2015高考真题——数学（江苏卷）Word版含答案
2023-11-22 08:14:28
数学Ⅰ试题
参考公式
圆柱的体积公式：=Sh，其中S是圆柱的底面积，h为高。
圆锥的体积公式： Sh，其中S是圆锥的底面积，h为高。
一、 填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案写在答题卡相应位置上。
1. 已知集合，，则集合中元素的个数为_______.
2. 已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________.
3. 设复数z满足（i是虚数单位），则z的模为_______.
4. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为________.
5. 袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________.
6. 已知向量=（2,1），=（1，-2），若=（9，-8）（m，nR），则的值为______.
7. 不等式的解集为________.
8.已知，，则的值为_______.
9.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为 。
10.在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 。
11.数列满足，且（），则数列前10项的和为 。
12.在平面直角坐标系中，为双曲线右支上的一个动点。若点到直线的距离大于c恒成立，则是实数c的最大值为 。
13.已知函数，，则方程实根的个数为 。
14.设向量，则的值为 。
二、解答题 （本大题共6小题，共90分.请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.（本小题满分14分）
在中，已知
(1)求BC的长；
（2）求的值。
16.（本小题满分14分）
如图，在直三棱柱中，已知.设的中点为D，
求证：（1）
(2)
17. （本小题满分14分）
某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到的距离分别为5千米和40千米，点N到的距离分别为20千米和2.5千米，以所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数（其中a，b为常数）模型.
（I）求a，b的值；
（II）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.
①请写出公路l长度的函数解析式，并写出其定义域；
②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度.
18. （本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3.
（1） 求椭圆的标准方程；
（2） 过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程.
19.（本小题满分16分）
已知函数。
（1）试讨论的单调性；
（2）若（实数c是与a无关的常数），当函数有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是，求c的值。
20.设是各项为正数且公差为d的等差数列
（1）证明：依次构成等比数列；
（2）是否存在，使得依次构成等比数列？并说明理由；
（3）是否存在及正整数，使得依次构成等比数列？并说明理由。
数学Ⅰ试题参考答案
一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法.每小题5分，共计70分.
1.2 2.6 3. 4.7 5. 6.-3 7. 8.3 9. 10. 11. 12. 13.4 14.
二、解答题
15.本小题主要考查余弦定理、正弦定理，同角三角函数关系与二倍角公式，考查运算求解能力.满分14分。
解：
（1）由余弦定理知，，
所以．
（2）由正弦定理知，，所以．
因为，所以为锐角，则．
因此.
16.本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分。
证明：（1）由题意知，为的中点，
又为的中点，因此．
又因为平面，平面，
所以平面．
（2）因为棱柱是直三棱柱，
所以平面．
因为平面，所以．
又因为，平面，平面，，
所以平面．
又因为平面，所以．
因为，所以矩形是正方形，因此．
因为，平面，，所以平面．
又因为平面，所以．
17. 本小题主要考查函数的概念、导数的几何意义及其应用，考查运用数学模型及数学知识分析和解决实际问题的能力.满分14分.
解：（1）由题意知，点，的坐标分别为，．
将其分别代入，得，
解得．
（2）①由（1）知，（），则点的坐标为，
设在点处的切线交，轴分别于，点，，
则的方程为，由此得，．
故，．
②设，则．令，解得．
当时，，是减函数；
当时，，是增函数．
从而，当时，函数有极小值，也是最小值，所以，
此时．
答：当时，公路的长度最短，最短长度为千米．
18.本小题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线的方程、直线与直线、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查分析问题及运算求解能力.满分16分.
（1）由题意，得且，
解得，，则，
所以椭圆的标准方程为．
（2）当轴时，，又，不合题意．
当与轴不垂直时，设直线的方程为，，，
将的方程代入椭圆方程，得，
则，的坐标为，且
．
若，则线段的垂直平分线为轴，与左准线平行，不合题意．
从而，故直线的方程为，
则点的坐标为，从而．
因为，所以，解得．
此时直线方程为或．
19.本小题主要考查利用导数研究初等函数的单调性、极值及零点问题，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力.满分16分。
解：（1），令，解得，．
当时，因为（），所以函数在上单调递增；
当时，时，，时，，
所以函数在，上单调递增，在上单调递减；
当时，时，，时，，
所以函数在，上单调递增，在上单调递减．
（2）由（1）知，函数的两个极值为，，则函数有三个
零点等价于，从而或．
又，所以当时，或当时，．
设，因为函数有三个零点时，的取值范围恰好是
，则在上，且在上均恒成立，
从而，且，因此．
此时，，
因函数有三个零点，则有两个异于的不等实根，
所以，且，
解得．
综上．
20.本小题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质，函数与方程等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识研究与解决问题的能力.满分16分.
