2015高考真题——数学文（福建卷）Word版含答案
2023-11-10 06:08:32
2015年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）
数 学（文史类）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若（是虚数单位），则的值分别等于（ ）
A． B． C． D．
2．【考点】若集合，，则等于（ ）
A． B． C． D
3．下列函数为奇函数的是( )
A． B． C． D．
4．阅读如图所示的程序框图，阅读相应的程序．若输入的值为1，则输出的值为（ ）
A．2 B．7 C．8 D．128
5．若直线过点，则的最小值等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．若，且为第四象限角，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
7．设，，．若，则实数的值等于（ ）
A． B． C． D．
8．如图，矩形中，点在轴上，点的坐标为．且点与点在函数的图像上．若在矩形内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率等于（ ）
A． B． C． D．
9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（ ）
A． B． C． D．
10．变量满足约束条件，若的最大值为2，则实数等于（ ）
A． B． C． D．
11．已知椭圆的右焦点为．短轴的一个端点为，直线交椭圆于两点．若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．"对任意，"是""的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C． 充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
第II卷（非选择题共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在答题卡的相应位置.
13．某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为_______．
14．若中，，，，则_______．
15．若函数满足，且在上单调递增，则实数的最小值等于_______．
16．若 是函数 的两个不同的零点，且 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 的值等于________．
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分12分)
等差数列中，，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求的值．
18.（本小题满分12分）
全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标．根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的"省级卫视新闻台"融合指数的数据，对名列前20名的"省级卫视新闻台"的融合指数进行分组统计，结果如表所示．
（I）现从融合指数在和内的"省级卫视新闻台"中随机抽取2家进行调研，求至少有1家的融合指数在内的概率；
（II）根据分组统计表求这20家"省级卫视新闻台"的融合指数的平均数．
19.（本小题满分12分）
已知点为抛物线（）的焦点，点在抛物线上，且．
（I）求抛物线的方程；
（II）已知点，延长交抛物线于点，证明：以点为圆心且与直线相切的圆，必与直线相切．
20.（本小题满分12分）
如图，是圆的直径，点是圆上异于，的点，垂直于圆所在的平面，且．
（I）若为线段的中点，求证：平面；
（II）求三棱锥体积的最大值；
（III）若，点在线段上，求的最小值．
21.（本小题满分12分）
已知函数．
（I）求函数的最小正周期；
（II）将函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移（）个单位长度后得到函数的图象，且函数的最大值为．
（i） 求函数的解析式；
（ii）证明：存在无穷多个互不相同的正整数，使得．
22.（本小题满分14分）
已知函数．
（I）求函数的单调递增区间；
（II）证明：当时，；
（III）确定实数的所有可能取值，使得存在，当时，恒有．
数学试题（文史类）参考答案
一、 选择题：本大题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分。
1.A 2.D 3.D 4.C 5.C 6.D 7.A 8.B 9.B 10.C 11.A 12.B
二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题4分，共16分。
13. 25 14. 15. 1 16. 9
三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.本小题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、划归与转化思想。满分12分。
解：（I）设等差数列的公差为。
由已知得
解得
所以
（II）由（I）可得
所以
（1+2+3+......+10）
18.本小题主要考查古典概型，频率分布表、平均数等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查必然与或然思想等，满分12分。
解法一：（I）融合指数在[7，8]内的"省级卫视新闻台"记为，，；融合指数在[4,5）内的"省级卫视新闻台"记为，，从融合指数在[4,5）和[7，8]内的"省级卫视新闻台"中随机抽取2家所有基本事件是：
，共10个。
期中，至少有1家融合指数在[7，8]内的基本事件是
共9个。
所以所求的概率。
（II）这20家"省级卫视新闻台"的融合指数平均数等于
=6.05.
