2015高考真题——数学文（湖北卷）Word版含答案
2023-12-13 00:51:39
绝密★启用前
2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）
数 学（文史类）
本试题卷共5页，22题。全卷满分150分。考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．为虚数单位，
A． B． C． D．1
2．我国古代数学名著《数书九章》有"米谷粒分"题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534
石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为
A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石
3．命题"，"的否定是
A．， B．，
C．， D．，
4．已知变量和满足关系，变量与正相关. 下列结论中正确的是
A．与负相关，与负相关 B．与正相关，与正相关
C．与正相关，与负相关 D．与负相关，与正相关
5．表示空间中的两条直线，若p：是异面直线；q：不相交，则
A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
C．p是q的充分必要条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
6．函数的定义域为
A． B．
C． D．
7．设，定义符号函数 则
A． B．
C． D．
8． 在区间上随机取两个数，记为事件""的概率，为事件""
的概率，则
A． B．
C． D．
9．将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长同时增加个单位
长度，得到离心率为的双曲线，则
A．对任意的， B．当时，；当时，
C．对任意的， D．当时，；当时，
10．已知集合，，定义集合
，则中元素的个数为
A．77 B．49 C．45 D．30
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位 置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.
11．已知向量，，则_________．
12．若变量满足约束条件 则的最大值是_________．
13．函数的零点个数为_________.
14．某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额
（单位：万元）都在区间内，其频率分布直方图如图所示.
（Ⅰ）直方图中的_________；
（Ⅱ）在这些购物者中，消费金额在区间内的购物者的人数为_________.
15．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度.
16．如图，已知圆与轴相切于点，与轴正半
轴交于两点A，B（B在A的上方），且.
（Ⅰ）圆的标准方程为_________；
（Ⅱ）圆在点处的切线在轴上的截距为_________.
17． a为实数，函数在区间上的最大值记为. 当_________时，的值最小.
三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18．（本小题满分12分）
某同学用"五点法"画函数在某一个周期内的图象
时，列表并填入了部分数据，如下表：
0 0 5 0 （Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数的解
析式；
（Ⅱ）将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到图象，求
的图象离原点O最近的对称中心.
19．（本小题满分12分）
设等差数列的公差为d，前n项和为，等比数列的公比为q．已知，，，．
（Ⅰ）求数列，的通项公式；
（Ⅱ）当时，记，求数列的前n项和．
20．（本小题满分13分）
《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖.
在如图所示的阳马中，侧棱底面，且，点是的
中点，连接.
（Ⅰ）证明：平面. 试判断四面体是
否为鳖，若是，写出其每个面的直角（只需
写出结论）；若不是，请说明理由；
（Ⅱ）记阳马的体积为，四面体的
体积为，求的值．
第20题图
21．（本小题满分14分）
设函数，的定义域均为，且是奇函数，是偶函数，
，其中e为自然对数的底数.
（Ⅰ）求，的解析式，并证明：当时，，；
（Ⅱ）设，，证明：当时，.
22．（本小题满分14分）
一种画椭圆的工具如图1所示．是滑槽的中点，短杆ON可绕O转动，长杆通过N处铰链与ON连接，上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且，．当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C．以为原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设动直线与两定直线和分别交于两点．若直线
总与椭圆有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．
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2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）
数学（文史类）试题参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．A 2．B 3．C 4．A 5．A 6．C 7．D 8．B 9．D 10．C
二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分）
11．9 12．10 13．2 14．（Ⅰ）3；（Ⅱ）6000
15． 16．（Ⅰ）；（Ⅱ） 17．三、解答题（本大题共5小题，共65分）
18．（12分）
（Ⅰ）根据表中已知数据，解得. 数据补全如下表：
0 0 5 0 0 且函数表达式为.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，因此 .
因为的对称中心为，. 令，解得，.
即图象的对称中心为，，其中离原点O最近的对称中心为.
19．（12分）
（Ⅰ）由题意有， 即
解得 或 故或
（Ⅱ）由，知，，故，于是
， ①
. ②
①-②可得
，
故.
20．（13分）
（Ⅰ）因为底面，所以.
由底面为长方形，有，而，
所以平面. 平面，所以.
又因为，点是的中点，所以.
而，所以平面.
由平面，平面，可知四面体的四个面都是直角三角形，
即四面体是一个鳖，其四个面的直角分别是
（Ⅱ）由已知，是阳马的高，所以；
由（Ⅰ）知，是鳖的高， ，
所以.
在△中，因为，点是的中点，所以，
于是
21．（14分）
（Ⅰ）由, 的奇偶性及
, ①
得 ②
联立①②解得，.
当时，，，故 ③
又由基本不等式，有，即 ④
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ， ⑤
， ⑥
当时，等价于， ⑦
等价于 ⑧
设函数 ，
由⑤⑥，有
当时，
（1）若，由③④，得，故在上为增函数，从而，
即，故⑦成立.
（2）若，由③④，得，故在上为减函数，从而，
即，故⑧成立.
综合⑦⑧，得 .
22．（14分）
（Ⅰ）因为，当在x轴上时，等号成立；
同理，当重合，即轴时，等号成立.
所以椭圆C的中心为原点，长半轴长为，短半轴长为，其方程为
（Ⅱ）（1）当直线的斜率不存在时，直线为或，都有.
（2）当直线的斜率存在时，设直线，
由 消去，可得.
因为直线总与椭圆有且只有一个公共点，
所以，即. ①
又由 可得；同理可得.
由原点到直线的距离为和，可得
. ②
将①代入②得，.
当时，；
当时，.
因，则，，所以，
当且仅当时取等号.
所以当时，的最小值为8.
综合（1）（2）可知，当直线与椭圆在四个顶点处相切时，△OPQ的面积取得最小值8.
