2015高考真题——数学文（四川卷）Word版含答案
2023-11-24 11:30:43
2015年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）
数学（文科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1、设集合A＝{x|－1＜x＜2}，集合B＝{x|1＜x＜3}，则A∪B＝
(A){x|－1＜x＜3} (B){x|－1＜x＜1} (C){x|1＜x＜2} (D){x|2＜x＜3}
2、设向量a＝(2,4)与向量b＝(x,6)共线，则实数x＝
(A)2 (B)3 (C)4 (D)6
3、某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是
(A)抽签法 (B)系统抽样法 (C)分层抽样法 (D)随机数法
4、设a,b为正实数，则"a＞b＞1"是"log2a＞log2b＞0"的
(A)充要条件 (B)充分不必要条件
(C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件
5、下列函数中，最小正周期为π的奇函数是
(A)y＝s(2x＋) (B)y＝cos(2x＋)
(C)y＝s2x＋cos2x (D)y＝sx＋cosx
6、执行如图所示的程序框图，输出S的值为
(A)－ (B)
(C)－ (D)
7、过双曲线的右焦点且与x轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则＝
(A) (B)2 (C)6 (D)4
8、某食品保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝etx (e＝2.718...为自然对数的底数，t,b为常数)。若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时 ,则该食品在33℃的保鲜时间是
(A)16小时 (B)20小时 (C)24小时 (D)28小时
9、设实数x,y满足，则xy的最大值为
(A) (B) (C)12 (D)16
10、设直线l与抛物线y2＝4x相较于A,B两点，与圆(x－5)2＋y2＝r2(r＞0)相切于点M，且M为线段AB中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是
(A)(1,3) (B)(1,4) (C)(2,3) (D)(2,4)
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
11、设i是虚数单位，则复数＝_____________.
12、lg0.01+log216＝_____________.
13、已知sα＋2cosα＝0，则2s.a.cosα－cos2α的值是______________.
14、在三棱住ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设点M,N,P分别是AB,BC,B1C1的中点，则三棱锥P－N的体积是______.
15、已知函数f(x)＝2x,g(x)＝x2＋ax(其中a∈R).对于不相等的实数x1,x2，设m＝，n＝，现有如下命题：
(1)对于任意不相等的实数x1,x2，都有m＞0；
(2)对于任意的a及任意不相等的实数x1,x2，都有n＞0；
(3)对于任意的a，存在不相等的实数x1,x2，使得m＝n；
(4)对于任意的a，存在不相等的实数x1,x2，使得m＝－n。
其中真命题有___________________(写出所有真命题的序号)。
三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16、(本小题满分12分)
设数列（n=1,2,3...）的前n项和满足=2-，且，+1，成等差数列。
（I） 求数列的通项公式；
（II） 设数列的前n项和为，求.
17、(本小题满分12分)
一辆小客车上有5各座位，其座位号为1,2,3,4,5，乘客的座位号分别为1,2,3,4,5，他们按照座位号顺序先后上车，乘客因身体原因没有坐自己的1号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就坐：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位。如果自己的座位已有乘客就坐，就在这5个座位的剩余空位中选择座位.
（I）若乘客坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有4种坐法。下表给出其中两种坐法，请填入余下两种坐法（将乘客就坐的座位号填入表中空格处）
（II）若乘客坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐，求乘客坐到5号座位的概率。
18、(本小题满分12分)
一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示。
（I） 请按字母F,G,H标记在正方体相应地顶点处（不需要说明理由）
（II） 判断平面BEG与平面ACH的位置关系。并说明你的结论。
（III） 证明：直线DF平面BEG
19、(本小题满分12分)
已知A、B、C为ABC的内角，tB是关于方程（pR）两个实根.
（I） 求C的大小
（II） 若AB=1，AC=，求p的值
20、(本小题满分13分)
如图，椭圆E：（>>0）的离心率是，点（0,1）在短轴CD上，且
(I) 求椭圆E的方程；
(II) 设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A、B两点。是否存在常数，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由。
21、(本小题满分14分)
已知函数f（x）=，其中a>0.
