2015高考真题——数学文（浙江卷）Word版含答案
2023-12-11 09:28:50
2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）
数学（文科）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2、某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积是（ ）
A． B．
C． D．
3、设，是实数，则""是""的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4、设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，且，（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
5、函数（且）的图象可能为（ ）
A． B． C． D．
6、有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：）分别为，，，且，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/）分别为，，，且．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（ ）
A． B． C． D．
7、如图，斜线段与平面所成的角为，为斜足，平面上的动点满足，则点的轨迹是（ ）
A．直线 B．抛物线
C．椭圆 D．双曲线的一支
8、设实数，，满足（ ）
A．若确定，则唯一确定 B．若确定，则唯一确定
C．若确定，则唯一确定 D．若确定，则唯一确定
二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．）
9、计算： ， ．
10、已知是等差数列，公差不为零．若，，成等比数列，且，则 ， ．
11、函数的最小正周期是 ，最小值是 ．
12、已知函数，则 ，的最小值是 ．
13、已知，是平面单位向量，且．若平面向量满足，则 ．
14、已知实数，满足，则的最大值是 ．
15、椭圆（）的右焦点关于直线的对称点在椭圆上，则椭圆的离心率是 ．
三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16.（本题满分14分）在中，内角A，B，C所对的边分别为.已知.
（1）求的值；
（2）若，求的面积.
17.（本题满分15分）已知数列和满足，
.
（1）求与;
（2）记数列的前n项和为，求.
18.（本题满分15分）如图，在三棱锥中，在底面ABC的射影为BC的中点，D为的中点.
(1)证明: ；
(2)求直线和平面所成的角的正弦值.
19.（本题满分15分）如图，已知抛物线，圆，过点作不过原点O的直线PA，PB分别与抛物线和圆相切，A，B为切点.
(1)求点A，B的坐标；
(2)求的面积.
注：直线与抛物线有且只有一个公共点，
且与抛物线的对称轴不平行，则该直线
与抛物线相切，称该公共点为切点.
20.（本题满分15分）设函数.
(1)当时，求函数在上的最小值的表达式；
(2)已知函数在上存在零点，，求b的取值范围.
2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）
数学（文科）参考答案
一、 选择题
1. A 2.C 3.D 4.A 5.D 6.B 7.C 8.B
二、 填空题
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】15
15.【答案】
三、解答题
16. 【答案】(1)；(2)9
（1）利用两角和与差的正切公式，得到t,利用同角三角函数基本函数关系式得到结论；
（2）利用正弦原理得到边b的值，根据三角形，两边一夹角的面积公式计算得到三角形的面积
试题解析：（1）由t
所以
(2) 由t可得，s.
由正弦定理知：b=3
又
所以S?=×3×3×=9
17. 【答案】(1)；(2)
（1）由得
当n=1时，故
当n时，整理得所以
（2）由（1）知，
所以
所以
18. 【答案】(1)略；(2)
（1）设E为BC中点，由题意得所以
因为所以
所以平面
由D,E分别为的中点，得从而DE//且DE=
所以是平行四边形，所以
因为平面所以平面
(2)作，垂足为F，连结BF.
因为平面，所以.
因为，所以平面.
所以平面.
所以为直线与平面所成角的平面角.
由，得.
由平面，得.
由，得.
所以
19. 【答案】(1)；(2)
（1）由题意可知，直线PA的斜率存在，故可设直线PA的方程为
所以消去y,整理得：
因为直线PA与抛物线相切，所以，解得.
所以，即点.
设圆的圆心为，点的坐标为，由题意知，点B,O关于直线PD对称，故有，
解得.即点.
(2)由(1)知，，
直线AP的方程为，
所以点B到直线PA的距离为.
所以的面积为.
20. 【答案】(1)；(2)
（1） 当时，故其对称轴为
当时，
当-2<时，g
当>2时，g
综上所述，
（2）设s,t为方程的解，且-1，则
由于，因此
当时，
由于和
所以
当-1
由于<0和<0，所以-3<0.
