则方程有两个负根的概率为________.
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16、(本小题满分12分，（I）小问7分，（II）小问6分)
已知等差数列满足=2，前3项和=.
（I） 求的通项公式；
（II） 设等比数列满足=，=，求前n项和.
17、(本小题满分13分，（I）小问10分，（II）小问3分)
随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表：
年份 2010 2011 2012 2013 2014 时间代号t 1 2 3 4 5 储蓄存款y（千亿元） 5 6 7 8 10
（I） 求y关于t的回归方程
（II） 用所求回归方程预测该地区2015年（t=6）的人民币储蓄存款.
附：回归方程中
18、(本小题满分13分，（I）小问7分，（II）小问6分)
已知函数f(x)=s2x-.
（I） 求f（x）的最小周期和最小值；
（II） 将函数f（x）的图像上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图像.当x时，求g(x)的值域.
19、(本小题满分12分，（I）小问4分，（II）小问8分)
已知函数f（x）=a+（aR）在x=处取得极值.
（I） 确定a的值；
（II） 若g（x）= f（x），讨论的单调性.
20、(本小题满分12分，（I）小问5分，（II）小问7分)
如题（20）图，三棱锥P-ABC中，平面PAC平面ABC，ABC=，点D、E在线段AC上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，点F在线段AB上，且EF//BC.
（I） 证明：AB平面PFE.
（II） 若四棱锥P-DFBC的体积为7，求线段BC的长.
21、(本小题满分12分，（I）小问5分，（II）小问7分)
如题（21）图，椭圆（>>0）的左右焦点分别为,,且过的直线交椭圆于P,Q两点，且PQ.
（I） 若||=2+，||=2-，求椭圆的标准方程.
（II） 若|PQ|=||，且，试确定椭圆离心率的取值范围.
答案
一．选择题
1. C 2.A 3.D 4.B 5.B 6.A 7.C 8.D 9.C 10.B
二．填空题
11. -2
12.x+2y-5=0
13.4
14.
15.
三.解答题
16.解： （1）设的公差为d，则由已知条件得
化简得
解得
故通项公式，即.
(2)由（1）得.
设的公比为q,则,从而.
故的前n项和
.
17. 解：（Ⅰ）列表计算如下
这里
又
从而.
故所求回归方程为.
（Ⅱ）将代入回归方程可预测该地区2015年的人民币储蓄存款为
18. 解：（Ⅰ）
,
因此的最小正周期为，最小值为.
（Ⅱ）由条件可知：.
当时，有，从而的值域为，那么的值域为.
故在区间上的值域是.
19. 解：（Ⅰ）对求导得
因为在处取得极值，所以，
即,解得.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，,
故
令，解得.
当时，,故为减函数；
当时，,故为增函数；
当时，,故为减函数；
当时，,故为增函数；
综上知在 内为减函数，内为增函数.
20. （Ⅰ）证明：如题(20)图.由DE=EC，PD=PC知，E为等腰PDC中DC边的中点，故
PE AC，
又平面PAC 平面ABC，平面PAC 平面ABC=AC，PE 平面PAC，PE AC，所以PE 平面ABC，从而PE AB.
因.
从而AB与平面PEF内两条相交直线PE，EF都垂直，
所以平面PFE.
（Ⅱ）解：设,则在直角ABC中，
.从而
由，知，得,故，
即.
由,,
从而四边形DFBC的面积为
由（Ⅰ）知，PE 平面ABC，所以PE为四棱锥P-DFBC的高.
在直角中，,
体积,
故得，解得，由于，可得.
所以.
21. 解：（Ⅰ）由椭圆的定义，
设椭圆的半焦距为c，由已知，因此
即
从而
故所求椭圆的标准方程为.
（Ⅱ）如题(21)图，由,得
由椭圆的定义，,进而
于是.
解得，故.
由勾股定理得,
从而,
两边除以，得,
若记，则上式变成.
由，并注意到关于的单调性，得，即，进而，即.
数 学（文史类）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则
(A) (B) (C) (D)
2.""是""的
(A) 充要条件 (B) 充分不必要条件
(C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件
3.函数的定义域是
(A) (B)
(C) (D)
4.重庆市2013年各月的平均气温（°C）数据的茎叶图如下
则这组数据中的中位数是
(A) 19 (B) 20 (C ) 21.5 (D )23
5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
(A) (B) (C) (D)
6.若,则
(A) (B) (C) (D)
7.已知非零向量满足则的夹角为
(A) (B) (C) (D)
8.执行如图（8）所示的程序框图，则输出s的值为
(A) (B) (C) (D)
9.设双曲线的右焦点是F，左、右顶点分别是,过F做的垂线与双曲线交于B，C两点，若,则双曲线的渐近线的斜率为
(A) (B) (C) (D)
10.若不等式组,表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为
(A)-3 (B) 1 (C) (D)3
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应位置上.