2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）
数 学（文史类）
本试题卷共5页，22题。全卷满分150分。考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．为虚数单位，
A． B． C． D．1
2．我国古代数学名著《数书九章》有"米谷粒分"题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534
石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为
A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石
3．命题"，"的否定是
A．， B．，
C．， D．，
4．已知变量和满足关系，变量与正相关. 下列结论中正确的是
A．与负相关，与负相关 B．与正相关，与正相关
C．与正相关，与负相关 D．与负相关，与正相关
5．表示空间中的两条直线，若p：是异面直线；q：不相交，则
A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
C．p是q的充分必要条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
6．函数的定义域为
A． B．
C． D．
7．设，定义符号函数 则
A． B．
C． D．
8． 在区间上随机取两个数，记为事件""的概率，为事件""
的概率，则
A． B．
C． D．
9．将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长同时增加个单位
长度，得到离心率为的双曲线，则
A．对任意的， B．当时，；当时，
C．对任意的， D．当时，；当时，
10．已知集合，，定义集合
，则中元素的个数为
A．77 B．49 C．45 D．30
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位 置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.
11．已知向量，，则_________．
12．若变量满足约束条件 则的最大值是_________．
13．函数的零点个数为_________.
14．某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额
（单位：万元）都在区间内，其频率分布直方图如图所示.
（Ⅰ）直方图中的_________；
（Ⅱ）在这些购物者中，消费金额在区间内的购物者的人数为_________.
15．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度.
16．如图，已知圆与轴相切于点，与轴正半
轴交于两点A，B（B在A的上方），且.
（Ⅰ）圆的标准方程为_________；
（Ⅱ）圆在点处的切线在轴上的截距为_________.
17． a为实数，函数在区间上的最大值记为. 当_________时，的值最小.
三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18．（本小题满分12分）
某同学用"五点法"画函数在某一个周期内的图象
时，列表并填入了部分数据，如下表：
0 0 5 0 （Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数的解
析式；
（Ⅱ）将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到图象，求
的图象离原点O最近的对称中心.
19．（本小题满分12分）
设等差数列的公差为d，前n项和为，等比数列的公比为q．已知，，，．
（Ⅰ）求数列，的通项公式；
（Ⅱ）当时，记，求数列的前n项和．
20．（本小题满分13分）
《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖.
在如图所示的阳马中，侧棱底面，且，点是的
中点，连接.
（Ⅰ）证明：平面. 试判断四面体是
否为鳖，若是，写出其每个面的直角（只需
写出结论）；若不是，请说明理由；
（Ⅱ）记阳马的体积为，四面体的
体积为，求的值．
第20题图
21．（本小题满分14分）
设函数，的定义域均为，且是奇函数，是偶函数，
，其中e为自然对数的底数.
（Ⅰ）求，的解析式，并证明：当时，，；
（Ⅱ）设，，证明：当时，.
22．（本小题满分14分）
一种画椭圆的工具如图1所示．是滑槽的中点，短杆ON可绕O转动，长杆通过N处铰链与ON连接，上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且，．当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C．以为原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设动直线与两定直线和分别交于两点．若直线
总与椭圆有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．
绝密★启用前
2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）
数学（文史类）试题参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．A 2．B 3．C 4．A 5．A 6．C 7．D 8．B 9．D 10．C
二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分）
11．9 12．10 13．2 14．（Ⅰ）3；（Ⅱ）6000
15． 16．（Ⅰ）；（Ⅱ） 17．三、解答题（本大题共5小题，共65分）
18．（12分）
（Ⅰ）根据表中已知数据，解得. 数据补全如下表：
0 0 5 0 0 且函数表达式为.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，因此 .
因为的对称中心为，. 令，解得，.
即图象的对称中心为，，其中离原点O最近的对称中心为.
19．（12分）
（Ⅰ）由题意有， 即
解得 或 故或
（Ⅱ）由，知，，故，于是
， ①
. ②
①-②可得
，
故.
20．（13分）
（Ⅰ）因为底面，所以.
由底面为长方形，有，而，
所以平面. 平面，所以.
又因为，点是的中点，所以.
而，所以平面.
由平面，平面，可知四面体的四个面都是直角三角形，
即四面体是一个鳖，其四个面的直角分别是
（Ⅱ）由已知，是阳马的高，所以；
由（Ⅰ）知，是鳖的高， ，
所以.
在△中，因为，点是的中点，所以，
于是
21．（14分）
（Ⅰ）由, 的奇偶性及
, ①
得 ②
联立①②解得，.
当时，，，故 ③
又由基本不等式，有，即 ④
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ， ⑤
， ⑥
当时，等价于， ⑦
等价于 ⑧
设函数 ，
由⑤⑥，有
当时，
（1）若，由③④，得，故在上为增函数，从而，
即，故⑦成立.
（2）若，由③④，得，故在上为减函数，从而，
即，故⑧成立.
综合⑦⑧，得 .
22．（14分）
（Ⅰ）因为，当在x轴上时，等号成立；
同理，当重合，即轴时，等号成立.
所以椭圆C的中心为原点，长半轴长为，短半轴长为，其方程为
（Ⅱ）（1）当直线的斜率不存在时，直线为或，都有.
（2）当直线的斜率存在时，设直线，
由 消去，可得.
因为直线总与椭圆有且只有一个公共点，
所以，即. ①
又由 可得；同理可得.
由原点到直线的距离为和，可得
. ②
将①代入②得，.
当时，；
当时，.
因，则，，所以，
当且仅当时取等号.
所以当时，的最小值为8.
综合（1）（2）可知，当直线与椭圆在四个顶点处相切时，△OPQ的面积取得最小值8.
