2015高考真题——数学文（陕西卷）Word版含答案
2023-11-13 03:07:06
2015年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）
文科数学
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1、设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lgx≤0}，则M∪N＝
（A）[0，1] （B）(0，1] （C）[0，1) （D）(－∞，1]
2、某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数是
（A）93 （B）123 （C）137 （D）167
3、已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过点(－1，1)，则该抛物线的焦点坐标为
（A）(－1，0) （B）(1，0) （C）(0，－1) （D）(0，1)
4、设f(x)＝，则f(f(－2))＝
（A）－1 （B） （C） （D）
5、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
（A）3π （B）4π （C）2π＋4 （D）3π＋4
6、"sα＝cosα"是"cos2α＝0"的
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
7、根据右边框图，当输入x为6时，输出的y＝
（A）1 （B）2
（C）5 （D）10
8、对任意的平面向量a，b，下列关系式中不恒成立的是
（A）|a・≤ （B）|a－≤－|
（C）(a＋b)2＝|a＋2 （D）(a＋b)・(a－b)＝a2－b2
9、设f(x)＝x－sx，则f(x)
（A）既是奇函数又是减函数
（B）既是奇函数又是增函数
（C）是有零点的减函数
（D）是没有零点的奇函数
10、设f(x)＝x，0＜a＜b，若p＝f()，q＝f()，r＝(f(a)＋f(b))，则下列关系式中正确的是
（A）q＝r＜p （B）q＝r＞p （C）p＝r＜q （D）p＝r＞q
11、某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料.已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为
（A）12万元 （B）16万元 （C）17万元 （D）18万元
甲 乙 原料限额 A(吨) 3 2 12 B(吨) 1 2 8
12、设复数z＝(x－1)＋yi(，y∈R)，若|z |≤1，则y≥x的概率为
（A） （B） （C） （D）
二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13、中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为________
14、如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3s(x＋)＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为____________.
15、函数y＝xex在其极值点处的切线方程为____________.
16、观察下列等式：
1－
1－
1－
............
据此规律，第n个等式可为______________________.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共70分）
17、（本小题满分12分）
△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a，b，c，向量m=（a，b）与n=（cosA，sB）平行.
（I） 求A；
（II） 若a=，b=2，求△ABC的面积.
18、（本小题满分12分）
如图1，在直角梯形ABCD中，AD//BC，BAD=，AB=BC=AD=a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点，将△ABE沿BE折起到图2中△的位置，得到四棱锥
（I）证明：CD平面A1OC；
（II）当平面A1BE 平面BCDE时，四棱锥的体积为36，求a的值.
19、（本小题满分12分）
随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：
日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 天气 晴 雨 阴 阴 阴 雨 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 晴
日期 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 天气 晴 阴 雨 阴 阴 晴 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 雨
（I） 在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；
（II） 西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率.
20、（本小题满分12分）
如图，椭圆E：（>>0）经过点A（0，-1），且离心率为.
（I） 求椭圆E的方程；
（II） 经过点（1,1）且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.
21、（本小题满分12分）
设
（I） 求.
（II） 证明：在（0，）内有且仅有一个零点（记为），且0<-<.
考生注意：请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方涂框黑.
22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，AB切于于点B，直线AO交于D,E两点，BCDE,垂足为C.
(I) 证明：;
(II) 若AD=3DC，BC=,求的直径.
23、（本小题满分10分）选修4-1，坐标系与参数方程
在直角坐标系O中，直线l的参数方程为（t为参数）.以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，的极坐标方程为.
（I） 写出的直角坐标方程；
（II） P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标.
24、（本小题满分10分）选修4-5，不等式选讲
已知关于的不等式| +(I) 求实数a，b的值.
(II) 求+的最大值.
答案
1.A 2. C 3.B 4.C 5.D 6.A 7.D 8.B 9.B 10.C 11.D 12.C
13.5 14.8 15. =- 16.
17.解：（I）因为m//n,所以 asB-bcosA=0,
由正弦定理，得 sAsB-sBcosA=0
又 sB0,从而 tA=,
由于 0（II）解法一 由余弦定理，得
a2=b2+c2-2bcosA,
而 a=,b=2，A=，
得 7=4+c2-2c,即 c2-2c-3=0,
因为 c>0,所以 c=3.