(I) 设g（x）为f（x）的导函数，讨论g（x）的单调性；
(II) 证明：存在a（0,1），使得f（x）g（x）.
数学（文史类）试题参考答案
一、 选择题
1A 2.B 3.C 4.A 5.B 6.D 7.D 8.C 9.A 10.D
二、 填空题
11.2i 12. 2 13.-1 14. 15.①④
三、 解答题
16. 本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列通项公式与前n项和等基础知识，考查运算求解能力.
(Ⅰ) 由已知Sn＝－a1，有
＝Sn－Sn－1＝－－1(n≥2)
即＝－1(n≥2)
从而a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1，
又因为a1，a2＋1，a3成等差数列
即a1＋a3＝2(a2＋1)
所以a1＋4a1＝2(2a1＋1)，解得a1＝2
所以，数列{}是首项为2，公比为2的等比数列
故＝.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
所以Tn＝
17. 本题主要考查随机事件的概率、古典概型等概念及相关计算，考查运用概率知识与方法分析和解决问题的能力，考查推理论证能力、应用意识.
(I)余下两种坐法如下表所示
乘客 P1 P2 P3 P4 P5 座位号 3 2 4 1 5 3 2 5 4 1
(II)若乘客P1做到了2号座位，其他乘客按规则就坐
则所有可能坐法可用下表表示为
乘客 P1 P2 P3 P4 P5 座位号 2 1 3 4 5 2 3 1 4 5 2 3 4 1 5 2 3 4 5 1 2 3 5 4 1 2 4 3 1 5 2 4 3 5 1 2 5 3 4 1 于是，所有可能的坐法共8种
设"乘客P5坐到5号座位"为事件A，则事件A中的基本事件的个数为4
所以P(A)＝
答：乘客P5坐到5号座位的概率为.
18. 本题主要考查简单空间图形的直观图、空间线面平行与垂直的判定与性质等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力.
(I)点F，G，H的位置如图所示
(II)平面BEG∥平面ACH.证明如下
因为ABCD－EFGH为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG
又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH
于是BCEH为平行四边形
所以BE∥CH
又CH平面ACH，BE平面ACH，
所以BE∥平面ACH
同理BG∥平面ACH
又BE∩BG＝B
所以平面BEG∥平面ACH
(Ⅲ)连接FH
因为ABCD－EFGH为正方体，所以DH⊥平面EFGH
因为EG平面EFGH，所以DH⊥EG
又EG⊥FH，EG∩FH＝O，所以EG⊥平面BFHD
又DF平面BFDH，所以DF⊥EG
同理DF⊥BG
又EG∩BG＝G
所以DF⊥平面BEG.
19.
本题主要考查和角公式、诱导公式、正弦定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程、化归与转化等数学思想.
(I)由已知，方程x2＋px－p＋1＝0的判别式
△＝(p)2－4(－p＋1)＝3p2＋4p－4≥0
所以p≤－2或p≥
由韦达定理，有tA＋tB＝－p，tAtB＝1－p
于是1－tAtB＝1－(1－p)＝p≠0
从而t(A＋B)＝
所以tC＝－t(A＋B)＝
所以C＝60°
(II)由正弦定理，得
sB＝
解得B＝45°或B＝135°(舍去)
于是A＝180°－B－C＝75°
则tA＝t75°＝t(45°＋30°)＝
所以p＝－(tA＋tB)＝－(2＋＋1)＝－1－
20. 本题主要考查椭圆的标准方程、直线方程等基础知识，考查推理论证呢过能留、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想.
(I)由已知，点C，D的坐标分别为(0，－b)，(0，b)
又点P的坐标为(0，1)，且＝－1
于是，解得a＝2，b＝
所以椭圆E方程为.
