2015高考真题——数学理（四川卷）Word版含答案
2023-11-25 09:59:33
2015年普通高等学校招生全国统一考试（四川）理科
1.设集合集合，则
A. {X/-12. 设i是虚数单位，则复数
A. -i B.-3i C.i. D.3i
3. 执行如图所示的程序框图，输出S的值是
A. BC-D
4. 下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是
5.过双曲线的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则
（A） （B） （C）6 （D）
6. 用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有
（A）144个 （B）120个 （C）96个 （D）72个
7. 设四边形ABCD为平行四边形，，.若点M，N满足，，则
（A）20 （B）15 （C）9 （D）6
8. 设a，b都是不等于1的正数，则""是""的
（A） 充要条件 （B）充分不必要条件
（C）必要不充分条件 （D）既不充分也不必要条件
9. 如果函数在区间单调递减，则的最大值为
（A）16 （B）18 （C）25 （D）
10. 设直线l与抛物线相交于A，B两点，与圆相切于点M，且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
二.填空题
11.在的展开式中，含的项的系数是 （用数字作答）。
12. 。
13.某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，k、b为常数）。若该食品在0的保鲜时间设计192小时，在22的保鲜时间是48小时，则该食品在33的保鲜时间是 小时。
14.如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点。设异面直线与AF所成的角为，则的最大值为 。
15.已知函数，（其中）。对于不相等的实数，设，，
现有如下命题：
（1）对于任意不相等的实数，都有；
（2）对于任意的a及任意不相等的实数，都有；
（3）对于任意的a，存在不相等的实数，使得；
（4）对于任意的a，存在不相等的实数，使得。
其中的真命题有 （写出所有真命题的序号）。
三.解答题
16.设数列的前项和，且成等差数列
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列的前n项和，求得成立的n的最小值。
17.某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐3名男生，2名女生，B中学推荐了3名男生，4名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队
（1）求A中学至少有1名学生入选代表队的概率.
（2）某场比赛前。从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X得分布列和数学期望.
18.一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中，设的中点为，的中点为
（1请将字母标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）
（2）证明：直线平面
（3）求二面角的余弦值.
19.如图，A,B,C,D为平面四边形ABCD的四个内角.
（1）证明：
（2）若求
20.如图，椭圆E：的离心率是，过点P（0,1）的动直线与椭圆相交于A，B两点，当直线平行与轴时，直线被椭圆E截得的线段长为.
(1)求椭圆E的方程；
（2）在平面直角坐标系中，是否存在与点P不同的定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。
21.已知函数
（1）设
（2）证明：存在
数学（理工类）试题参考答案
一、 选择题：本题查考基本概念和基本运算。每小题5分，满分50分
1.A 2.C 3.D 4.A 5.D 6.B
7.C 8.B 9.B 10.D
二、 填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分25分
11. -40 12. 13. 24 14. 15. ①④
三、解答题 共6小题，共75分
16.本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列通项公式与前项和等基础知识，考查运算求解能力。
（I）由已知有
即
从而.
又因为成等差数列，即.
所以，解得.
所以，数列是首项为2，公比为2的等比数列.
故.
（II）由（1）得.
所以.
由，得，即.
因为，
所以.
于是，使成立的n的最小值为10.
17.本题主要考查随机事件的概率、古典概型、随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查运用概率与统计的知识与方法分析和解决实际问题的能力。
（I）由题意，参加集训的男\女生各有6名.
参赛学生全从B中抽取（等价于A中学没有学生入选代表队）的概率为
因此，A中学至少1名学生入选的概率为.
（II）根据题意，X的可能取值为1，2，3.
，
，
，
所以X的分布列为：
因此，X的期望为
.
18.本题主要考查简单空间图形的直观图、空间线面平行的判定与性质、空间面面夹角的计算等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力。
（I）点F、G、H的位置如图所示.
（II）连结BD，设O为BD的中点.
因为M、N分别是BC、GH的中点，
所以，且，
，且，
所以，
所以是平行四边形，
从而，
又平面，平面，
所以平面.
（III）方法一，
连结AC，过M作于P.
在正方体中，，
所以.
过P作于K，连结，
所以平面，
从而.
