2015高考真题——数学文（广东卷）Word版含答案
2023-11-22 00:00:02
绝密★启用前 试卷类型：B
2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数学（文科）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2、已知是虚数单位，则复数（ ）
A． B． C． D．
3、下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
4、若变量，满足约束条件，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
5、设的内角，，的对边分别为，，．若，，，且，则（ ）
A． B． C． D．
6、若直线和是异面直线，在平面内，在平面内，是平面与平面的交线，则下列命题正确的是（ ）
A．至少与，中的一条相交 B．与，都相交
C．至多与，中的一条相交 D．与，都不相交
7、已知件产品中有件次品，其余为合格品．现从这件产品中任取件，恰有一件次品的概率为（ ）
A． B． C． D．
8、已知椭圆（）的左焦点为，则（ ）
A． B． C． D．
9、在平面直角坐标系中，已知四边形是平行四边形，，，则（ ）
A． B． C． D．
10、若集合，
，用表示集合中的元素个数，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．）
（一）必做题（11~13题）
11、不等式的解集为 ．（用区间表示）
12、已知样本数据，，，的均值，则样本数据，，，的均值为 ．
13、若三个正数，，成等比数列，其中，，则 ．
（二）选做题（14、15题，考生只能从中选作一题）
14、（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数），则与交点的直角坐标为 ．
15、（几何证明选讲选做题）如图，为圆的直径，为的延长线上一点，过作圆的切线，切点为，过作直线的垂线，垂足为．若，，则 ．
三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）
16、（本小题满分12分）已知．
求的值；
求的值．
17、（本小题满分12分）某城市户居民的月平均用电量（单位：度），以，，，，，，分组的频率分布直方图如图．
求直方图中的值；
求月平均用电量的众数和中位数；
在月平均用电量为，，，的四组用户中，用分层抽样的方法抽取户居民，则月平均用电量在的用户中应抽取多少户？
18、（本小题满分14分）如图，三角形所在的平面与长方形所在的平面垂直，，，．
证明：平面；
证明：；
求点到平面的距离．
19、（本小题满分14分）设数列的前项和为，．已知，，，且当时，．
求的值；
证明：为等比数列；
求数列的通项公式．
20、（本小题满分14分）已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点，．
求圆的圆心坐标；
求线段的中点的轨迹的方程；
是否存在实数，使得直线与曲线只有一个交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．
21、（本小题满分14分）设为实数，函数．
若，求的取值范围；
讨论的单调性；
当时，讨论在区间内的零点个数．
2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数学（文科）参考答案
一、 选择题
1.C 2.D 3.A 4.C 5.B
6.A 7.B 8.C 9.D 10.D
二、填空题
11. 【答案】
12. 【答案】
13. 【答案】
14. 【答案】
15. 【答案】
16. 【答案】（1）；（2）．
17. 【答案】（1）；（2），；（3）．
18. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．
（1）因为四边形是长方形，所以，因为平面，平面，所以平面
（2）因为四边形是长方形，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以
（3）取的中点，连结和，因为，所以，在中，
，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，由（2）知：平面，由（1）知：，所以平面，因为平面，所以，设点到平面的距离为，因为，所以，即，所以点到平面的距离是
19. 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）．
(1)当n=2时，4
解得：
（2）因为即×，所以数列
（3）由知：数列是以为首项，公比为的等比数列，所以
即，所以数列是以为首项，公差为的等差数列，所以，即，所以数列的通项公式是
20. 【答案】（1）；（2）；（3）存在，或．
（1） 圆
（2） 设线段AB的中点M由圆的性质可得垂直于直线l
设直线l的方程为
所以
因为动直线l与圆相交，所以<2，所以<；
所以<<>或<0,又因为0<所以
<.
所以满足即
（3） 由题意知直线l表示过定点T斜率为k的直线
结合图形，
按逆时针方向运动到的圆弧，根据对称性，只需讨论在x轴对称下方的圆弧。设
P则而当直线L与轨迹C相切时，，解得
，在这里暂取，因为<，所以
结合图形，可得对于X轴对称下方的圆弧，当或时，直线L与X轴对称下方的圆弧有且只有一个交点，根据对称性可知或.
综上所述：当或时，直线与曲线只有一交点.
21. 【答案】
（1）；
（2）在上单调递增，在上单调递减；（3）当时，
有一个零点x=2；当，与有两个零点．
（１）因为所以
当显然成立；当>０时，则有２≤１，所以≤，所以
０<≤综上所述，的取值范围≤
（２）
对于其对称轴为<，开口向上
所以在上单调递增
对于其对称轴为>，开口向上
所以在上单调递减
综上所述：在上单调递增，在上单调递减；
（3）由（2）得在上单调递增，在上单调递减，所以.
(i)当时，，
令=0，即（x>0）.
因为在上单调递减，所以
而在上单调递增，，所以与在无交点.
当时，，即，所以，所以，因为，所以，即当时，有一个零点x=2.
(ii)当时，，
当时， ，，而在上单调递增，
当时，.下面比较与的大小
因为
所以
结合图像不难得当，与有两个交点.