故 ABC的面积为 bcsA=
解法二 由正弦定理，得
从而 sB=，
又由a>b,知A>B,所以 cosB=，
故 sC=s（A+B）=s
=sBcos+cosBs=.
所以ABC的面积为
18.解 （I）在图1中，
因为 AB=BC=AD=a,E是AD的中点
即 在图2中，BEOC,
从而 BE平面A1OC
又CD//BE,
所以 CD平面A1OC.
（III） 由已知，平面A1BE平面BCDE
且平面A1BE平面BCDE=BE,
又 由（I），A1OBE,
所以 A1O平面BCDE,
即 A1O是四棱锥A1-BCE的高。
由图1知，A1O=，平行四边形BCDE的面积S=BCAB=2
从而 四棱锥A1-BCDE的体积为
V=A1O=3=3,
由3=36，得=6.
19.（I）在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，4月份任选一天，西安市不下雨的概率为。
（III） 称相邻的两个日期为"互临日期对"（如，1日与2日，2日与3日等）。这样，在4月份中，前一天为晴天的互临日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为。
以频率估计概率，运动会期间不会下雨的概率为
20.（本小题满分12分）
解 （I）由题设知
结合
所以 椭圆的方程式为
（II）由题设知，直线PQ的方程式为得
由已知>0.
设P
则
从而直线AP,AQ的斜率之和
=
=
21.（本小题满分12分）
解 （I）解法一 由题设...
所以 ...+ ①
则 ... ②
①-②得，...+
=
所以
解法二 当，
则 ，
可得
（II） 因为 <0，
>0，
所以
又 ...>0，
所以
因此
由于
所以 0=
由此可得 >，
故 <，<
所以 0<-<
22解 （I）因为 DE为O直径
则
又 BC
从而
又AB切于点B,
得
所以
（II）由（I）知BD平分,
则
又 BC=
所以 AC=
所以 AD=3.
由切割线定理得
即AE=,
故 DE=AE-AD=3，
即直径为3.
23.解（I）由
从而有
所以
（II）设P
则
故 当t=0时，取得最小值。
24.解（I）由<,得
-<<
则
（II）
=2
当且仅当
故
文科数学
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1、设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lgx≤0}，则M∪N＝
（A）[0，1] （B）(0，1] （C）[0，1) （D）(－∞，1]
2、某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数是
（A）93 （B）123 （C）137 （D）167
3、已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过点(－1，1)，则该抛物线的焦点坐标为
（A）(－1，0) （B）(1，0) （C）(0，－1) （D）(0，1)
4、设f(x)＝，则f(f(－2))＝
（A）－1 （B） （C） （D）
5、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
（A）3π （B）4π （C）2π＋4 （D）3π＋4
6、"sα＝cosα"是"cos2α＝0"的
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
7、根据右边框图，当输入x为6时，输出的y＝
（A）1 （B）2
（C）5 （D）10
8、对任意的平面向量a，b，下列关系式中不恒成立的是
（A）|a・≤ （B）|a－≤－|
（C）(a＋b)2＝|a＋2 （D）(a＋b)・(a－b)＝a2－b2
9、设f(x)＝x－sx，则f(x)
（A）既是奇函数又是减函数
（B）既是奇函数又是增函数
（C）是有零点的减函数
（D）是没有零点的奇函数
10、设f(x)＝x，0＜a＜b，若p＝f()，q＝f()，r＝(f(a)＋f(b))，则下列关系式中正确的是
（A）q＝r＜p （B）q＝r＞p （C）p＝r＜q （D）p＝r＞q
11、某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料.已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为
（A）12万元 （B）16万元 （C）17万元 （D）18万元
甲 乙 原料限额 A(吨) 3 2 12 B(吨) 1 2 8
12、设复数z＝(x－1)＋yi(，y∈R)，若|z |≤1，则y≥x的概率为
（A） （B） （C） （D）
二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13、中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为________
14、如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3s(x＋)＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为____________.
15、函数y＝xex在其极值点处的切线方程为____________.
16、观察下列等式：
1－
1－
1－
............
据此规律，第n个等式可为______________________.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共70分）
17、（本小题满分12分）
△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a，b，c，向量m=（a，b）与n=（cosA，sB）平行.