解法二：（I）融合指数在[7，8]内的"省级卫视新闻台"记为，，；融合指数在[4.5）内的"省级卫视新闻台"记为，，从融合指数在[4,5）和[7，8]内的"省级卫视新闻台"中随机抽取2家的所有的基本事件是：
，共10个。
其中，没有1家融合指数在[7，8]内的基本事件是，共一个。
所以所求的概率。
（II）同解法一。
19.本小题主要考查抛物线、直线与圆的位置关系、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想。妈妈粉12分
解法一：（I）由抛物线的定义得
．
因为，即，
解得，
所以抛物线的方程为．
（II）因为点在抛物线上，
所以，由抛物线的对称性，不妨设．
由，可得直线的方程为．
由，得，
解得或，从而．
又，
所以，，
所以，从而，这表明点到直线，的距离相等，
故以为圆心且与直线相切的圆必与直线相切．
解法二：（I）同解法一．
（II）设以点为圆心且与直线相切的圆的半径为．
因为点在抛物线上，
所以，由抛物线的对称性，不妨设．
由，可得直线的方程为．
由，得，
解得或，从而．
又，故直线的方程为，
从而．
又直线的方程为，
所以点到直线的距离．
这表明以点为圆心且与直线相切的圆必与直线相切．
20.本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、锥体的体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想。满分12分。
解法一：（I）在中，因为，为的中点，
所以．
又垂直于圆所在的平面，
所以．
因为，
所以平面．
（II）因为点在圆上，
所以当时，到的距离最大，且最大值为．
又，所以面积的最大值为．
又因为三棱锥的高，
故三棱锥体积的最大值为．
（III）在中，，，
所以．
同理，所以．
在三棱锥中，将侧面绕旋转至平面，使之与平面共面，如图所示．
当，，共线时，取得最小值．
又因为，，
所以垂直平分，
即为中点．
从而，
亦即的最小值为．
解法二：（I）、（II）同解法一．
（III）在中，，，
所以，．同理．
所以，所以．
在三棱锥中，将侧面绕旋转至平面，使之与平面共面，如图所示．
当，，共线时，取得最小值．
所以在中，由余弦定理得：
．
从而．
所以的最小值为．
21.本小题主要考查三角函数的图像与性质、三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力、创新意识，考查函数与方程思想、化归与转化思想、有限与无限思想、数形结合思想。满分12分。
解：（I）因为
．
所以函数的最小正周期．
（II）（i）将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，再向下平移（）个单位长度后得到的图象．
又已知函数的最大值为，所以，解得．
所以．
（ii）要证明存在无穷多个互不相同的正整数，使得，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数，使得，即．
由知，存在，使得．
由正弦函数的性质可知，当时，均有．
因为的周期为，
所以当（）时，均有．
因为对任意的整数，，
所以对任意的正整数，都存在正整数，使得．
亦即存在无穷多个互不相同的正整数，使得．
22.本小题主要考查函数的单调性、倒数及其应用等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、有限与无限思想、数形结合思想。满分14分。
解：（I），．
由得解得．
故的单调递增区间是．
（II）令，．
则有．
当时，，
所以在上单调递减，
故当时，，即当时，．
（III）由（II）知，当时，不存在满足题意．
当时，对于，有，则，
从而不存在满足题意．
当时，令，，
则有．
由得，．
解得，．
当时，，故在内单调递增．
从而当时，，即，
综上，的取值范围是．
数 学（文史类）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若（是虚数单位），则的值分别等于（ ）
A． B． C． D．
2．【考点】若集合，，则等于（ ）
A． B． C． D
3．下列函数为奇函数的是( )
A． B． C． D．
4．阅读如图所示的程序框图，阅读相应的程序．若输入的值为1，则输出的值为（ ）
A．2 B．7 C．8 D．128
5．若直线过点，则的最小值等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．若，且为第四象限角，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
7．设，，．若，则实数的值等于（ ）
A． B． C． D．
8．如图，矩形中，点在轴上，点的坐标为．且点与点在函数的图像上．若在矩形内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率等于（ ）
A． B． C． D．
9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（ ）
A． B． C． D．
10．变量满足约束条件，若的最大值为2，则实数等于（ ）
A． B． C． D．
11．已知椭圆的右焦点为．短轴的一个端点为，直线交椭圆于两点．若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．"对任意，"是""的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C． 充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
第II卷（非选择题共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在答题卡的相应位置.
