2015高考真题——数学理（浙江卷）Word版含答案
2023-11-27 11:48:37
2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）
数学（理科）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中
只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则 （ ）
A. B. C. D.
2.某几何体的三视图如图所示（单位：）,则该几何体的体积是（ ）
A. B. C. D.
3.已知是等差数列，公差不为零，前项和是，若成等
比数列，则（ ）
A. B.
C. D.
4.命题" 且的否定形式是（ ）
A. ，且 B. 或
C. 且 D. 或
5.如图，设抛物线的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点，其中点在抛物线上，点在轴上，则与的面积之比是（ ）
A. B. C. D.
6.设是有限集，定义：，其中表示有限集A中的元素个数，
命题①：对任意有限集，""是" "的充分必要条件；
命题②：对任意有限集，，
A. 命题①和命题②都成立 B. 命题①和命题②都不成立
C. 命题①成立，命题②不成立 D. 命题①不成立，命题②成立
7.存在函数满足，对于任意都有（ ）
A. B.
C. D.
8.如图，已知，是的中点，沿直线将翻折成，所成二面角的平面角为，则（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
9.双曲线的焦距是 ，渐近线方程是 ．
10. 已知函数，则 ，的最小值是 ．
11. 函数的最小正周期是 ，单调递减区间是 ．
12.若，则 ．
13. 如图，三棱锥中，，点分别是的中点，则异面直线所成的角的余弦值是 ．
14. 若实数满足，则的最小值是 ．
15.已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意，，则 ， ， ．
三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16.（本题满分14分）
在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，=.
（1）求tC的值；
（2）若ABC的面积为3，求b的值。
17.（本题满分15分）
如图，在三棱柱-中，BAC=，AB=AC=2，A=4，在底面ABC的射影为BC的中点， D为的中点.
（1）证明：D平面；
（2）求二面角-BD-的平面角的余弦值.
18.（本题满分15分）
已知函数f（x）=+ax+b（a，bR）,记M（a，b）是|f（x）|在区间[-1,1]上的最大值。
（1）证明：当2时，M（a，b）2;
（2）当a，b满足M（a，b）2时，求+的最大值.
19.（本题满分15分）
已知椭圆上两个不同的点A,B关于直线y=mx+对称．
（1）求实数m的取值范围；
（2）求AOB面积的最大值（O为坐标原点）．
20.（本题满分15分）
已知数列满足=且=-（n）
（1）证明：1（n）；
（2）设数列的前n项和为,证明（n）.
数学（理科）试题参考答案
一、 选择题：本题考察基本知识和基本运算。每小题5分，满分40分。
1.C 2.C 3.B 4.D 5.A 6.A 7.D 8.B
二、 填空题：本题考查基本知识和基本运算。多空题每题6分，单空题每题4分，满分36分）
9. ，. 10. ，. 11. ，，(.)
12. 13. . 14.3 15. ，，.
三、解答题：本大题共5小题，共74分。
16. （1）由及正弦定理得
，
∴，
又由，即，得
，
解得
；
（2）由，得
，，
又∵，
∴，
由正弦定理得
，
又∵，，
∴，
故.
17.
（1）设为的中点，由题意得平面，∴，
∵，∴，
故平面，
由，分别，的中点，得
且，从而且DE=，
∴四边形为平行四边形，
故，
又∵平面，∴平面；
（2）作，且，连结，
由，，得，
由，，得，
由，得，因此为二面角的平面角，
由，，，得
，，
由余弦定理得，.
方法二
以CB的中点E为原点，分别以射线EA，EB为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系E-xyz，如图所示。
（0,0，）B（0，，0）D（-，0，），（-，、）
=（0，，-）=（-，-，） =（0，，0）
设平面BD的法向量为m=（x1，y1，z1），平面BD的法向量为n=（x2，y2，z2）
由{m・=0 即{ y1 - z1 =0
m・=0 - x1 - y1+ z1 =0
可取
m=（0，，1）
由{n・=0 即{ y2 =0
n・=0 - x2 - y2 +=0
可取
n=（，0,1）
于是==
由题意可知，所求二面角的平面角是钝角，故二面角的平面角的余弦值为-
18.
（1）由，得对称轴为直线，
由，得
，
故在上单调，
∴，
当时，由
，
得，即，
当时，由
，
得，即，
综上，当时，
；
（2）由得
，，
故，，
由，得
，
当，时，，且在上的最大值为
，即，
∴的最大值为..
.19.
（1） 由题意知，可设直线AB的方程为，
（2） 由，
消去，得，
∵直线与椭圆有两个不同的交点，
∴，①，
将AB中点代入直线方程解得
，②。
由①②得或；
（3） 令，则
，
且O到直线AB的距离为，
设的面积为，
∴，
当且仅当时，等号成立，
故面积的最大值为.
20.
（1）由题意得，，即，，
由
得，
由得，
，
即；
（2）由题意得，
∴①，
由和得，，
∴，因此②，
由①②得
.