解：（1）证明：因为（，，）是同一个常数，
所以，，，依次构成等比数列．
（2）令，则，，，分别为，，，（，，）．
假设存在，，使得，，，依次构成等比数列，
则，且．
令，则，且（，），
化简得（），且．将代入（）式，
，则．
显然不是上面方程得解，矛盾，所以假设不成立，
因此不存在，，使得，，，依次构成等比数列．
（3）假设存在，及正整数，，使得，，，依次构成等比数列，
则，且．
分别在两个等式的两边同除以及，并令（，），
则，且．
将上述两个等式两边取对数，得，
且．
化简得，
且．
再将这两式相除，化简得（）．
令，
则．
令，
则．
令，则．
令，则．
由，，
知，，，在和上均单调．
故只有唯一零点，即方程（）只有唯一解，故假设不成立．
所以不存在，及正整数，，使得，，，依次构成等比数列．
数学Ⅱ（附加题）
21、 （选做题）本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
A、 选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）
如图，在中，，的外接圆O的弦交于点D
求证：
B、选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）
已知，向量是矩阵的属于特征值的一个特征向量，求矩阵以及它的另一个特征值。
C.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
已知圆C的极坐标方程为，求圆C的半径.
D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）
解不等式
22.如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，,
(1)求平面与平面所成二面角的余弦值；
（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成角最小时，求线段BQ的长
23.（本小题满分10分）
已知集合，设，令表示集合所含元素的个数.
（1）写出的值；
（2）当时，写出的表达式，并用数学归纳法证明。
21.[选做题]
A.（选修4-1：几何证明选讲）
本小题主要考查圆的基本性质和相似三角形等基础知识，考查推理论证能力.满分10分。
证明：因为，所以．
又因为，所以，
又为公共角，可知∽．
B[选修4-2：矩阵与变换]
本小题主要考查矩阵的特征值与特征向量的概念等基础知识，考查运算求解能力.满分10分。
解：由已知，得，即，
则，即，所以矩阵．
从而矩阵的特征多项式，所以矩阵的另一个特征值为．
C[选修4-4：坐标系与参数方程]
本小题主要考查圆的极坐标方程、极坐标与直角坐标的互化等知识，考查运算求解能力.满分10分。
解：以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点，以极轴为轴的正半轴，建立直角坐标系．
圆的极坐标方程为，
化简，得．
则圆的直角坐标方程为，
即，所以圆的半径为．
D[选修4-5：不等式选讲]
本小题主要考查含绝对值不等式的解法，考查分类讨论的能力。满分10分。
解：原不等式可化为或．
解得或．
综上，原不等式的解集是．
22.【必做题】本小题主要考查空间向量、二面角和异面直线所成角等基础知识，考查运用空间向量解决问题的能力.满分10分。
解：以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，
则各点的坐标为，，，．
（1）因为平面，所以是平面的一个法向量，．
因为，．
设平面的法向量为，则，，即．
令，解得，．
所以是平面的一个法向量．
从而，所以平面与平面所成二面角的余弦值为．
（2）因为，设（），
又，则，又，
从而．
设，，则．
当且仅当，即时，的最大值为．
因为在上是减函数，此时直线与所成角取得最小值．
又因为，所以．
23.【必做题】本题主要考查计数原理、数学归纳法等基础知识，考查探究能力及运用数学归纳法的推理论证能力，满分10分。
解：（1）．
（2）当时，（）．
下面用数学归纳法证明：
①当时，，结论成立；
②假设（）时结论成立，那么时，在的基础上新增加的元素在，，中产生，分以下情形讨论：
1）若，则，此时有
，结论成立；
2）若，则，此时有
，结论成立；
3）若，则，此时有
，结论成立；
4）若，则，此时有
，结论成立；
5）若，则，此时有
，结论成立；
6）若，则，此时有
，结论成立．
综上所述，结论对满足的自然数均成立．
参考公式
圆柱的体积公式：=Sh，其中S是圆柱的底面积，h为高。
圆锥的体积公式： Sh，其中S是圆锥的底面积，h为高。
一、 填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案写在答题卡相应位置上。
1. 已知集合，，则集合中元素的个数为_______.
