2015高考真题——数学文（安徽卷）Word版含答案
2023-11-23 04:10:27
2015年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）
数学（文科）
一、 选择题
1. 设i是虚数单位，则复数
（A）3+3i （B）-1+3i （3）3+i （D）-1+i
2. 设全集，，，则
（A） （B） （C） （D）
3. 设p：x<3，q：-1（A） 充分必要条件 （B）充分不必要条件
（C）必要不充分条件 （D）既不充分也不必要条件
4. 下列函数中，既是偶函数又存在零点的是
（A） y=x （B） （C）y=sx （D）y=cosx
5. 已知x，y满足约束条件，则z=-2x+y的最大值是
（A） -1 （B）-2 （C）-5 （D）1
6. 下列双曲线中，渐近线方程为的是
（A） （B）
（C） （D）
7. 执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n为
（A）3 （B）4 （C）5 （D）6
8. 直线3x+4y=b与圆相切，则b的值是
（A） -2或12 （B）2或-12 （C）-2或-12 （D）2或12
9. 一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是
（A） （B） （C） （D）
10. 函数的图像如图所示，则下列结论成立的是
（A） a>0，b<0，c>0，d>0
（B）a>0，b<0，c<0，d>0
（C）a<0，b<0，c>0，d>0
（D）a>0，b>0，c>0，d<0
二;填空题
（11） 。
（12）在中，，，，则 。
（13）已知数列中，，（），则数列的前9项和等于 。
（14）在平面直角坐标系中，若直线与函数的图像只有一个交点，则的值为 。
（15）是边长为2的等边三角形，已知向量满足，，则下列结论中正确的是 。（写出所有正确结论得编号）
①为单位向量；②为单位向量；③；④；⑤。
三.解答题
16.已知函数
（1）求的最小正周期；
（2）求在区间上的最大值和最小值.
17.某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为
（1）求频率分布图中的值；
（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；
（3）从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在的概率.
18.已知数列是递增的等比数列，且
（1）求数列的通项公式；
（2）设为数列的前n项和，，求数列的前n项和。
19.如图，三棱锥P-ABC中，PA平面ABC，.
(1)求三棱锥P-ABC的体积；
(2)证明：在线段PC上存在点M，使得，并求的值。
20.设椭圆E的方程为点O为坐标原点，点A的坐标为,点B的坐标为（0，b）,点M在线段AB上，满足直线OM的斜率为。
（1）求E的离心率e;
(2)设点C的坐标为（0，-b）,N为线段AC的中点，证明：AB。
21.已知函数
（1） 求的定义域，并讨论的单调性；
（2） 若，求在内的极值。
数学（文科）试题参考答案
一.选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分50分。
(1).C (2).B (3).C (4).D (5).A (6).A (7).B (8).D (9).C (10).A
二.填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分25分。
(11).-1 (12).2 (13).27 (14). (15). ①④⑤
三.解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答写在答题卡上的指定区域内。
（16）（本小题满分12分）
解：（1）因为=s2x+cos2x+2s xcos x+cos2x=1+s2x+cos2x=s(2x+)+1,
所以函数f(x)的最小正周期为T==。
（2）由（1）的计算结果知，= s(2x+)+1.
当x时，，
由正弦函数在上的图像知，
当2x+=，即时，取最大值+1；
当2x+=，即x=时，取最小值0。
综上，在上的最大值为+1，最小值为0。
（17）（本小题满分12分）
解：（1）因为，所以。
（2）由所给频率分布直方图可知，50名受访职工评分不低于80的频率为
，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4。
（3）受访职工中评分在[50，,60)的有：50×0.006×10=3(人)，记为A1，A2，A3；
受访职工中评分在[40， 50)的有：50×0.004×10=2(人)，记为B1，B2。从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10中，它们是{ A1，A2}，{ A1，A3}，{ A1，B1}，{ A1，B2},{ A2，A3}，{ A2，B1}，{ A2，B2},{ A3，B1}，{ A3，B2},{ B1，B2},又因为所抽取2人的评分都在[40， 50)的结果只有1种，即{ B1，B2}，故所求的概率为。
（18）（本小题满分12分）
解：（1）由题设知，又，可解得或（舍去）。由得公比=2，故＝2。
（2），又，所以
。
（19）（本小题满分13分）
（1）解：由题设AB=1，AC=2，=60°，可得=。
由平面ABC，可知PA是三棱形P-ABC的高，又PA=1，所以三棱形P-ABC的体积
。
（2）证：在平面ABC内，过点B作AC，垂足为N。在平面PAC内，过点N作PA交PC于点M，连接。由PA平面ABC知PAAC，所以AC。由于=N，故AC平面，又平面，所以。
在直角中，=ABcosBAC=，从而NC==。由PA，得。
（20）（本小题满分13分）
（1）解：由题设条件知，点M的坐标为，又，从而。进而。
（2）证：由N是AC的中点知，点N的坐标为（），可得=。又=（-a,b），从而有=。
由（1）的计算结果可知a2=5b2，所以=0，故AB。
（21）（本小题满分13分）
解：（1）由题意知，所求的定义域为。
，
，
所以当x<-r或x>r时，<0，当-r0，
因此，的单调递减区间为，；的单调递增区间为（-r,r）。
