2014年高考真题——理科数学（上海卷）解析版 Word版含解析
2023-11-23 08:10:06
2 0 1 4年 全 国 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试
上海 数学试卷（理工农医类）
考生注意：
1、本试卷共4页，23道试题，满分150分。考试时间120分钟。
2、本考试分设试卷和答题纸。试卷包括试题与答题要求。作答必须涂（选择题）或写
（非选择题）在答题纸上。在试卷上作答一律不得分。
3、答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对
后的条形码贴在指定位置上，在答题纸正面清楚地填写姓名。
一、 填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1、 函数
【答案】
【解析】
2、 若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则=___________.
【答案】 6
【解析】
3、 若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为___________.
【答案】 x=-2
【解析】
4、 设若，则a的取值范围为_____________.
【答案】
【解析】
5、 若实数x,y满足xy=1,则+的最小值为______________.
【答案】
【解析】
6. 若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面所成角的大小为 （结果用反三角函数值表示）。
【答案】
【解析】
7. 已知曲线C的极坐标方程为=1，则C与极轴的交点到极点的距离是 。
【答案】
【解析】
8. 设无穷等比数列{}的公比为q，若，则q= 。
【答案】
【解析】
9. 若，则满足的取值范围是 。
【答案】
【解析】
10. 为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率 是 （结构用最简分数表示）。
【答案】
【解析】
11. 已知互异的复数a,b满足ab≠0，集合{a,b}={,},则a+b= 。
【答案】 -1
【解析】
12.设常数a使方程在闭区间[0,2]上恰有三个解，则 。
【答案】
【解析】
13. 某游戏的得分为1,2,3,4，5，随机变量表示小白玩游戏的得分。若=4.2，则小白得5分的概率至少为 。
【答案】
【解析】
14.已知曲线C：，直线l：x=6。若对于点A（m，0）,存在C上的点P和l上的点Q使得，则m的取值范围为 。
【答案】
【解析】
二、 选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。
15. 设,则""是""的（ ）
（A） 充分非必要条件 （B）必要非充分条件
（C）充要条件 （D）既非充分也非必要条件
【答案】 B
【解析】
16. 如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则的不同值的个数为（ ）
（A）1 (B)2 (C)4 (D)8
【答案】 A
【解析】
17. 已知与是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（）
（A） 无论k，如何，总是无解 （B)无论k，如何，总有唯一解
（C）存在k，，使之恰有两解 （D）存在k，，使之有无穷多解
【答案】 B
【解析】
18. 若是的最小值，则的取值范围为（ ）。
(A)[-1,2] (B)[-1，0] (C)[1，2] (D)[0，2]
【答案】 D
【解析】
三．解答题（本大题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。
19、（本题满分12分）
底面边长为2的正三棱锥,其表面展开图是三角形
，如图，求△
的各边长及此三棱锥的体积.
【答案】 4,4,4；
【解析】
20. （本题满分14分）本题有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分8分。
设常数，函数
（1） 若=4，求函数的反函数；
（2） 根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由.
【答案】
(1)
(2)
【解析】
(1)
(2)
21. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
如图，某公司要在两地连线上的定点处建造广告牌，其中为顶端，长35米，长80米，设在同一水平面上，从和看的仰角分别为.
（1） 设计中是铅垂方向，若要求，问的长至多为多少（结果精确到0.01米）？
（2） 施工完成后.与铅垂方向有偏差，现在实测得求的长（结果精确到0.01米）？
【答案】 (1) (2)
【解析】
(1)
(2)
22（本题满分16分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.
在平面直角坐标系中，对于直线：和点记若<0，则称点被直线分隔。若曲线C与直线没有公共点，且曲线C上存在点被直线分隔，则称直线为曲线C的一条分隔线.
⑴ 求证：点被直线分隔；
⑵若直线是曲线的分隔线，求实数的取值范围；
⑶动点M到点的距离与到轴的距离之积为1，设点M的轨迹为曲线E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线.
【答案】 (1) 省略 (2) (3)
【解析】
(1)
(2)
(3)
23. （本题满分18分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分.
已知数列满足.
（1） 若，求的取值范围；
（2） 若是公比为等比数列，，求的取值范围；
（3） 若成等差数列，且，求正整数的最大值，以及取最大值时相应数列的公差.
