2014年高考真题——理科数学（江西卷）解析版1 Word版含答案
2023-11-14 00:05:18
2014年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）
数学（理科）
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 是的共轭复数. 若，（（为虚数单位），则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
所以选D。
2. 函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
所以选C.
3. 已知函数，，若，则（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. -1
【答案】A
【解析】
所以选A。
4. 在中，内角A,B,C所对应的边分别为，若则的面积（ ）
A.3 B. C. D.
【答案】C
【解析】
所以选C。
5. 一几何体的直观图如右图，下列给出的四个俯视图中正确的是（ ）
【答案】B
【解析】俯视图为在底面上的投影，易知选：B
6. 某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量之间的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，泽宇性别有关联的可能性最大的变量是（ ）
A.成绩 B.视力 C.智商 D.阅读量
【答案】D
【解析】根据独立性检验相关分析知，阅读量与性别相关数据较大，选D
7. 阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（ ）
A.7 B.9 C.10 D.11
【答案】B
【解析】，，选B
8.若则（ ）
A. B. C. D.1
【答案】B
【解析】设，则，
，所以.
9.在平面直角坐标系中，分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则圆面积的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】原点O到直线的距离为，则，点C到直线的距离是圆的半径，由题意知C是AB的中点，又以斜边为直径的圆过三个顶点，则在直角中三角形中，圆C过原点O，即，圆C的轨迹为抛物线，O为焦点，为准线，所以，，所以选A。
10. 如右图，在长方体中，=11，=7，=12，一质点从顶点A射向点，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将次到第次反射点之间的线段记为，，将线段竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（ ）
【答案】C
【解析】A(0,0,0),E(4,3,12),(8,6,0),(,7,4),(11,,9),，,,
......
二.选做题：请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题评阅计分，本题共5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
11(1).（不等式选做题）对任意,的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
11(2).（坐标系与参数方程选做题）若以直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段的极坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
所以选A。
三. 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
12.10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________.
【答案】
【解析】
13.若曲线上点处的切线平行于直线，则点的坐标是________.
【答案】
【解析】
14. 已知单位向量与的夹角为，且，向量与的夹角为，则=
【答案】
【解析】
15.过点作斜率为的直线与椭圆：相交于，若是线段的中点，则椭圆的离心率为
【答案】
【解析】
三.简答题
16.已知函数，其中
（1）当时，求在区间上的最大值与最小值；
(2)若，求的值.
【解析】（1）,
.....................................................................3分
，..................................................................4分
；.....................................................................6分
(2)
又，................................................7分
，................................................8分
................................................10分
，又，所以..................12分
17、（本小题满分12分）
已知首项都是1的两个数列（），满足.
(1) 令，求数列的通项公式；
(2) 若，求数列的前n项和.
【解析】（1）
同时除以，得到............................................................2分
即：............................................................3分
所以，是首项为，公差为2的等差数列.......................................4分
所以，............................................................5分
(2) ，.............................................6分
...........................9分
两式相减得：
.....................11分
.....................12分
18、（本小题满分12分）
已知函数.
(1) 当时，求的极值；
(2) 若在区间上单调递增，求b的取值范围.
【解析】1）当时，的定义域为
令，解得
当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增；
所以，当时，取得极小值；当时，取得极大值。
（2） 在上单调递增且不恒等于0对x恒成立........................7分
..........................................8分
..........................................10分
..........................................11分
..........................................12分
19(本小题满分12分)
如图，四棱锥中，为矩形，平面平面.
（1） 求证：
（2） 若问为何值时，四棱锥的体积最大？并求此时平面与平面夹角的余弦值.
【解析】
解：（1）面面,面面=,
面..........................................2分
又面..........................................3分
..........................................4分
(2) 过P作,由（1）有面ABCD,
作,连接PM，作..........................................5分
设AB=x.
...7分
当即时，..........................................9分
如图建立空间直角坐标系，,,
,
,,
,..........................................10分
设面、面的法向量分别为，
设，则，
同理可得..........................................11分
平面与平面夹角的余弦值为。.......................................12分
20. （本小题满分13分）
如图，已知双曲线的右焦点,点分别在的两条渐近线上，轴，∥(为坐标原点）.
（1） 求双曲线的方程；
（2） 过上一点的直线与直线相交于点，与直线相交于点，证明点在上移动时，恒为定值，并求此定值
【答案】（1） （2）
【解析】(1)A(),B()
且，即， ................................. 4分
即.............................................................................. 6分
（2） A(2，)，，F（2,0），
M(2，)，N(，)......................................................... 9分
................................................................................. 13分
21. （满分14分）随机将这个连续正整数分成A,B两组，每组n个数，A组最小数为，最大数为；B组最小数为，最大数为，记
（1） 当时，求的分布列和数学期望；
（2） 令C表示事件与的取值恰好相等，求事件C发生的概率；
对（2）中的事件C,表示C的对立事件，判断和的大小关系，并说明理由。
【解析】（1）随机变量的取值所有可能是：2，3，4，5
；
的分布列为：
2 3 4 5 所以，的数学期望为
2）事件与的取值恰好相等的基本事件：
共
时，
3）因为，所以要比较与的大小，实际上要比较与的大小， 由可知，
当时，
当时，
数学（理科）
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 是的共轭复数. 若，（（为虚数单位），则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
所以选D。
2. 函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
所以选C.