所以是二面角的平面角.
设，则，
在中，.
在中，.
所以.
即二面角的余弦值为.
方法二：
如图，以D为坐标原点，分别以方向为轴的正方想，建立空间直角坐标系
设AD=2，则M（1，2，0），G（0，2，2），E（2，0，2），O（1，1，0），
所以，.
设平面的一个法向量为，
由
取.
在正方体ABCD-EFGH中，DO平面AEGC,
则可取平面AEG的一个法向量为,
所以
故二面角的余弦值为.
19.本题主要考查二倍角公式、诱导公式、余弦定理、简单的三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程、化归与转化等数学思想。
（I）.
（II）由，得.
由（I），有
连结BD，
在中，有，
在中，有，
所以 ，
则，
于是.
连结AC，同理可得
，
于是.
所以
.
20.本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想。
（I）由已知，点在椭圆E上.
因此，
解得.
所以椭圆的方程为.
（II）当直线与轴平行时，设直线与椭圆相交于C、D两点.
如果存在定点Q满足条件，则，即.
所以Q点在y轴上，可设Q点的坐标为.
当直线与轴垂直时，设直线与椭圆相交于M、N两点.
则，
由，有，解得或.
所以，若存在不同于点P的定点Q满足条件，则Q点的坐标只可能为.
下面证明：对任意的直线，均有.
当直线的斜率不存在时，由上可知，结论成立.
当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，A、B的坐标分别为.
联立得.
其判别式，
所以，.
因此.
易知，点B关于y轴对称的点的坐标为.
又，
所以，即三点共线.
所以.
故存在与P不同的定点，使得恒成立.
21.本题主要考查导数的运算、导数的研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化等数学思想。
（I）由已知，函数的定义域为，
，
所以.
当时，在区间上单调递增，
在区间上单调递减；
当时，在区间上单调递增.
（II）由，解得.
令.
则，.
故存在，使得.
令，.
由知，函数在区间上单调递增.
所以.
即.
当时，有，.
由（1）知，函数在区间上单调递增.
故当时，有，从而；
当时，有，从而；
所以，当时，.
综上所述，存在，使得在区间内恒成立，且在内有唯一解.
1.设集合集合，则
A. {X/-1
A. -i B.-3i C.i. D.3i
3. 执行如图所示的程序框图，输出S的值是
A. BC-D
4. 下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是
5.过双曲线的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则
（A） （B） （C）6 （D）
6. 用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有
（A）144个 （B）120个 （C）96个 （D）72个
7. 设四边形ABCD为平行四边形，，.若点M，N满足，，则
（A）20 （B）15 （C）9 （D）6
8. 设a，b都是不等于1的正数，则""是""的
（A） 充要条件 （B）充分不必要条件
（C）必要不充分条件 （D）既不充分也不必要条件
9. 如果函数在区间单调递减，则的最大值为
（A）16 （B）18 （C）25 （D）
10. 设直线l与抛物线相交于A，B两点，与圆相切于点M，且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
二.填空题
11.在的展开式中，含的项的系数是 （用数字作答）。
12. 。
13.某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，k、b为常数）。若该食品在0的保鲜时间设计192小时，在22的保鲜时间是48小时，则该食品在33的保鲜时间是 小时。
14.如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点。设异面直线与AF所成的角为，则的最大值为 。
15.已知函数，（其中）。对于不相等的实数，设，，
现有如下命题：
（1）对于任意不相等的实数，都有；
（2）对于任意的a及任意不相等的实数，都有；
（3）对于任意的a，存在不相等的实数，使得；
（4）对于任意的a，存在不相等的实数，使得。
其中的真命题有 （写出所有真命题的序号）。
三.解答题
16.设数列的前项和，且成等差数列
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列的前n项和，求得成立的n的最小值。
17.某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐3名男生，2名女生，B中学推荐了3名男生，4名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队
（1）求A中学至少有1名学生入选代表队的概率.
（2）某场比赛前。从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X得分布列和数学期望.
18.一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中，设的中点为，的中点为
（1请将字母标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）
（2）证明：直线平面
（3）求二面角的余弦值.
19.如图，A,B,C,D为平面四边形ABCD的四个内角.
