2015高考真题——数学理（湖南卷）Word版含答案
2023-11-18 02:57:08
2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）（理科）
本试题包括选择题，填空题和解答题三部分，共6页，时间120分钟，满分150分.
一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，贼每小题给出的四个选项中，只有一项是复合题目要求的.
1.已知（为虚数单位），则复数=（ ）
A. B. C. D.
2.设A,B是两个集合，则""是""的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.执行如图1所示的程序框图，如果输入，则输出的( )
A. B. C. D.
4.若变量满足约束条件，则的最小值为（ ）
A.-7 B.-1 C.1 D.2
5.设函数，则是（ ）
A.奇函数，且在上是增函数 B. 奇函数，且在上是减函数
C. 偶函数，且在上是增函数 D. 偶函数，且在上是减函数
6.已知的展开式中含的项的系数为30，则（ ）
A. B. C.6 D-6
7.在如图2所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ）
A.2386 B.2718 C.3413 D.4772
8.已知点A,B,C在圆上运动，且.若点P的坐标为（2,0），则的最大值为（ ）
A.6 B.7 C.8 D.9
9.将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像，若对满足的，有，则（ ）
A. B. C. D.
10.某工件的三视图如图3所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11. .
12.在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图4所示.
若将运动员按成绩由好到差编为号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是 .
13.设F是双曲线C：的一个焦点，若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为 .
14.设为等比数列的前项和，若，且成等差数列，则 .
15.已知，若存在实数，使函数有两个零点，则a的取值范围是 .
三、解答题
16.(Ⅰ)如图，在圆O中，相交于点E的两弦AB、CD的中点分别是M、N，直线MO与直线CD相交于点F，证明：
（1）；
（2）
（Ⅱ）已知直线（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.
（1） 将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2） 设点M的直角坐标为，直线与曲线C 的交点为A，B，求的值.
（Ⅲ）设，且.
（1）；
（2）与不可能同时成立.
17.设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且B为钝角》
(1)证明：
（2）求的取值范围
18.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.
（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；
（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望.
19.如图，已知四棱台上、下底面分别是边长为3和6的正方形，，且底面ABCD，点P、Q分别在棱、BC上.
（1）若P是的中点，证明：；
（2）若PQ//平面，二面角P-QD-A的余弦值为，求四面体ADPQ的体积.
20.已知抛物线的焦点F也是椭圆的一个焦点，与的公共弦的长为.
（1）求的方程；
（2）过点F的直线与相交于A、B两点，与相交于C、D两点，且与同向
（。┤簦求直线的斜率
（）设在点A处的切线与x轴的交点为M，证明：直线绕点F旋转时，总是钝角三角形
21.已知，函数. 记为的从小到大的第n个极值点,证明：
（1）数列是等比数列
（2）若，则对一切，恒成立.
一、
选择题，每小题5分，满分50分.
（1）D （2）C （3）B （4）A （5）A
（6）D （7）C （8）B （9）D （10）A
二、 填空题，每小题5分，满分25分.
(11)0 (12)4 (13) (14) （15）（）（）
三、解答题满分75分
16、证明（I）如图a所示，
因为M，N分别是弦AB,CD的中点，
所以OMAB,ONCD,
即OME=， O=，OME+O =。
又四边形的内角和等于，故+NOM=.
（II）由（I）知，O,M,E,N四点共圆，故由割线定理即得
17、解（I）由a=btA及正弦定理，得,所以sB=cosA，即
sB=s（+A）.
又B为钝角，因此+A（，A），故B=+A，即B-A=.
(II)由（I）知，C=-（A+B）=-(2A+)=-2A>0，所以A，
于是
sA+sC=sA+s（-2A）
= sA+cos2A=-2A+sA+1
=-2（sA-）+
因为0 <-2
由此可知sA+sC的取值范围是（，].
18、（I）记事件=｛从甲箱中摸出的1个球是红球｝
=｛从乙箱中摸出的1个球是红球｝
= ｛顾客抽奖1次获一等奖｝=｛顾客抽奖1次获二等奖｝
C=｛顾客抽奖1次能获奖｝.
由题意，与相互独立，与互斥，与互斥，且
=，=+，C=+.
因P（）==，P()==，所以
P（）=P()=P()P()==，
P（）=P（+）=P（）+P（）
=P（）(1- P())+(1- P（）)P()
=(1-)+(1-)=
故所求概率为
P(C)= P(+)=P（）+ P（）=+=.