2. 已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________.
3. 设复数z满足（i是虚数单位），则z的模为_______.
4. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为________.
5. 袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________.
6. 已知向量=（2,1），=（1，-2），若=（9，-8）（m，nR），则的值为______.
7. 不等式的解集为________.
8.已知，，则的值为_______.
9.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为 。
10.在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 。
11.数列满足，且（），则数列前10项的和为 。
12.在平面直角坐标系中，为双曲线右支上的一个动点。若点到直线的距离大于c恒成立，则是实数c的最大值为 。
13.已知函数，，则方程实根的个数为 。
14.设向量，则的值为 。
二、解答题 （本大题共6小题，共90分.请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.（本小题满分14分）
在中，已知
(1)求BC的长；
（2）求的值。
16.（本小题满分14分）
如图，在直三棱柱中，已知.设的中点为D，
求证：（1）
(2)
17. （本小题满分14分）
某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到的距离分别为5千米和40千米，点N到的距离分别为20千米和2.5千米，以所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数（其中a，b为常数）模型.
（I）求a，b的值；
（II）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.
①请写出公路l长度的函数解析式，并写出其定义域；
②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度.
18. （本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3.
（1） 求椭圆的标准方程；
（2） 过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程.
19.（本小题满分16分）
已知函数。
（1）试讨论的单调性；
（2）若（实数c是与a无关的常数），当函数有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是，求c的值。
20.设是各项为正数且公差为d的等差数列
（1）证明：依次构成等比数列；
（2）是否存在，使得依次构成等比数列？并说明理由；
（3）是否存在及正整数，使得依次构成等比数列？并说明理由。
数学Ⅰ试题参考答案
一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法.每小题5分，共计70分.
1.2 2.6 3. 4.7 5. 6.-3 7. 8.3 9. 10. 11. 12. 13.4 14.
二、解答题
15.本小题主要考查余弦定理、正弦定理，同角三角函数关系与二倍角公式，考查运算求解能力.满分14分。
解：
（1）由余弦定理知，，
所以．
（2）由正弦定理知，，所以．
因为，所以为锐角，则．
因此.
16.本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分。
证明：（1）由题意知，为的中点，
又为的中点，因此．
又因为平面，平面，
所以平面．
（2）因为棱柱是直三棱柱，
所以平面．
因为平面，所以．
又因为，平面，平面，，
所以平面．
又因为平面，所以．
因为，所以矩形是正方形，因此．
因为，平面，，所以平面．
又因为平面，所以．
17. 本小题主要考查函数的概念、导数的几何意义及其应用，考查运用数学模型及数学知识分析和解决实际问题的能力.满分14分.
解：（1）由题意知，点，的坐标分别为，．
将其分别代入，得，
解得．
（2）①由（1）知，（），则点的坐标为，
设在点处的切线交，轴分别于，点，，
则的方程为，由此得，．
故，．
②设，则．令，解得．
当时，，是减函数；
当时，，是增函数．
从而，当时，函数有极小值，也是最小值，所以，
此时．
答：当时，公路的长度最短，最短长度为千米．
18.本小题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线的方程、直线与直线、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查分析问题及运算求解能力.满分16分.
（1）由题意，得且，
解得，，则，
所以椭圆的标准方程为．
（2）当轴时，，又，不合题意．
当与轴不垂直时，设直线的方程为，，，
将的方程代入椭圆方程，得，
则，的坐标为，且
．
若，则线段的垂直平分线为轴，与左准线平行，不合题意．
从而，故直线的方程为，
则点的坐标为，从而．
因为，所以，解得．
此时直线方程为或．
19.本小题主要考查利用导数研究初等函数的单调性、极值及零点问题，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力.满分16分。
解：（1），令，解得，．
当时，因为（），所以函数在上单调递增；
当时，时，，时，，
所以函数在，上单调递增，在上单调递减；
当时，时，，时，，
所以函数在，上单调递增，在上单调递减．
（2）由（1）知，函数的两个极值为，，则函数有三个
零点等价于，从而或．
又，所以当时，或当时，．
设，因为函数有三个零点时，的取值范围恰好是
，则在上，且在上均恒成立，
从而，且，因此．
此时，，
因函数有三个零点，则有两个异于的不等实根，
所以，且，
解得．
综上．
20.本小题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质，函数与方程等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识研究与解决问题的能力.满分16分.