(II)当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋1
A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)
联立，得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0
其判别式△＝(4k)2＋8(2k2＋1)＞0
所以
从而＝x1x2＋y1y2＋λ[x1x2＋(y1－1)(y2－1)]
＝(1＋λ)(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1
＝
＝－
所以，当λ＝1时，－＝－3
此时，＝－3为定值
当直线AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD
此时＝－2－1＝－3
故存在常数λ＝－1，使得为定值－3.
21. 本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、化归与转化等数学思想.
(I)由已知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)
g(x)＝f '(x)＝2(x－1－x－a)
所以g'(x)＝2－
当x∈(0，1)时，g'(x)＜0，g(x)单调递减
当x∈(1，＋∞)时，g'(x)＞)，g(x)单调递增
(II)由f '(x)＝2(x－1－x－a)＝0，解得a＝x－1－x
令Φ(x)＝－2xx＋x2－2x(x－1－x)＋(x－1－x)2＝(1＋x)2－2xx
则Φ(1)＝1＞0，Φ(e)＝2(2－e)＜0
于是存在x0∈(1，e)，使得Φ(x0)＝0
令a0＝x0－1－x0＝u(x0)，其中u(x)＝x－1－x(x≥1)
由u'(x)＝1－≥0知，函数u(x)在区间(1，＋∞)上单调递增
故0＝u(1)＜a0＝u(x0)＜u(e)＝e－2＜1
即a0∈(0，1)
当a＝a0时，有f '(x0)＝0，f(x0)＝Φ(x0)＝0
再由(I)知，f '(x)在区间(1，＋∞)上单调递增
当x∈(1，x0)时，f '(x)＜0，从而f(x)＞f(x0)＝0
当x∈(x0，＋∞)时，f '(x)＞0，从而f(x)＞f(x0)＝0
又当x∈(0，1]时，f(x)＝(x－a0)2－2xx＞0
故x∈(0，＋∞)时，f(x)≥0
综上所述，存在a∈(0，1)，使得f(x)≥0恒成立，且f(x)＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解.
数学（文科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1、设集合A＝{x|－1＜x＜2}，集合B＝{x|1＜x＜3}，则A∪B＝
(A){x|－1＜x＜3} (B){x|－1＜x＜1} (C){x|1＜x＜2} (D){x|2＜x＜3}
2、设向量a＝(2,4)与向量b＝(x,6)共线，则实数x＝
(A)2 (B)3 (C)4 (D)6
3、某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是
(A)抽签法 (B)系统抽样法 (C)分层抽样法 (D)随机数法
4、设a,b为正实数，则"a＞b＞1"是"log2a＞log2b＞0"的
(A)充要条件 (B)充分不必要条件
(C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件
5、下列函数中，最小正周期为π的奇函数是
(A)y＝s(2x＋) (B)y＝cos(2x＋)
(C)y＝s2x＋cos2x (D)y＝sx＋cosx
6、执行如图所示的程序框图，输出S的值为
(A)－ (B)
(C)－ (D)
7、过双曲线的右焦点且与x轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则＝
(A) (B)2 (C)6 (D)4
8、某食品保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝etx (e＝2.718...为自然对数的底数，t,b为常数)。若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时 ,则该食品在33℃的保鲜时间是
(A)16小时 (B)20小时 (C)24小时 (D)28小时
9、设实数x,y满足，则xy的最大值为
(A) (B) (C)12 (D)16
10、设直线l与抛物线y2＝4x相较于A,B两点，与圆(x－5)2＋y2＝r2(r＞0)相切于点M，且M为线段AB中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是
(A)(1,3) (B)(1,4) (C)(2,3) (D)(2,4)
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
11、设i是虚数单位，则复数＝_____________.
12、lg0.01+log216＝_____________.
13、已知sα＋2cosα＝0，则2s.a.cosα－cos2α的值是______________.
14、在三棱住ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设点M,N,P分别是AB,BC,B1C1的中点，则三棱锥P－N的体积是______.
