2015高考真题——数学理（安徽卷）Word版含答案
2023-12-03 00:08:54
2015年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）
数学（理科）
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷第1至第2页，第II卷第3至第4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：
1． 答题前，务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。
2． 答第I卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3． 答第II卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰。作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在答题卷、草稿纸上答题无效。
4． 考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。
参考公式：
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10个小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。
（1）设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于
（A）第一象限 （B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限
（2）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是
（A） （B） （C） （D）
（3）设p：11，则p是q成立的
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
4、下列双曲线中，焦点在轴上且渐近线方程为的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
5、已知，是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ）
（A）若，垂直于同一平面，则与平行
（B）若，平行于同一平面，则与平行
（C）若，不平行，则在内不存在与平行的直线
（D）若，不平行，则与不可能垂直于同一平面
6、若样本数据，，，的标准差为，则数据，，，的标准差为（ ）
（A） （B） （C） （D）
7、一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
8、是边长为的等边三角形，已知向量，满足，，则下列结论正确的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
9、函数的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）
（A），， （B），，
（C），， （D），，
10、已知函数（，，均为正的常数）的最小正周期为，当时，函数取得最小值，则下列结论正确的是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
第二卷
二．填空题
11.的展开式中的系数是 （用数字填写答案）
12.在极坐标系中，圆上的点到直线距离的最大值是
13.执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n为
14.已知数列是递增的等比数列，，则数列的前项和等于
15. 设，其中均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是 （写出所有正确条件的编号）
；；；;.
三.解答题
16.在中，,点D在边上，，求的长。
17.已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结果.
（1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率
（2）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和均值（数学期望）
（18）（本小题12分）
设，是曲线在点处的切线与x轴交点的横坐标，
（1）求数列的通项公式；
（2）记，证明.
19.如图所示，在多面体中，四边形，均为正方形，为的中点，过的平面交于F
（1）证明：
(2)求二面角余弦值.
（20） （本小题13分）
设椭圆E的方程为，点O为坐标原点，点A的坐标为，点B的坐标为，点M在线段AB上，满足，直线OM的斜率为.
（I）求E的离心率e；
（II）设点C的坐标为，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程.
21.设函数.
（1）讨论函数内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；
（2）记上的最大值D；
（3）在（2）中，取
数学（理科）试题参考答案
一、 选择题
(1)B (2)A (3)A (4)C (5)D (6)C (7)B (8)D (9)C (10)A
二、 填空题
(11)35 (12)6 (13)4 (14) (15)①③④⑤
三、解答题
（16）设的内角所对边的长分别是，由余弦定理得
，
所以.
又由正弦定理得.
由题设知，所以.
在中，由正弦定理得.
（17）
（Ⅰ）依据题目所给的条件可以先设"第一次检查出的是次品且第二次检测出的是正品"为事件.得出.（Ⅱ）的可能取值为.依此求出各自的概率，列出分布列，求出期望.
试题解析：（Ⅰ）记"第一次检查出的是次品且第二次检测出的是正品"为事件.
.
（Ⅱ）的可能取值为.
.
.
.
故的分布列为
.
（18）
（I）解：曲线在点（1,2）处的切线斜率为+2，从而切线方程为
令y=0，解得切线与x轴交点的和坐标
（II）
证：由题设和（Ⅰ）中的计算结果知
.
当时，.
当时，因为，
所以.
综上可得对任意的，均有.
（19）
（Ⅰ）证明：由正方形的性质可知，且，所以四边形为平行四边形，从而，又面，面，于是面，又面，而面面，所以.
（Ⅱ）因为四边形，，均为正方形，所以，且，以为原点，分别以为轴，轴，轴单位正向量建立，如图所示的空间直角坐标系，可得点的坐标.而点为的中点，所以点的坐标为.
设面的法向量.而该面上向量，由得应满足的方程组，为其一组解，所以可取.设面的法向量，而该面上向量，由此同理可得.所以结合图形知二面角的余弦值为.
（20）
（I）由题设条件知，点的坐标为，又，从而，进而得，故.
（II）由题设条件和（I）的计算结果可得，直线的方程为，点的坐标为，设点关于直线的对称点的坐标为，则线段的中点的坐标为.又点在直线上，且,从而有解得，所以，故椭圆的方程为.
（21）
Ⅰ），.
，.
因为，所以.
①当时，函数单调递增，无极值.
②当时，函数单调递减，无极值.
③当，在内存在唯一的，使得.
时，函数单调递减；时，函数单调递增.
因此，，时，函数在处有极小值.
（Ⅱ）时，，
当时，取，等号成立，
当时，取，等号成立，
由此可知，函数在上的最大值为.
（Ⅲ），即，此时，从而.