（I） 求A；
（II） 若a=，b=2，求△ABC的面积.
18、（本小题满分12分）
如图1，在直角梯形ABCD中，AD//BC，BAD=，AB=BC=AD=a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点，将△ABE沿BE折起到图2中△的位置，得到四棱锥
（I）证明：CD平面A1OC；
（II）当平面A1BE 平面BCDE时，四棱锥的体积为36，求a的值.
19、（本小题满分12分）
随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：
日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 天气 晴 雨 阴 阴 阴 雨 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 晴
日期 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 天气 晴 阴 雨 阴 阴 晴 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 雨
（I） 在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；
（II） 西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率.
20、（本小题满分12分）
如图，椭圆E：（>>0）经过点A（0，-1），且离心率为.
（I） 求椭圆E的方程；
（II） 经过点（1,1）且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.
21、（本小题满分12分）
设
（I） 求.
（II） 证明：在（0，）内有且仅有一个零点（记为），且0<-<.
考生注意：请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方涂框黑.
22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，AB切于于点B，直线AO交于D,E两点，BCDE,垂足为C.
(I) 证明：;
(II) 若AD=3DC，BC=,求的直径.
23、（本小题满分10分）选修4-1，坐标系与参数方程
在直角坐标系O中，直线l的参数方程为（t为参数）.以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，的极坐标方程为.
（I） 写出的直角坐标方程；
（II） P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标.
24、（本小题满分10分）选修4-5，不等式选讲
已知关于的不等式| +
(II) 求+的最大值.
答案
1.A 2. C 3.B 4.C 5.D 6.A 7.D 8.B 9.B 10.C 11.D 12.C
13.5 14.8 15. =- 16.
17.解：（I）因为m//n,所以 asB-bcosA=0,
由正弦定理，得 sAsB-sBcosA=0
又 sB0,从而 tA=,
由于 0
a2=b2+c2-2bcosA,
而 a=,b=2，A=，
得 7=4+c2-2c,即 c2-2c-3=0,
因为 c>0,所以 c=3.
故 ABC的面积为 bcsA=
解法二 由正弦定理，得
从而 sB=，
又由a>b,知A>B,所以 cosB=，
故 sC=s（A+B）=s
=sBcos+cosBs=.
所以ABC的面积为
18.解 （I）在图1中，
因为 AB=BC=AD=a,E是AD的中点
即 在图2中，BEOC,
从而 BE平面A1OC
又CD//BE,
所以 CD平面A1OC.
（III） 由已知，平面A1BE平面BCDE
且平面A1BE平面BCDE=BE,
又 由（I），A1OBE,
所以 A1O平面BCDE,
即 A1O是四棱锥A1-BCE的高。
由图1知，A1O=，平行四边形BCDE的面积S=BCAB=2
从而 四棱锥A1-BCDE的体积为
V=A1O=3=3,
由3=36，得=6.
19.（I）在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，4月份任选一天，西安市不下雨的概率为。
（III） 称相邻的两个日期为"互临日期对"（如，1日与2日，2日与3日等）。这样，在4月份中，前一天为晴天的互临日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为。
以频率估计概率，运动会期间不会下雨的概率为
20.（本小题满分12分）
解 （I）由题设知
结合
所以 椭圆的方程式为
（II）由题设知，直线PQ的方程式为得
由已知>0.
设P
则
从而直线AP,AQ的斜率之和
=
=
21.（本小题满分12分）
解 （I）解法一 由题设...
所以 ...+ ①
则 ... ②
①-②得，...+
=
所以
解法二 当，
则 ，
可得
（II） 因为 <0，
>0，
所以
又 ...>0，
所以
因此
由于
所以 0=
由此可得 >，
故 <，<
所以 0<-<
22解 （I）因为 DE为O直径
则
又 BC
从而
又AB切于点B,
得
所以
（II）由（I）知BD平分,
则
又 BC=
所以 AC=
所以 AD=3.
由切割线定理得
即AE=,
故 DE=AE-AD=3，
即直径为3.
23.解（I）由
从而有
所以
（II）设P
则
故 当t=0时，取得最小值。
24.解（I）由<,得
-<<
则
（II）
=2
当且仅当
故