综上可知，b的取值范围 是
数学（文科）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2、某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积是（ ）
A． B．
C． D．
3、设，是实数，则""是""的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4、设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，且，（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
5、函数（且）的图象可能为（ ）
A． B． C． D．
6、有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：）分别为，，，且，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/）分别为，，，且．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（ ）
A． B． C． D．
7、如图，斜线段与平面所成的角为，为斜足，平面上的动点满足，则点的轨迹是（ ）
A．直线 B．抛物线
C．椭圆 D．双曲线的一支
8、设实数，，满足（ ）
A．若确定，则唯一确定 B．若确定，则唯一确定
C．若确定，则唯一确定 D．若确定，则唯一确定
二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．）
9、计算： ， ．
10、已知是等差数列，公差不为零．若，，成等比数列，且，则 ， ．
11、函数的最小正周期是 ，最小值是 ．
12、已知函数，则 ，的最小值是 ．
13、已知，是平面单位向量，且．若平面向量满足，则 ．
14、已知实数，满足，则的最大值是 ．
15、椭圆（）的右焦点关于直线的对称点在椭圆上，则椭圆的离心率是 ．
三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16.（本题满分14分）在中，内角A，B，C所对的边分别为.已知.
（1）求的值；
（2）若，求的面积.
17.（本题满分15分）已知数列和满足，
.
（1）求与;
（2）记数列的前n项和为，求.
18.（本题满分15分）如图，在三棱锥中，在底面ABC的射影为BC的中点，D为的中点.
(1)证明: ；
(2)求直线和平面所成的角的正弦值.
19.（本题满分15分）如图，已知抛物线，圆，过点作不过原点O的直线PA，PB分别与抛物线和圆相切，A，B为切点.
(1)求点A，B的坐标；
(2)求的面积.
注：直线与抛物线有且只有一个公共点，
且与抛物线的对称轴不平行，则该直线
与抛物线相切，称该公共点为切点.
20.（本题满分15分）设函数.
(1)当时，求函数在上的最小值的表达式；
(2)已知函数在上存在零点，，求b的取值范围.
2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）
数学（文科）参考答案
一、 选择题
1. A 2.C 3.D 4.A 5.D 6.B 7.C 8.B
二、 填空题
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】15
15.【答案】
三、解答题
16. 【答案】(1)；(2)9
（1）利用两角和与差的正切公式，得到t,利用同角三角函数基本函数关系式得到结论；
（2）利用正弦原理得到边b的值，根据三角形，两边一夹角的面积公式计算得到三角形的面积
试题解析：（1）由t
所以
(2) 由t可得，s.
由正弦定理知：b=3
又
所以S?=×3×3×=9
17. 【答案】(1)；(2)
（1）由得
当n=1时，故
当n时，整理得所以
（2）由（1）知，
所以
所以
18. 【答案】(1)略；(2)
（1）设E为BC中点，由题意得所以
因为所以
所以平面
由D,E分别为的中点，得从而DE//且DE=
所以是平行四边形，所以
因为平面所以平面
(2)作，垂足为F，连结BF.
因为平面，所以.
因为，所以平面.
所以平面.
所以为直线与平面所成角的平面角.
由，得.
由平面，得.
由，得.
所以
19. 【答案】(1)；(2)
（1）由题意可知，直线PA的斜率存在，故可设直线PA的方程为
所以消去y,整理得：
因为直线PA与抛物线相切，所以，解得.
所以，即点.
设圆的圆心为，点的坐标为，由题意知，点B,O关于直线PD对称，故有，
解得.即点.
(2)由(1)知，，
直线AP的方程为，
所以点B到直线PA的距离为.
所以的面积为.
20. 【答案】(1)；(2)
（1） 当时，故其对称轴为
当时，
当-2<时，g
当>2时，g
综上所述，
（2）设s,t为方程的解，且-1，则
由于，因此
当时，
由于和
所以
当-1
由于<0和<0，所以-3<0.
综上可知，b的取值范围 是