取，则，并且.
由此可知，满足条件的最大值为1.
数学（理科）
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷第1至第2页，第II卷第3至第4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：
1． 答题前，务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。
2． 答第I卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3． 答第II卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰。作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在答题卷、草稿纸上答题无效。
4． 考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。
参考公式：
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10个小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。
（1）设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于
（A）第一象限 （B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限
（2）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是
（A） （B） （C） （D）
（3）设p：1
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
4、下列双曲线中，焦点在轴上且渐近线方程为的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
5、已知，是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ）
（A）若，垂直于同一平面，则与平行
（B）若，平行于同一平面，则与平行
（C）若，不平行，则在内不存在与平行的直线
（D）若，不平行，则与不可能垂直于同一平面
6、若样本数据，，，的标准差为，则数据，，，的标准差为（ ）
（A） （B） （C） （D）
7、一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
8、是边长为的等边三角形，已知向量，满足，，则下列结论正确的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
9、函数的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）
（A），， （B），，
（C），， （D），，
10、已知函数（，，均为正的常数）的最小正周期为，当时，函数取得最小值，则下列结论正确的是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
第二卷
二．填空题
11.的展开式中的系数是 （用数字填写答案）
12.在极坐标系中，圆上的点到直线距离的最大值是
13.执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n为
14.已知数列是递增的等比数列，，则数列的前项和等于
15. 设，其中均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是 （写出所有正确条件的编号）
；；；;.
三.解答题
16.在中，,点D在边上，，求的长。
17.已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结果.
（1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率
（2）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和均值（数学期望）
（18）（本小题12分）
设，是曲线在点处的切线与x轴交点的横坐标，
（1）求数列的通项公式；
（2）记，证明.
19.如图所示，在多面体中，四边形，均为正方形，为的中点，过的平面交于F
（1）证明：
(2)求二面角余弦值.
（20） （本小题13分）
设椭圆E的方程为，点O为坐标原点，点A的坐标为，点B的坐标为，点M在线段AB上，满足，直线OM的斜率为.
（I）求E的离心率e；
（II）设点C的坐标为，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程.
21.设函数.
（1）讨论函数内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；
（2）记上的最大值D；
（3）在（2）中，取
数学（理科）试题参考答案
一、 选择题
(1)B (2)A (3)A (4)C (5)D (6)C (7)B (8)D (9)C (10)A
二、 填空题
(11)35 (12)6 (13)4 (14) (15)①③④⑤
三、解答题
（16）设的内角所对边的长分别是，由余弦定理得
，
所以.
又由正弦定理得.
由题设知，所以.
在中，由正弦定理得.
（17）
（Ⅰ）依据题目所给的条件可以先设"第一次检查出的是次品且第二次检测出的是正品"为事件.得出.（Ⅱ）的可能取值为.依此求出各自的概率，列出分布列，求出期望.
试题解析：（Ⅰ）记"第一次检查出的是次品且第二次检测出的是正品"为事件.
.
（Ⅱ）的可能取值为.
.
.
.
故的分布列为
.
（18）
（I）解：曲线在点（1,2）处的切线斜率为+2，从而切线方程为
令y=0，解得切线与x轴交点的和坐标
（II）
证：由题设和（Ⅰ）中的计算结果知
.
当时，.
当时，因为，
所以.
综上可得对任意的，均有.
（19）
（Ⅰ）证明：由正方形的性质可知，且，所以四边形为平行四边形，从而，又面，面，于是面，又面，而面面，所以.
（Ⅱ）因为四边形，，均为正方形，所以，且，以为原点，分别以为轴，轴，轴单位正向量建立，如图所示的空间直角坐标系，可得点的坐标.而点为的中点，所以点的坐标为.
设面的法向量.而该面上向量，由得应满足的方程组，为其一组解，所以可取.设面的法向量，而该面上向量，由此同理可得.所以结合图形知二面角的余弦值为.
（20）
（I）由题设条件知，点的坐标为，又，从而，进而得，故.
（II）由题设条件和（I）的计算结果可得，直线的方程为，点的坐标为，设点关于直线的对称点的坐标为，则线段的中点的坐标为.又点在直线上，且,从而有解得，所以，故椭圆的方程为.
（21）
Ⅰ），.
，.
因为，所以.
①当时，函数单调递增，无极值.
②当时，函数单调递减，无极值.
③当，在内存在唯一的，使得.
时，函数单调递减；时，函数单调递增.
因此，，时，函数在处有极小值.
（Ⅱ）时，，
当时，取，等号成立，
当时，取，等号成立，
由此可知，函数在上的最大值为.
（Ⅲ），即，此时，从而.
取，则，并且.
由此可知，满足条件的最大值为1.