（1）证明：
（2）若求
20.如图，椭圆E：的离心率是，过点P（0,1）的动直线与椭圆相交于A，B两点，当直线平行与轴时，直线被椭圆E截得的线段长为.
(1)求椭圆E的方程；
（2）在平面直角坐标系中，是否存在与点P不同的定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。
21.已知函数
（1）设
（2）证明：存在
数学（理工类）试题参考答案
一、 选择题：本题查考基本概念和基本运算。每小题5分，满分50分
1.A 2.C 3.D 4.A 5.D 6.B
7.C 8.B 9.B 10.D
二、 填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分25分
11. -40 12. 13. 24 14. 15. ①④
三、解答题 共6小题，共75分
16.本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列通项公式与前项和等基础知识，考查运算求解能力。
（I）由已知有
即
从而.
又因为成等差数列，即.
所以，解得.
所以，数列是首项为2，公比为2的等比数列.
故.
（II）由（1）得.
所以.
由，得，即.
因为，
所以.
于是，使成立的n的最小值为10.
17.本题主要考查随机事件的概率、古典概型、随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查运用概率与统计的知识与方法分析和解决实际问题的能力。
（I）由题意，参加集训的男\女生各有6名.
参赛学生全从B中抽取（等价于A中学没有学生入选代表队）的概率为
因此，A中学至少1名学生入选的概率为.
（II）根据题意，X的可能取值为1，2，3.
，
，
，
所以X的分布列为：
因此，X的期望为
.
18.本题主要考查简单空间图形的直观图、空间线面平行的判定与性质、空间面面夹角的计算等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力。
（I）点F、G、H的位置如图所示.
（II）连结BD，设O为BD的中点.
因为M、N分别是BC、GH的中点，
所以，且，
，且，
所以，
所以是平行四边形，
从而，
又平面，平面，
所以平面.
（III）方法一，
连结AC，过M作于P.
在正方体中，，
所以.
过P作于K，连结，
所以平面，
从而.
所以是二面角的平面角.
设，则，
在中，.
在中，.
所以.
即二面角的余弦值为.
方法二：
如图，以D为坐标原点，分别以方向为轴的正方想，建立空间直角坐标系
设AD=2，则M（1，2，0），G（0，2，2），E（2，0，2），O（1，1，0），
所以，.
设平面的一个法向量为，
由
取.
在正方体ABCD-EFGH中，DO平面AEGC,
则可取平面AEG的一个法向量为,
所以
故二面角的余弦值为.
19.本题主要考查二倍角公式、诱导公式、余弦定理、简单的三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程、化归与转化等数学思想。
（I）.
（II）由，得.
由（I），有
连结BD，
在中，有，
在中，有，
所以 ，
则，
于是.
连结AC，同理可得
，
于是.
所以
.
20.本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想。
（I）由已知，点在椭圆E上.
因此，
解得.
所以椭圆的方程为.
（II）当直线与轴平行时，设直线与椭圆相交于C、D两点.
如果存在定点Q满足条件，则，即.
所以Q点在y轴上，可设Q点的坐标为.
当直线与轴垂直时，设直线与椭圆相交于M、N两点.
则，
由，有，解得或.
所以，若存在不同于点P的定点Q满足条件，则Q点的坐标只可能为.
下面证明：对任意的直线，均有.
当直线的斜率不存在时，由上可知，结论成立.
当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，A、B的坐标分别为.
联立得.
其判别式，
所以，.
因此.
易知，点B关于y轴对称的点的坐标为.
又，
所以，即三点共线.
所以.
故存在与P不同的定点，使得恒成立.
21.本题主要考查导数的运算、导数的研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化等数学思想。
（I）由已知，函数的定义域为，
，
所以.
当时，在区间上单调递增，
在区间上单调递减；
当时，在区间上单调递增.
（II）由，解得.
令.
则，.
故存在，使得.
令，.
由知，函数在区间上单调递增.
所以.
即.
当时，有，.
由（1）知，函数在区间上单调递增.
故当时，有，从而；
当时，有，从而；
所以，当时，.
综上所述，存在，使得在区间内恒成立，且在内有唯一解.