解：（1）证明：因为（，，）是同一个常数，
所以，，，依次构成等比数列．
（2）令，则，，，分别为，，，（，，）．
假设存在，，使得，，，依次构成等比数列，
则，且．
令，则，且（，），
化简得（），且．将代入（）式，
，则．
显然不是上面方程得解，矛盾，所以假设不成立，
因此不存在，，使得，，，依次构成等比数列．
（3）假设存在，及正整数，，使得，，，依次构成等比数列，
则，且．
分别在两个等式的两边同除以及，并令（，），
则，且．
将上述两个等式两边取对数，得，
且．
化简得，
且．
再将这两式相除，化简得（）．
令，
则．
令，
则．
令，则．
令，则．
由，，
知，，，在和上均单调．
故只有唯一零点，即方程（）只有唯一解，故假设不成立．
所以不存在，及正整数，，使得，，，依次构成等比数列．
数学Ⅱ（附加题）
21、 （选做题）本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
A、 选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）
如图，在中，，的外接圆O的弦交于点D
求证：
B、选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）
已知，向量是矩阵的属于特征值的一个特征向量，求矩阵以及它的另一个特征值。
C.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
已知圆C的极坐标方程为，求圆C的半径.
D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）
解不等式
22.如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，,
(1)求平面与平面所成二面角的余弦值；
（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成角最小时，求线段BQ的长
23.（本小题满分10分）
已知集合，设，令表示集合所含元素的个数.
（1）写出的值；
（2）当时，写出的表达式，并用数学归纳法证明。
21.[选做题]
A.（选修4-1：几何证明选讲）
本小题主要考查圆的基本性质和相似三角形等基础知识，考查推理论证能力.满分10分。
证明：因为，所以．
又因为，所以，
又为公共角，可知∽．
B[选修4-2：矩阵与变换]
本小题主要考查矩阵的特征值与特征向量的概念等基础知识，考查运算求解能力.满分10分。
解：由已知，得，即，
则，即，所以矩阵．
从而矩阵的特征多项式，所以矩阵的另一个特征值为．
C[选修4-4：坐标系与参数方程]
本小题主要考查圆的极坐标方程、极坐标与直角坐标的互化等知识，考查运算求解能力.满分10分。
解：以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点，以极轴为轴的正半轴，建立直角坐标系．
圆的极坐标方程为，
化简，得．
则圆的直角坐标方程为，
即，所以圆的半径为．
D[选修4-5：不等式选讲]
本小题主要考查含绝对值不等式的解法，考查分类讨论的能力。满分10分。
解：原不等式可化为或．
解得或．
综上，原不等式的解集是．
22.【必做题】本小题主要考查空间向量、二面角和异面直线所成角等基础知识，考查运用空间向量解决问题的能力.满分10分。
解：以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，
则各点的坐标为，，，．
（1）因为平面，所以是平面的一个法向量，．
因为，．
设平面的法向量为，则，，即．
令，解得，．
所以是平面的一个法向量．
从而，所以平面与平面所成二面角的余弦值为．
（2）因为，设（），
又，则，又，
从而．
设，，则．
当且仅当，即时，的最大值为．
因为在上是减函数，此时直线与所成角取得最小值．
又因为，所以．
23.【必做题】本题主要考查计数原理、数学归纳法等基础知识，考查探究能力及运用数学归纳法的推理论证能力，满分10分。
解：（1）．
（2）当时，（）．
下面用数学归纳法证明：
①当时，，结论成立；
②假设（）时结论成立，那么时，在的基础上新增加的元素在，，中产生，分以下情形讨论：
1）若，则，此时有
，结论成立；
2）若，则，此时有
，结论成立；
3）若，则，此时有
，结论成立；
4）若，则，此时有
，结论成立；
5）若，则，此时有
，结论成立；
6）若，则，此时有
，结论成立．
综上所述，结论对满足的自然数均成立．