13．某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为_______．
14．若中，，，，则_______．
15．若函数满足，且在上单调递增，则实数的最小值等于_______．
16．若 是函数 的两个不同的零点，且 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 的值等于________．
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分12分)
等差数列中，，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求的值．
18.（本小题满分12分）
全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标．根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的"省级卫视新闻台"融合指数的数据，对名列前20名的"省级卫视新闻台"的融合指数进行分组统计，结果如表所示．
（I）现从融合指数在和内的"省级卫视新闻台"中随机抽取2家进行调研，求至少有1家的融合指数在内的概率；
（II）根据分组统计表求这20家"省级卫视新闻台"的融合指数的平均数．
19.（本小题满分12分）
已知点为抛物线（）的焦点，点在抛物线上，且．
（I）求抛物线的方程；
（II）已知点，延长交抛物线于点，证明：以点为圆心且与直线相切的圆，必与直线相切．
20.（本小题满分12分）
如图，是圆的直径，点是圆上异于，的点，垂直于圆所在的平面，且．
（I）若为线段的中点，求证：平面；
（II）求三棱锥体积的最大值；
（III）若，点在线段上，求的最小值．
21.（本小题满分12分）
已知函数．
（I）求函数的最小正周期；
（II）将函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移（）个单位长度后得到函数的图象，且函数的最大值为．
（i） 求函数的解析式；
（ii）证明：存在无穷多个互不相同的正整数，使得．
22.（本小题满分14分）
已知函数．
（I）求函数的单调递增区间；
（II）证明：当时，；
（III）确定实数的所有可能取值，使得存在，当时，恒有．
数学试题（文史类）参考答案
一、 选择题：本大题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分。
1.A 2.D 3.D 4.C 5.C 6.D 7.A 8.B 9.B 10.C 11.A 12.B
二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题4分，共16分。
13. 25 14. 15. 1 16. 9
三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.本小题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、划归与转化思想。满分12分。
解：（I）设等差数列的公差为。
由已知得
解得
所以
（II）由（I）可得
所以
（1+2+3+......+10）
18.本小题主要考查古典概型，频率分布表、平均数等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查必然与或然思想等，满分12分。
解法一：（I）融合指数在[7，8]内的"省级卫视新闻台"记为，，；融合指数在[4,5）内的"省级卫视新闻台"记为，，从融合指数在[4,5）和[7，8]内的"省级卫视新闻台"中随机抽取2家所有基本事件是：
，共10个。
期中，至少有1家融合指数在[7，8]内的基本事件是
共9个。
所以所求的概率。
（II）这20家"省级卫视新闻台"的融合指数平均数等于
=6.05.
解法二：（I）融合指数在[7，8]内的"省级卫视新闻台"记为，，；融合指数在[4.5）内的"省级卫视新闻台"记为，，从融合指数在[4,5）和[7，8]内的"省级卫视新闻台"中随机抽取2家的所有的基本事件是：
，共10个。
其中，没有1家融合指数在[7，8]内的基本事件是，共一个。
所以所求的概率。
（II）同解法一。
19.本小题主要考查抛物线、直线与圆的位置关系、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想。妈妈粉12分
解法一：（I）由抛物线的定义得
．
因为，即，
解得，
所以抛物线的方程为．
（II）因为点在抛物线上，
所以，由抛物线的对称性，不妨设．
由，可得直线的方程为．
由，得，
解得或，从而．
又，
所以，，
所以，从而，这表明点到直线，的距离相等，
故以为圆心且与直线相切的圆必与直线相切．
解法二：（I）同解法一．
（II）设以点为圆心且与直线相切的圆的半径为．
因为点在抛物线上，
所以，由抛物线的对称性，不妨设．
由，可得直线的方程为．
由，得，
解得或，从而．
又，故直线的方程为，
从而．
又直线的方程为，
所以点到直线的距离．
这表明以点为圆心且与直线相切的圆必与直线相切．
20.本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、锥体的体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想。满分12分。
解法一：（I）在中，因为，为的中点，
所以．
又垂直于圆所在的平面，
所以．
因为，
所以平面．
（II）因为点在圆上，
所以当时，到的距离最大，且最大值为．
又，所以面积的最大值为．
又因为三棱锥的高，
故三棱锥体积的最大值为．
（III）在中，，，
所以．
同理，所以．
在三棱锥中，将侧面绕旋转至平面，使之与平面共面，如图所示．
当，，共线时，取得最小值．
又因为，，
所以垂直平分，
即为中点．
从而，
亦即的最小值为．
解法二：（I）、（II）同解法一．
（III）在中，，，
所以，．同理．
所以，所以．
在三棱锥中，将侧面绕旋转至平面，使之与平面共面，如图所示．
当，，共线时，取得最小值．
所以在中，由余弦定理得：
．
从而．
所以的最小值为．
21.本小题主要考查三角函数的图像与性质、三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力、创新意识，考查函数与方程思想、化归与转化思想、有限与无限思想、数形结合思想。满分12分。
解：（I）因为
．
所以函数的最小正周期．
（II）（i）将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，再向下平移（）个单位长度后得到的图象．
又已知函数的最大值为，所以，解得．
所以．
（ii）要证明存在无穷多个互不相同的正整数，使得，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数，使得，即．
由知，存在，使得．
由正弦函数的性质可知，当时，均有．
因为的周期为，
所以当（）时，均有．
因为对任意的整数，，
所以对任意的正整数，都存在正整数，使得．
亦即存在无穷多个互不相同的正整数，使得．
22.本小题主要考查函数的单调性、倒数及其应用等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、有限与无限思想、数形结合思想。满分14分。
解：（I），．
由得解得．
故的单调递增区间是．
（II）令，．
则有．
当时，，
所以在上单调递减，
故当时，，即当时，．
（III）由（II）知，当时，不存在满足题意．
当时，对于，有，则，
从而不存在满足题意．
当时，令，，
则有．
由得，．
解得，．
当时，，故在内单调递增．
从而当时，，即，
综上，的取值范围是．