数学（理科）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中
只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则 （ ）
A. B. C. D.
2.某几何体的三视图如图所示（单位：）,则该几何体的体积是（ ）
A. B. C. D.
3.已知是等差数列，公差不为零，前项和是，若成等
比数列，则（ ）
A. B.
C. D.
4.命题" 且的否定形式是（ ）
A. ，且 B. 或
C. 且 D. 或
5.如图，设抛物线的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点，其中点在抛物线上，点在轴上，则与的面积之比是（ ）
A. B. C. D.
6.设是有限集，定义：，其中表示有限集A中的元素个数，
命题①：对任意有限集，""是" "的充分必要条件；
命题②：对任意有限集，，
A. 命题①和命题②都成立 B. 命题①和命题②都不成立
C. 命题①成立，命题②不成立 D. 命题①不成立，命题②成立
7.存在函数满足，对于任意都有（ ）
A. B.
C. D.
8.如图，已知，是的中点，沿直线将翻折成，所成二面角的平面角为，则（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
9.双曲线的焦距是 ，渐近线方程是 ．
10. 已知函数，则 ，的最小值是 ．
11. 函数的最小正周期是 ，单调递减区间是 ．
12.若，则 ．
13. 如图，三棱锥中，，点分别是的中点，则异面直线所成的角的余弦值是 ．
14. 若实数满足，则的最小值是 ．
15.已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意，，则 ， ， ．
三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16.（本题满分14分）
在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，=.
（1）求tC的值；
（2）若ABC的面积为3，求b的值。
17.（本题满分15分）
如图，在三棱柱-中，BAC=，AB=AC=2，A=4，在底面ABC的射影为BC的中点， D为的中点.
（1）证明：D平面；
（2）求二面角-BD-的平面角的余弦值.
18.（本题满分15分）
已知函数f（x）=+ax+b（a，bR）,记M（a，b）是|f（x）|在区间[-1,1]上的最大值。
（1）证明：当2时，M（a，b）2;
（2）当a，b满足M（a，b）2时，求+的最大值.
19.（本题满分15分）
已知椭圆上两个不同的点A,B关于直线y=mx+对称．
（1）求实数m的取值范围；
（2）求AOB面积的最大值（O为坐标原点）．
20.（本题满分15分）
已知数列满足=且=-（n）
（1）证明：1（n）；
（2）设数列的前n项和为,证明（n）.
数学（理科）试题参考答案
一、 选择题：本题考察基本知识和基本运算。每小题5分，满分40分。
1.C 2.C 3.B 4.D 5.A 6.A 7.D 8.B
二、 填空题：本题考查基本知识和基本运算。多空题每题6分，单空题每题4分，满分36分）
9. ，. 10. ，. 11. ，，(.)
12. 13. . 14.3 15. ，，.
三、解答题：本大题共5小题，共74分。
16. （1）由及正弦定理得
，
∴，
又由，即，得
，
解得
；
（2）由，得
，，
又∵，
∴，
由正弦定理得
，
又∵，，
∴，
故.
17.
（1）设为的中点，由题意得平面，∴，
∵，∴，
故平面，
由，分别，的中点，得
且，从而且DE=，
∴四边形为平行四边形，
故，
又∵平面，∴平面；
（2）作，且，连结，
由，，得，
由，，得，
由，得，因此为二面角的平面角，
由，，，得
，，
由余弦定理得，.
方法二
以CB的中点E为原点，分别以射线EA，EB为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系E-xyz，如图所示。
（0,0，）B（0，，0）D（-，0，），（-，、）
=（0，，-）=（-，-，） =（0，，0）
设平面BD的法向量为m=（x1，y1，z1），平面BD的法向量为n=（x2，y2，z2）
由{m・=0 即{ y1 - z1 =0
m・=0 - x1 - y1+ z1 =0
可取
m=（0，，1）
由{n・=0 即{ y2 =0
n・=0 - x2 - y2 +=0
可取
n=（，0,1）
于是==
由题意可知，所求二面角的平面角是钝角，故二面角的平面角的余弦值为-
18.
（1）由，得对称轴为直线，
由，得
，
故在上单调，
∴，
当时，由
，
得，即，
当时，由
，
得，即，
综上，当时，
；
（2）由得
，，
故，，
由，得
，
当，时，，且在上的最大值为
，即，
∴的最大值为..
.19.
（1） 由题意知，可设直线AB的方程为，
（2） 由，
消去，得，
∵直线与椭圆有两个不同的交点，
∴，①，
将AB中点代入直线方程解得
，②。
由①②得或；
（3） 令，则
，
且O到直线AB的距离为，
设的面积为，
∴，
当且仅当时，等号成立，
故面积的最大值为.
20.
（1）由题意得，，即，，
由
得，
由得，
，
即；
（2）由题意得，
∴①，
由和得，，
∴，因此②，
由①②得
.