（2）由（1）的解答可知=0，在（0，r）上单调递增，在（r,+）上单调递减。因此，x=r是的极大值点，所以在（0，+）内的极大值为。
数学（文科）
一、 选择题
1. 设i是虚数单位，则复数
（A）3+3i （B）-1+3i （3）3+i （D）-1+i
2. 设全集，，，则
（A） （B） （C） （D）
3. 设p：x<3，q：-1
（C）必要不充分条件 （D）既不充分也不必要条件
4. 下列函数中，既是偶函数又存在零点的是
（A） y=x （B） （C）y=sx （D）y=cosx
5. 已知x，y满足约束条件，则z=-2x+y的最大值是
（A） -1 （B）-2 （C）-5 （D）1
6. 下列双曲线中，渐近线方程为的是
（A） （B）
（C） （D）
7. 执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n为
（A）3 （B）4 （C）5 （D）6
8. 直线3x+4y=b与圆相切，则b的值是
（A） -2或12 （B）2或-12 （C）-2或-12 （D）2或12
9. 一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是
（A） （B） （C） （D）
10. 函数的图像如图所示，则下列结论成立的是
（A） a>0，b<0，c>0，d>0
（B）a>0，b<0，c<0，d>0
（C）a<0，b<0，c>0，d>0
（D）a>0，b>0，c>0，d<0
二;填空题
（11） 。
（12）在中，，，，则 。
（13）已知数列中，，（），则数列的前9项和等于 。
（14）在平面直角坐标系中，若直线与函数的图像只有一个交点，则的值为 。
（15）是边长为2的等边三角形，已知向量满足，，则下列结论中正确的是 。（写出所有正确结论得编号）
①为单位向量；②为单位向量；③；④；⑤。
三.解答题
16.已知函数
（1）求的最小正周期；
（2）求在区间上的最大值和最小值.
17.某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为
（1）求频率分布图中的值；
（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；
（3）从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在的概率.
18.已知数列是递增的等比数列，且
（1）求数列的通项公式；
（2）设为数列的前n项和，，求数列的前n项和。
19.如图，三棱锥P-ABC中，PA平面ABC，.
(1)求三棱锥P-ABC的体积；
(2)证明：在线段PC上存在点M，使得，并求的值。
20.设椭圆E的方程为点O为坐标原点，点A的坐标为,点B的坐标为（0，b）,点M在线段AB上，满足直线OM的斜率为。
（1）求E的离心率e;
(2)设点C的坐标为（0，-b）,N为线段AC的中点，证明：AB。
21.已知函数
（1） 求的定义域，并讨论的单调性；
（2） 若，求在内的极值。
数学（文科）试题参考答案
一.选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分50分。
(1).C (2).B (3).C (4).D (5).A (6).A (7).B (8).D (9).C (10).A
二.填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分25分。
(11).-1 (12).2 (13).27 (14). (15). ①④⑤
三.解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答写在答题卡上的指定区域内。
（16）（本小题满分12分）
解：（1）因为=s2x+cos2x+2s xcos x+cos2x=1+s2x+cos2x=s(2x+)+1,
所以函数f(x)的最小正周期为T==。
（2）由（1）的计算结果知，= s(2x+)+1.
当x时，，
由正弦函数在上的图像知，
当2x+=，即时，取最大值+1；
当2x+=，即x=时，取最小值0。
综上，在上的最大值为+1，最小值为0。
（17）（本小题满分12分）
解：（1）因为，所以。
（2）由所给频率分布直方图可知，50名受访职工评分不低于80的频率为
，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4。
（3）受访职工中评分在[50，,60)的有：50×0.006×10=3(人)，记为A1，A2，A3；
受访职工中评分在[40， 50)的有：50×0.004×10=2(人)，记为B1，B2。从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10中，它们是{ A1，A2}，{ A1，A3}，{ A1，B1}，{ A1，B2},{ A2，A3}，{ A2，B1}，{ A2，B2},{ A3，B1}，{ A3，B2},{ B1，B2},又因为所抽取2人的评分都在[40， 50)的结果只有1种，即{ B1，B2}，故所求的概率为。
（18）（本小题满分12分）
解：（1）由题设知，又，可解得或（舍去）。由得公比=2，故＝2。
（2），又，所以
。
（19）（本小题满分13分）
（1）解：由题设AB=1，AC=2，=60°，可得=。
由平面ABC，可知PA是三棱形P-ABC的高，又PA=1，所以三棱形P-ABC的体积
。
（2）证：在平面ABC内，过点B作AC，垂足为N。在平面PAC内，过点N作PA交PC于点M，连接。由PA平面ABC知PAAC，所以AC。由于=N，故AC平面，又平面，所以。
在直角中，=ABcosBAC=，从而NC==。由PA，得。
（20）（本小题满分13分）
（1）解：由题设条件知，点M的坐标为，又，从而。进而。
（2）证：由N是AC的中点知，点N的坐标为（），可得=。又=（-a,b），从而有=。
由（1）的计算结果可知a2=5b2，所以=0，故AB。
（21）（本小题满分13分）
解：（1）由题意知，所求的定义域为。
，
，
所以当x<-r或x>r时，<0，当-r
因此，的单调递减区间为，；的单调递增区间为（-r,r）。
（2）由（1）的解答可知=0，在（0，r）上单调递增，在（r,+）上单调递减。因此，x=r是的极大值点，所以在（0，+）内的极大值为。