15、已知函数f(x)＝2x,g(x)＝x2＋ax(其中a∈R).对于不相等的实数x1,x2，设m＝，n＝，现有如下命题：
(1)对于任意不相等的实数x1,x2，都有m＞0；
(2)对于任意的a及任意不相等的实数x1,x2，都有n＞0；
(3)对于任意的a，存在不相等的实数x1,x2，使得m＝n；
(4)对于任意的a，存在不相等的实数x1,x2，使得m＝－n。
其中真命题有___________________(写出所有真命题的序号)。
三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16、(本小题满分12分)
设数列（n=1,2,3...）的前n项和满足=2-，且，+1，成等差数列。
（I） 求数列的通项公式；
（II） 设数列的前n项和为，求.
17、(本小题满分12分)
一辆小客车上有5各座位，其座位号为1,2,3,4,5，乘客的座位号分别为1,2,3,4,5，他们按照座位号顺序先后上车，乘客因身体原因没有坐自己的1号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就坐：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位。如果自己的座位已有乘客就坐，就在这5个座位的剩余空位中选择座位.
（I）若乘客坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有4种坐法。下表给出其中两种坐法，请填入余下两种坐法（将乘客就坐的座位号填入表中空格处）
（II）若乘客坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐，求乘客坐到5号座位的概率。
18、(本小题满分12分)
一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示。
（I） 请按字母F,G,H标记在正方体相应地顶点处（不需要说明理由）
（II） 判断平面BEG与平面ACH的位置关系。并说明你的结论。
（III） 证明：直线DF平面BEG
19、(本小题满分12分)
已知A、B、C为ABC的内角，tB是关于方程（pR）两个实根.
（I） 求C的大小
（II） 若AB=1，AC=，求p的值
20、(本小题满分13分)
如图，椭圆E：（>>0）的离心率是，点（0,1）在短轴CD上，且
(I) 求椭圆E的方程；
(II) 设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A、B两点。是否存在常数，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由。
21、(本小题满分14分)
已知函数f（x）=，其中a>0.
(I) 设g（x）为f（x）的导函数，讨论g（x）的单调性；
(II) 证明：存在a（0,1），使得f（x）g（x）.
数学（文史类）试题参考答案
一、 选择题
1A 2.B 3.C 4.A 5.B 6.D 7.D 8.C 9.A 10.D
二、 填空题
11.2i 12. 2 13.-1 14. 15.①④
三、 解答题
16. 本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列通项公式与前n项和等基础知识，考查运算求解能力.
(Ⅰ) 由已知Sn＝－a1，有
＝Sn－Sn－1＝－－1(n≥2)
即＝－1(n≥2)
从而a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1，
又因为a1，a2＋1，a3成等差数列
即a1＋a3＝2(a2＋1)
所以a1＋4a1＝2(2a1＋1)，解得a1＝2
所以，数列{}是首项为2，公比为2的等比数列
故＝.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
所以Tn＝
17. 本题主要考查随机事件的概率、古典概型等概念及相关计算，考查运用概率知识与方法分析和解决问题的能力，考查推理论证能力、应用意识.
(I)余下两种坐法如下表所示
乘客 P1 P2 P3 P4 P5 座位号 3 2 4 1 5 3 2 5 4 1
(II)若乘客P1做到了2号座位，其他乘客按规则就坐
则所有可能坐法可用下表表示为
乘客 P1 P2 P3 P4 P5 座位号 2 1 3 4 5 2 3 1 4 5 2 3 4 1 5 2 3 4 5 1 2 3 5 4 1 2 4 3 1 5 2 4 3 5 1 2 5 3 4 1 于是，所有可能的坐法共8种
设"乘客P5坐到5号座位"为事件A，则事件A中的基本事件的个数为4
所以P(A)＝
答：乘客P5坐到5号座位的概率为.
18. 本题主要考查简单空间图形的直观图、空间线面平行与垂直的判定与性质等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力.