（II）顾客抽奖3次独立重复试验，由（I）知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为，所以X~B（3，）.
于是
P(X=0)==
P(X=1)==
P(X=2)==
P(X=3)==
故X的分布列为
X 0 1 2 3 P
X的数学期望为
E（X）=3=.
19、解法一 由题设知，,AB,AD两两垂直，以A为坐标原点，AB，AD, 所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图b所示的空间直角坐标系，则相关各点的坐标为
A(0,0,0) (3，0，6) D(0，6，0) (0，3，6) Q(6，m,0)，其中m=BQ，
。
(I) 若P是的中点，则P（0,，3），=(3,0 ,6),
于是=18-18=0，所以，即.
(II) 由题设知，=(6，m-6,0),=(0,-3,6)是平面PQD内的两个不共线向量.
设=（x，y，z）是平面PQD的一个法向量，则，即
取y=6，得=（，6,3）.又平面AQD的一个法向量是=（0，0，1），所以
cos<,>==.
而二面角P-QD-A的余弦值为，因此=，
解得m=4，或者m=8（舍去），此时Q（6,4,0）
设=(0<1),而=（0，-3,6），由此得点P（0,6-3，6），
=（6，3-2，-6）.
因为PQ//平面,且平面的一个法向量是=（0,1,0），所以=0，即3-2=0，亦即=，从而P（0,4,4）
于是，将四面体ADPQ视为以△ADQ为底面的三棱锥P-ADQ，则其高h=4，
故四面体ADPQ的体积
.
解法二 （I）如图c，取的中点R，连结PR,BR,因为，是梯形的两腰，P是的中点，所以PR//AD，于是由AD//BC知，PR//BC,
所以P,R,B,C四点共面.
由题设知，BCAB,BC,所以BC平面,因此
BC. ○1
因为t====t,所以t=t，因此
==，
于是BR，再由○1即知平面PRBC，又PQ平面PRBC，故PQ.
（II）如图d，过点P作PM//交AD于点M，则
PM//平面.
因为平面ABCD，所以OM平面ABCD,过点M作QD于点N，连结PN，则PNQD，为二面角P-QD-A的平面角，所以cos=，
即=,从而
. ○3
连结MQ，由PQ//平面，所以MQ//AB，又ABCD是正方形，所以ABQM为矩形，故MQ=AB=6.
设MD=t，则
==. ○4
过点作交AD于点E，则为矩形，所以==6，AE==3，
因此ED=AD-AE=3，于是,所以PM=D=2t，
再由○3○4得=，解得t=2，因此PM=4.故四面体ADPQ的体积 .
20、解（I）由:知其焦点F的坐标为（0,1），因为F也是椭圆的一焦点，
所以
○1
又与的公共弦的长为2，与都关于y轴对称，且的方程为，由此易知与的公共点的坐标为（），所以
○2
联立○1，○2得=9，=8，故的方程为
○3
（II）如图，设A（）B（）C（）D（）.
（i）因与同向，且=,所以=，从而=，即
=，于是
-4= -4 ○3
设直线l的斜率为k，则l的方程为y=kx+1.
由得+16kx-64=0.而，是这个方程的两根.所以
=4k，=-4 ○4
由得（9+8）+16kx-64=0.而，是这个方程的两根.所以
=-，=-. ○5
将○4○5带入○3 ，得16（+1）=+,即
16（+1）=，
所以=，解得k=，即直线l的斜率为.
（ii）由得=，所以在点A处的切线方程为y-=（x-），即
y=-.
令y=0得x=，即M（,0）,所以=(,-1).而=().于是
=-=+1>0，
因此是锐角，从而是钝角.
故直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形.
21、证明：（I）
其中t=，0<<.
令=0，由x得x+=mx, 即x=-，m.
对，若2k0；
若（2k+1）因此，在区间（（m-1），m-）与（m-，m）上，的符号总相反.于是
当x= m-(m)时，取得极值，所以
.
此时，易知0，而
是常数，故数列是首项为=，公比为的等比数列
（II）由（I）知，=，于是对一切,<||恒成立，即
恒成立，等价于
（）
恒成立（因为a>0）
设g（t）=（t）0），则.令=0得t=1
当0当t>1时，，所以g（t）在区间（0,1）上单调递增.
从而当t=1时，函数g（t）取得最小值g（1）=e
因此，要是（）式恒成立，只需，即只需.