3. 已知函数，，若，则（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. -1
【答案】A
【解析】
所以选A。
4. 在中，内角A,B,C所对应的边分别为，若则的面积（ ）
A.3 B. C. D.
【答案】C
【解析】
所以选C。
5. 一几何体的直观图如右图，下列给出的四个俯视图中正确的是（ ）
【答案】B
【解析】俯视图为在底面上的投影，易知选：B
6. 某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量之间的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，泽宇性别有关联的可能性最大的变量是（ ）
A.成绩 B.视力 C.智商 D.阅读量
【答案】D
【解析】根据独立性检验相关分析知，阅读量与性别相关数据较大，选D
7. 阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（ ）
A.7 B.9 C.10 D.11
【答案】B
【解析】，，选B
8.若则（ ）
A. B. C. D.1
【答案】B
【解析】设，则，
，所以.
9.在平面直角坐标系中，分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则圆面积的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】原点O到直线的距离为，则，点C到直线的距离是圆的半径，由题意知C是AB的中点，又以斜边为直径的圆过三个顶点，则在直角中三角形中，圆C过原点O，即，圆C的轨迹为抛物线，O为焦点，为准线，所以，，所以选A。
10. 如右图，在长方体中，=11，=7，=12，一质点从顶点A射向点，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将次到第次反射点之间的线段记为，，将线段竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（ ）
【答案】C
【解析】A(0,0,0),E(4,3,12),(8,6,0),(,7,4),(11,,9),，,,
......
二.选做题：请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题评阅计分，本题共5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
11(1).（不等式选做题）对任意,的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
11(2).（坐标系与参数方程选做题）若以直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段的极坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
所以选A。
三. 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
12.10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________.
【答案】
【解析】
13.若曲线上点处的切线平行于直线，则点的坐标是________.
【答案】
【解析】
14. 已知单位向量与的夹角为，且，向量与的夹角为，则=
【答案】
【解析】
15.过点作斜率为的直线与椭圆：相交于，若是线段的中点，则椭圆的离心率为
【答案】
【解析】
三.简答题
16.已知函数，其中
（1）当时，求在区间上的最大值与最小值；
(2)若，求的值.
【解析】（1）,
.....................................................................3分
，..................................................................4分
；.....................................................................6分
(2)
又，................................................7分
，................................................8分
................................................10分
，又，所以..................12分
17、（本小题满分12分）
已知首项都是1的两个数列（），满足.
(1) 令，求数列的通项公式；
(2) 若，求数列的前n项和.
【解析】（1）
同时除以，得到............................................................2分
即：............................................................3分
所以，是首项为，公差为2的等差数列.......................................4分
所以，............................................................5分
(2) ，.............................................6分
...........................9分
两式相减得：
.....................11分
.....................12分
18、（本小题满分12分）
已知函数.
(1) 当时，求的极值；
(2) 若在区间上单调递增，求b的取值范围.
【解析】1）当时，的定义域为
令，解得
当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增；
所以，当时，取得极小值；当时，取得极大值。
（2） 在上单调递增且不恒等于0对x恒成立........................7分
..........................................8分
..........................................10分
..........................................11分
..........................................12分
19(本小题满分12分)
如图，四棱锥中，为矩形，平面平面.
（1） 求证：
（2） 若问为何值时，四棱锥的体积最大？并求此时平面与平面夹角的余弦值.
【解析】
解：（1）面面,面面=,
面..........................................2分
又面..........................................3分
..........................................4分
(2) 过P作,由（1）有面ABCD,
作,连接PM，作..........................................5分
设AB=x.
...7分
当即时，..........................................9分
如图建立空间直角坐标系，,,
,
,,
,..........................................10分
设面、面的法向量分别为，
设，则，
同理可得..........................................11分
平面与平面夹角的余弦值为。.......................................12分
20. （本小题满分13分）
如图，已知双曲线的右焦点,点分别在的两条渐近线上，轴，∥(为坐标原点）.
（1） 求双曲线的方程；
（2） 过上一点的直线与直线相交于点，与直线相交于点，证明点在上移动时，恒为定值，并求此定值
【答案】（1） （2）
【解析】(1)A(),B()
且，即， ................................. 4分
即.............................................................................. 6分
（2） A(2，)，，F（2,0），
M(2，)，N(，)......................................................... 9分
................................................................................. 13分
21. （满分14分）随机将这个连续正整数分成A,B两组，每组n个数，A组最小数为，最大数为；B组最小数为，最大数为，记
（1） 当时，求的分布列和数学期望；
（2） 令C表示事件与的取值恰好相等，求事件C发生的概率；
对（2）中的事件C,表示C的对立事件，判断和的大小关系，并说明理由。
【解析】（1）随机变量的取值所有可能是：2，3，4，5
；
的分布列为：
2 3 4 5 所以，的数学期望为
2）事件与的取值恰好相等的基本事件：
共
时，
3）因为，所以要比较与的大小，实际上要比较与的大小， 由可知，
当时，
当时，