(I)点F，G，H的位置如图所示
(II)平面BEG∥平面ACH.证明如下
因为ABCD－EFGH为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG
又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH
于是BCEH为平行四边形
所以BE∥CH
又CH平面ACH，BE平面ACH，
所以BE∥平面ACH
同理BG∥平面ACH
又BE∩BG＝B
所以平面BEG∥平面ACH
(Ⅲ)连接FH
因为ABCD－EFGH为正方体，所以DH⊥平面EFGH
因为EG平面EFGH，所以DH⊥EG
又EG⊥FH，EG∩FH＝O，所以EG⊥平面BFHD
又DF平面BFDH，所以DF⊥EG
同理DF⊥BG
又EG∩BG＝G
所以DF⊥平面BEG.
19.
本题主要考查和角公式、诱导公式、正弦定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程、化归与转化等数学思想.
(I)由已知，方程x2＋px－p＋1＝0的判别式
△＝(p)2－4(－p＋1)＝3p2＋4p－4≥0
所以p≤－2或p≥
由韦达定理，有tA＋tB＝－p，tAtB＝1－p
于是1－tAtB＝1－(1－p)＝p≠0
从而t(A＋B)＝
所以tC＝－t(A＋B)＝
所以C＝60°
(II)由正弦定理，得
sB＝
解得B＝45°或B＝135°(舍去)
于是A＝180°－B－C＝75°
则tA＝t75°＝t(45°＋30°)＝
所以p＝－(tA＋tB)＝－(2＋＋1)＝－1－
20. 本题主要考查椭圆的标准方程、直线方程等基础知识，考查推理论证呢过能留、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想.
(I)由已知，点C，D的坐标分别为(0，－b)，(0，b)
又点P的坐标为(0，1)，且＝－1
于是，解得a＝2，b＝
所以椭圆E方程为.
(II)当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋1
A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)
联立，得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0
其判别式△＝(4k)2＋8(2k2＋1)＞0
所以
从而＝x1x2＋y1y2＋λ[x1x2＋(y1－1)(y2－1)]
＝(1＋λ)(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1
＝
＝－
所以，当λ＝1时，－＝－3
此时，＝－3为定值
当直线AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD
此时＝－2－1＝－3
故存在常数λ＝－1，使得为定值－3.
21. 本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、化归与转化等数学思想.
(I)由已知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)
g(x)＝f '(x)＝2(x－1－x－a)
所以g'(x)＝2－
当x∈(0，1)时，g'(x)＜0，g(x)单调递减
当x∈(1，＋∞)时，g'(x)＞)，g(x)单调递增
(II)由f '(x)＝2(x－1－x－a)＝0，解得a＝x－1－x
令Φ(x)＝－2xx＋x2－2x(x－1－x)＋(x－1－x)2＝(1＋x)2－2xx
则Φ(1)＝1＞0，Φ(e)＝2(2－e)＜0
于是存在x0∈(1，e)，使得Φ(x0)＝0
令a0＝x0－1－x0＝u(x0)，其中u(x)＝x－1－x(x≥1)
由u'(x)＝1－≥0知，函数u(x)在区间(1，＋∞)上单调递增
故0＝u(1)＜a0＝u(x0)＜u(e)＝e－2＜1
即a0∈(0，1)
当a＝a0时，有f '(x0)＝0，f(x0)＝Φ(x0)＝0
再由(I)知，f '(x)在区间(1，＋∞)上单调递增
当x∈(1，x0)时，f '(x)＜0，从而f(x)＞f(x0)＝0
当x∈(x0，＋∞)时，f '(x)＞0，从而f(x)＞f(x0)＝0
又当x∈(0，1]时，f(x)＝(x－a0)2－2xx＞0
故x∈(0，＋∞)时，f(x)≥0
综上所述，存在a∈(0，1)，使得f(x)≥0恒成立，且f(x)＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解.