而当a=时，t==且.于是
，且当n时，.因此对一切
,，所以g（）.故（）式亦恒成立.
综上所述，若a，则对一切，恒成立.
本试题包括选择题，填空题和解答题三部分，共6页，时间120分钟，满分150分.
一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，贼每小题给出的四个选项中，只有一项是复合题目要求的.
1.已知（为虚数单位），则复数=（ ）
A. B. C. D.
2.设A,B是两个集合，则""是""的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.执行如图1所示的程序框图，如果输入，则输出的( )
A. B. C. D.
4.若变量满足约束条件，则的最小值为（ ）
A.-7 B.-1 C.1 D.2
5.设函数，则是（ ）
A.奇函数，且在上是增函数 B. 奇函数，且在上是减函数
C. 偶函数，且在上是增函数 D. 偶函数，且在上是减函数
6.已知的展开式中含的项的系数为30，则（ ）
A. B. C.6 D-6
7.在如图2所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ）
A.2386 B.2718 C.3413 D.4772
8.已知点A,B,C在圆上运动，且.若点P的坐标为（2,0），则的最大值为（ ）
A.6 B.7 C.8 D.9
9.将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像，若对满足的，有，则（ ）
A. B. C. D.
10.某工件的三视图如图3所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11. .
12.在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图4所示.
若将运动员按成绩由好到差编为号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是 .
13.设F是双曲线C：的一个焦点，若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为 .
14.设为等比数列的前项和，若，且成等差数列，则 .
15.已知，若存在实数，使函数有两个零点，则a的取值范围是 .
三、解答题
16.(Ⅰ)如图，在圆O中，相交于点E的两弦AB、CD的中点分别是M、N，直线MO与直线CD相交于点F，证明：
（1）；
（2）
（Ⅱ）已知直线（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.
（1） 将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2） 设点M的直角坐标为，直线与曲线C 的交点为A，B，求的值.
（Ⅲ）设，且.
（1）；
（2）与不可能同时成立.
17.设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且B为钝角》
(1)证明：
（2）求的取值范围
18.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.
（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；
（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望.
19.如图，已知四棱台上、下底面分别是边长为3和6的正方形，，且底面ABCD，点P、Q分别在棱、BC上.
（1）若P是的中点，证明：；
（2）若PQ//平面，二面角P-QD-A的余弦值为，求四面体ADPQ的体积.
20.已知抛物线的焦点F也是椭圆的一个焦点，与的公共弦的长为.
（1）求的方程；
（2）过点F的直线与相交于A、B两点，与相交于C、D两点，且与同向
（。┤簦求直线的斜率
（）设在点A处的切线与x轴的交点为M，证明：直线绕点F旋转时，总是钝角三角形
21.已知，函数. 记为的从小到大的第n个极值点,证明：
（1）数列是等比数列
（2）若，则对一切，恒成立.
一、
选择题，每小题5分，满分50分.
（1）D （2）C （3）B （4）A （5）A
（6）D （7）C （8）B （9）D （10）A
二、 填空题，每小题5分，满分25分.
(11)0 (12)4 (13) (14) （15）（）（）
三、解答题满分75分
16、证明（I）如图a所示，
因为M，N分别是弦AB,CD的中点，
所以OMAB,ONCD,
即OME=， O=，OME+O =。
又四边形的内角和等于，故+NOM=.
（II）由（I）知，O,M,E,N四点共圆，故由割线定理即得
17、解（I）由a=btA及正弦定理，得,所以sB=cosA，即
sB=s（+A）.
又B为钝角，因此+A（，A），故B=+A，即B-A=.
(II)由（I）知，C=-（A+B）=-(2A+)=-2A>0，所以A，
于是
sA+sC=sA+s（-2A）
= sA+cos2A=-2A+sA+1
=-2（sA-）+
因为0
由此可知sA+sC的取值范围是（，].
18、（I）记事件=｛从甲箱中摸出的1个球是红球｝
=｛从乙箱中摸出的1个球是红球｝
= ｛顾客抽奖1次获一等奖｝=｛顾客抽奖1次获二等奖｝
C=｛顾客抽奖1次能获奖｝.
由题意，与相互独立，与互斥，与互斥，且
=，=+，C=+.
因P（）==，P()==，所以
P（）=P()=P()P()==，
P（）=P（+）=P（）+P（）
=P（）(1- P())+(1- P（）)P()
=(1-)+(1-)=
故所求概率为
P(C)= P(+)=P（）+ P（）=+=.
