2014年高考真题——文科数学（北京卷）Word版含答案
2023-11-12 15:42:19
2014年普通高等学校招生全国统一考试北京卷
文科数学
本试卷共6页，150分。考试时长120分钟，。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.若集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.下列函数中，定义域是且为增函数的是（ ）
A. B. C. D.
3.已知向量，，则（ ）
A. B. C. D.
4.执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）
A. B. C. D.
5.设、是实数，则""是""的（ ）
A.充分而不必要条件 B.必要而不必要条件
C.充分必要条件 D.既不充分不必要条件
6.已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（ ）
A. B. C. D.
7.已知圆和两点，，若圆上存在点
，使得，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
8.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为"可食用率".咋特定条件下，可食用率
与加工时间（单位：分钟）满足的函数关系（、、是常数），
下图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）
A.分钟 B.分钟 C.分钟 D.分钟
第2部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9.若，则 .
10.设双曲线的两个焦点为，，一个顶点式，则的方程为
.
11.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为 .
12.在中，，，，则 ； .
13.若、满足，则的最小值为 .
14.顾客请一位工艺师把、两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这
项任务，每件颜料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都
完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：
工序
时间
原料 粗加工 精加工 原料 原料 则最短交货期为 工作日.
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
15.（本小题满分13分）已知是等差数列，满足，，数列满足，，且是等比数列.
（1）求数列和的通项公式；
（2）求数列的前项和.
16.（本小题满分13分）函数的部分图象如图所示.
（1）写出的最小正周期及图中、的值；
（2）求在区间上的最大值和最小值.
17.（本小题满分14分）如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，、分别为、的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）求证：平面；
（3）求三棱锥的体积.
18. （本小题满分13分）
从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：
（1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；
（2）求频率分布直方图中的a，b的值；
（3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写出结论）
19. （本小题满分14分）
已知椭圆C：.
（1） 求椭圆C的离心率；
（2）设O为原点，若点A在直线，点B在椭圆C上，且，求线段AB长度的最小值.
20. （本小题满分13分）
已知函数.
（1）求在区间上的最大值；
（2）若过点存在3条直线与曲线相切，求t的取值范围；
（3）问过点分别存在几条直线与曲线相切？（只需写出结论）
文科数学
本试卷共6页，150分。考试时长120分钟，。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.若集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.下列函数中，定义域是且为增函数的是（ ）
A. B. C. D.
3.已知向量，，则（ ）
A. B. C. D.
4.执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）
A. B. C. D.
5.设、是实数，则""是""的（ ）
A.充分而不必要条件 B.必要而不必要条件
C.充分必要条件 D.既不充分不必要条件
6.已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（ ）
A. B. C. D.
7.已知圆和两点，，若圆上存在点
，使得，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
8.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为"可食用率".咋特定条件下，可食用率
与加工时间（单位：分钟）满足的函数关系（、、是常数），
下图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）
A.分钟 B.分钟 C.分钟 D.分钟
第2部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9.若，则 .
10.设双曲线的两个焦点为，，一个顶点式，则的方程为
.
11.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为 .
12.在中，，，，则 ； .
13.若、满足，则的最小值为 .
14.顾客请一位工艺师把、两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这
项任务，每件颜料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都
完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：
工序
时间
原料 粗加工 精加工 原料 原料 则最短交货期为 工作日.
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
15.（本小题满分13分）已知是等差数列，满足，，数列满足，，且是等比数列.
（1）求数列和的通项公式；
（2）求数列的前项和.
16.（本小题满分13分）函数的部分图象如图所示.
（1）写出的最小正周期及图中、的值；
（2）求在区间上的最大值和最小值.
17.（本小题满分14分）如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，、分别为、的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）求证：平面；
（3）求三棱锥的体积.
18. （本小题满分13分）
从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：
（1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；
（2）求频率分布直方图中的a，b的值；
（3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写出结论）
19. （本小题满分14分）
已知椭圆C：.
（1） 求椭圆C的离心率；
（2）设O为原点，若点A在直线，点B在椭圆C上，且，求线段AB长度的最小值.
20. （本小题满分13分）
已知函数.
（1）求在区间上的最大值；
（2）若过点存在3条直线与曲线相切，求t的取值范围；
（3）问过点分别存在几条直线与曲线相切？（只需写出结论）