【答案】 （1）（2） （3）
【解析】
（1）
（2）
（3）
上海 数学试卷（理工农医类）
考生注意：
1、本试卷共4页，23道试题，满分150分。考试时间120分钟。
2、本考试分设试卷和答题纸。试卷包括试题与答题要求。作答必须涂（选择题）或写
（非选择题）在答题纸上。在试卷上作答一律不得分。
3、答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对
后的条形码贴在指定位置上，在答题纸正面清楚地填写姓名。
一、 填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1、 函数
【答案】
【解析】
2、 若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则=___________.
【答案】 6
【解析】
3、 若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为___________.
【答案】 x=-2
【解析】
4、 设若，则a的取值范围为_____________.
【答案】
【解析】
5、 若实数x,y满足xy=1,则+的最小值为______________.
【答案】
【解析】
6. 若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面所成角的大小为 （结果用反三角函数值表示）。
【答案】
【解析】
7. 已知曲线C的极坐标方程为=1，则C与极轴的交点到极点的距离是 。
【答案】
【解析】
8. 设无穷等比数列{}的公比为q，若，则q= 。
【答案】
【解析】
9. 若，则满足的取值范围是 。
【答案】
【解析】
10. 为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率 是 （结构用最简分数表示）。
【答案】
【解析】
11. 已知互异的复数a,b满足ab≠0，集合{a,b}={,},则a+b= 。
【答案】 -1
【解析】
12.设常数a使方程在闭区间[0,2]上恰有三个解，则 。
【答案】
【解析】
13. 某游戏的得分为1,2,3,4，5，随机变量表示小白玩游戏的得分。若=4.2，则小白得5分的概率至少为 。
【答案】
【解析】
14.已知曲线C：，直线l：x=6。若对于点A（m，0）,存在C上的点P和l上的点Q使得，则m的取值范围为 。
【答案】
【解析】
二、 选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。
15. 设,则""是""的（ ）
（A） 充分非必要条件 （B）必要非充分条件
（C）充要条件 （D）既非充分也非必要条件
【答案】 B
【解析】
16. 如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则的不同值的个数为（ ）
（A）1 (B)2 (C)4 (D)8
【答案】 A
【解析】
17. 已知与是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（）
（A） 无论k，如何，总是无解 （B)无论k，如何，总有唯一解
（C）存在k，，使之恰有两解 （D）存在k，，使之有无穷多解
【答案】 B
【解析】
18. 若是的最小值，则的取值范围为（ ）。
(A)[-1,2] (B)[-1，0] (C)[1，2] (D)[0，2]
【答案】 D
【解析】
三．解答题（本大题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。
19、（本题满分12分）
底面边长为2的正三棱锥,其表面展开图是三角形
，如图，求△
的各边长及此三棱锥的体积.
【答案】 4,4,4；
【解析】
20. （本题满分14分）本题有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分8分。
设常数，函数
（1） 若=4，求函数的反函数；
（2） 根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由.
【答案】
(1)
(2)
【解析】
(1)
(2)
21. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
如图，某公司要在两地连线上的定点处建造广告牌，其中为顶端，长35米，长80米，设在同一水平面上，从和看的仰角分别为.
（1） 设计中是铅垂方向，若要求，问的长至多为多少（结果精确到0.01米）？
（2） 施工完成后.与铅垂方向有偏差，现在实测得求的长（结果精确到0.01米）？
【答案】 (1) (2)
【解析】
(1)
(2)
22（本题满分16分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.
在平面直角坐标系中，对于直线：和点记若<0，则称点被直线分隔。若曲线C与直线没有公共点，且曲线C上存在点被直线分隔，则称直线为曲线C的一条分隔线.
⑴ 求证：点被直线分隔；
⑵若直线是曲线的分隔线，求实数的取值范围；
⑶动点M到点的距离与到轴的距离之积为1，设点M的轨迹为曲线E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线.
【答案】 (1) 省略 (2) (3)
【解析】
(1)
(2)
(3)
23. （本题满分18分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分.
已知数列满足.
（1） 若，求的取值范围；
（2） 若是公比为等比数列，，求的取值范围；
（3） 若成等差数列，且，求正整数的最大值，以及取最大值时相应数列的公差.
【答案】 （1）（2） （3）
【解析】
（1）
（2）
（3）