（II）顾客抽奖3次独立重复试验，由（I）知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为，所以X~B（3，）.
于是
P(X=0)==
P(X=1)==
P(X=2)==
P(X=3)==
故X的分布列为
X 0 1 2 3 P
X的数学期望为
E（X）=3=.
19、解法一 由题设知，,AB,AD两两垂直，以A为坐标原点，AB，AD, 所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图b所示的空间直角坐标系，则相关各点的坐标为
A(0,0,0) (3，0，6) D(0，6，0) (0，3，6) Q(6，m,0)，其中m=BQ，
。
(I) 若P是的中点，则P（0,，3），=(3,0 ,6),
于是=18-18=0，所以，即.
(II) 由题设知，=(6，m-6,0),=(0,-3,6)是平面PQD内的两个不共线向量.
设=（x，y，z）是平面PQD的一个法向量，则，即
取y=6，得=（，6,3）.又平面AQD的一个法向量是=（0，0，1），所以
cos<,>==.
而二面角P-QD-A的余弦值为，因此=，
解得m=4，或者m=8（舍去），此时Q（6,4,0）
设=(0<1),而=（0，-3,6），由此得点P（0,6-3，6），
=（6，3-2，-6）.
因为PQ//平面,且平面的一个法向量是=（0,1,0），所以=0，即3-2=0，亦即=，从而P（0,4,4）
于是，将四面体ADPQ视为以△ADQ为底面的三棱锥P-ADQ，则其高h=4，
故四面体ADPQ的体积
.
解法二 （I）如图c，取的中点R，连结PR,BR,因为，是梯形的两腰，P是的中点，所以PR//AD，于是由AD//BC知，PR//BC,
所以P,R,B,C四点共面.
由题设知，BCAB,BC,所以BC平面,因此
BC. ○1
因为t====t,所以t=t，因此
==，
于是BR，再由○1即知平面PRBC，又PQ平面PRBC，故PQ.
（II）如图d，过点P作PM//交AD于点M，则
PM//平面.
因为平面ABCD，所以OM平面ABCD,过点M作QD于点N，连结PN，则PNQD，为二面角P-QD-A的平面角，所以cos=，
即=,从而
. ○3
连结MQ，由PQ//平面，所以MQ//AB，又ABCD是正方形，所以ABQM为矩形，故MQ=AB=6.
设MD=t，则
==. ○4
过点作交AD于点E，则为矩形，所以==6，AE==3，
因此ED=AD-AE=3，于是,所以PM=D=2t，
再由○3○4得=，解得t=2，因此PM=4.故四面体ADPQ的体积 .
20、解（I）由:知其焦点F的坐标为（0,1），因为F也是椭圆的一焦点，
所以
○1
又与的公共弦的长为2，与都关于y轴对称，且的方程为，由此易知与的公共点的坐标为（），所以
○2
联立○1，○2得=9，=8，故的方程为
○3
（II）如图，设A（）B（）C（）D（）.
（i）因与同向，且=,所以=，从而=，即
=，于是
-4= -4 ○3
设直线l的斜率为k，则l的方程为y=kx+1.
由得+16kx-64=0.而，是这个方程的两根.所以
=4k，=-4 ○4
由得（9+8）+16kx-64=0.而，是这个方程的两根.所以
=-，=-. ○5
将○4○5带入○3 ，得16（+1）=+,即
16（+1）=，
所以=，解得k=，即直线l的斜率为.
（ii）由得=，所以在点A处的切线方程为y-=（x-），即
y=-.
令y=0得x=，即M（,0）,所以=(,-1).而=().于是
=-=+1>0，
因此是锐角，从而是钝角.
故直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形.
21、证明：（I）
其中t=，0<<.
令=0，由x得x+=mx, 即x=-，m.
对，若2k
若（2k+1）
当x= m-(m)时，取得极值，所以
.
此时，易知0，而
是常数，故数列是首项为=，公比为的等比数列
（II）由（I）知，=，于是对一切,<||恒成立，即
恒成立，等价于
（）
恒成立（因为a>0）
设g（t）=（t）0），则.令=0得t=1
当0
从而当t=1时，函数g（t）取得最小值g（1）=e
因此，要是（）式恒成立，只需，即只需.
而当a=时，t==且.于是
，且当n时，.因此对一切
,，所以g（）.故（）式亦恒成立.
综上所述，若a，则对一切，恒成立.