综上，当时，有一个零点x=2；当，与有两个零点.
2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数学（文科）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2、已知是虚数单位，则复数（ ）
A． B． C． D．
3、下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
4、若变量，满足约束条件，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
5、设的内角，，的对边分别为，，．若，，，且，则（ ）
A． B． C． D．
6、若直线和是异面直线，在平面内，在平面内，是平面与平面的交线，则下列命题正确的是（ ）
A．至少与，中的一条相交 B．与，都相交
C．至多与，中的一条相交 D．与，都不相交
7、已知件产品中有件次品，其余为合格品．现从这件产品中任取件，恰有一件次品的概率为（ ）
A． B． C． D．
8、已知椭圆（）的左焦点为，则（ ）
A． B． C． D．
9、在平面直角坐标系中，已知四边形是平行四边形，，，则（ ）
A． B． C． D．
10、若集合，
，用表示集合中的元素个数，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．）
（一）必做题（11~13题）
11、不等式的解集为 ．（用区间表示）
12、已知样本数据，，，的均值，则样本数据，，，的均值为 ．
13、若三个正数，，成等比数列，其中，，则 ．
（二）选做题（14、15题，考生只能从中选作一题）
14、（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数），则与交点的直角坐标为 ．
15、（几何证明选讲选做题）如图，为圆的直径，为的延长线上一点，过作圆的切线，切点为，过作直线的垂线，垂足为．若，，则 ．
三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）
16、（本小题满分12分）已知．
求的值；
求的值．
17、（本小题满分12分）某城市户居民的月平均用电量（单位：度），以，，，，，，分组的频率分布直方图如图．
求直方图中的值；
求月平均用电量的众数和中位数；
在月平均用电量为，，，的四组用户中，用分层抽样的方法抽取户居民，则月平均用电量在的用户中应抽取多少户？
18、（本小题满分14分）如图，三角形所在的平面与长方形所在的平面垂直，，，．
证明：平面；
证明：；
求点到平面的距离．
19、（本小题满分14分）设数列的前项和为，．已知，，，且当时，．
求的值；
证明：为等比数列；
求数列的通项公式．
20、（本小题满分14分）已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点，．
求圆的圆心坐标；
求线段的中点的轨迹的方程；
是否存在实数，使得直线与曲线只有一个交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．
21、（本小题满分14分）设为实数，函数．
若，求的取值范围；
讨论的单调性；
当时，讨论在区间内的零点个数．
2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数学（文科）参考答案
一、 选择题
1.C 2.D 3.A 4.C 5.B
6.A 7.B 8.C 9.D 10.D
二、填空题
11. 【答案】
12. 【答案】
13. 【答案】
14. 【答案】
15. 【答案】
16. 【答案】（1）；（2）．
17. 【答案】（1）；（2），；（3）．
18. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．
（1）因为四边形是长方形，所以，因为平面，平面，所以平面
（2）因为四边形是长方形，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以
（3）取的中点，连结和，因为，所以，在中，
，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，由（2）知：平面，由（1）知：，所以平面，因为平面，所以，设点到平面的距离为，因为，所以，即，所以点到平面的距离是
19. 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）．
(1)当n=2时，4
解得：
（2）因为即×，所以数列
（3）由知：数列是以为首项，公比为的等比数列，所以
即，所以数列是以为首项，公差为的等差数列，所以，即，所以数列的通项公式是
20. 【答案】（1）；（2）；（3）存在，或．
（1） 圆
（2） 设线段AB的中点M由圆的性质可得垂直于直线l
设直线l的方程为
所以
因为动直线l与圆相交，所以<2，所以<；
所以<<>或<0,又因为0<所以
<.
所以满足即
（3） 由题意知直线l表示过定点T斜率为k的直线
结合图形，
按逆时针方向运动到的圆弧，根据对称性，只需讨论在x轴对称下方的圆弧。设
P则而当直线L与轨迹C相切时，，解得
，在这里暂取，因为<，所以
结合图形，可得对于X轴对称下方的圆弧，当或时，直线L与X轴对称下方的圆弧有且只有一个交点，根据对称性可知或.
综上所述：当或时，直线与曲线只有一交点.
21. 【答案】
（1）；
（2）在上单调递增，在上单调递减；（3）当时，
有一个零点x=2；当，与有两个零点．
（１）因为所以
当显然成立；当>０时，则有２≤１，所以≤，所以
０<≤综上所述，的取值范围≤
（２）
对于其对称轴为<，开口向上
所以在上单调递增
对于其对称轴为>，开口向上
所以在上单调递减
综上所述：在上单调递增，在上单调递减；
（3）由（2）得在上单调递增，在上单调递减，所以.
(i)当时，，
令=0，即（x>0）.
因为在上单调递减，所以
而在上单调递增，，所以与在无交点.
当时，，即，所以，所以，因为，所以，即当时，有一个零点x=2.
(ii)当时，，
当时， ，，而在上单调递增，
当时，.下面比较与的大小
因为
所以
结合图像不难得当，与有两个交点.
综上，当时，有一个零点x=2；当，与有两个零点.