11．复数的实部为________.
12.若点P（1，2）在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为___________.
13. 设的内角A，B，C的对边分别为,且,则c=________.
14.设,则的最大值为 ________.
15. 在区间上随机地选择一个数p，则方程有两个负根的概率为________.
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16、(本小题满分12分，（I）小问7分，（II）小问6分)
已知等差数列满足=2，前3项和=.
（I） 求的通项公式；
（II） 设等比数列满足=，=，求前n项和.
17、(本小题满分13分，（I）小问10分，（II）小问3分)
随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表：
年份 2010 2011 2012 2013 2014 时间代号t 1 2 3 4 5 储蓄存款y（千亿元） 5 6 7 8 10
（I） 求y关于t的回归方程
（II） 用所求回归方程预测该地区2015年（t=6）的人民币储蓄存款.
附：回归方程中
18、(本小题满分13分，（I）小问7分，（II）小问6分)
已知函数f(x)=s2x-.
（I） 求f（x）的最小周期和最小值；
（II） 将函数f（x）的图像上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图像.当x时，求g(x)的值域.
19、(本小题满分12分，（I）小问4分，（II）小问8分)
已知函数f（x）=a+（aR）在x=处取得极值.
（I） 确定a的值；
（II） 若g（x）= f（x），讨论的单调性.
20、(本小题满分12分，（I）小问5分，（II）小问7分)
如题（20）图，三棱锥P-ABC中，平面PAC平面ABC，ABC=，点D、E在线段AC上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，点F在线段AB上，且EF//BC.
（I） 证明：AB平面PFE.
（II） 若四棱锥P-DFBC的体积为7，求线段BC的长.
21、(本小题满分12分，（I）小问5分，（II）小问7分)
如题（21）图，椭圆（>>0）的左右焦点分别为,,且过的直线交椭圆于P,Q两点，且PQ.
（I） 若||=2+，||=2-，求椭圆的标准方程.
（II） 若|PQ|=||，且，试确定椭圆离心率的取值范围.
答案
一．选择题
1. C 2.A 3.D 4.B 5.B 6.A 7.C 8.D 9.C 10.B
二．填空题
11. -2
12.x+2y-5=0
13.4
14.
15.
三.解答题
16.解： （1）设的公差为d，则由已知条件得
化简得
解得
故通项公式，即.
(2)由（1）得.
设的公比为q,则,从而.
故的前n项和
.
17. 解：（Ⅰ）列表计算如下
这里
又
从而.
故所求回归方程为.
（Ⅱ）将代入回归方程可预测该地区2015年的人民币储蓄存款为
18. 解：（Ⅰ）
,
因此的最小正周期为，最小值为.
（Ⅱ）由条件可知：.
当时，有，从而的值域为，那么的值域为.
故在区间上的值域是.
19. 解：（Ⅰ）对求导得
因为在处取得极值，所以，
即,解得.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，,
故
令，解得.
当时，,故为减函数；
当时，,故为增函数；
当时，,故为减函数；
当时，,故为增函数；
综上知在 内为减函数，内为增函数.
20. （Ⅰ）证明：如题(20)图.由DE=EC，PD=PC知，E为等腰PDC中DC边的中点，故
PE AC，
又平面PAC 平面ABC，平面PAC 平面ABC=AC，PE 平面PAC，PE AC，所以PE 平面ABC，从而PE AB.
因.
从而AB与平面PEF内两条相交直线PE，EF都垂直，
所以平面PFE.
（Ⅱ）解：设,则在直角ABC中，
.从而
由，知，得,故，
即.
由,,
从而四边形DFBC的面积为
由（Ⅰ）知，PE 平面ABC，所以PE为四棱锥P-DFBC的高.
在直角中，,
体积,
故得，解得，由于，可得.
所以.
21. 解：（Ⅰ）由椭圆的定义，
设椭圆的半焦距为c，由已知，因此
即
从而
故所求椭圆的标准方程为.
（Ⅱ）如题(21)图，由,得
由椭圆的定义，,进而
于是.
解得，故.
由勾股定理得,
从而,
两边除以，得,
若记，则上式变成.
由，并注意到关于的单调性，得，即，进而，即.
