2014年高考真题——文科数学（江西卷）解析版1 Word版含答案
2023-12-13 06:04:40
2014年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）
数学（文科）
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数满足（为虚数单位），则=（ ）
【答案】C
【解析】：设Z=a+bi
则(a+bi)( 1+i)=
(a-b)( a+b)i=2i
a-b=0 a+b=2
解得 a=1 b=1
Z=1+1i ==
2.设全集为，集合，则( )
【答案】C
【解析】 ，所以
3．掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（ ）
【答案】B
【解析】点数之和为5的基本事件有：（1,4）（4,1）（2,3）（3,2），所以概率为=
4. 已知函数，若，则（ ）
【答案】A
【解析】，，所以解得
5.在在中，内角A,B,C所对应的边分别为，若，则的值为（ ）
【答案】D
【解析】
6.下列叙述中正确的是（ ）
若，则的充分条件是
若，则的充要条件是
命题"对任意，有"的否定是"存在，有"
是一条直线，是两个不同的平面，若，则
【答案】D
【解析】当时，A是正确的；当时，B是错误的；命题"对任意，有"的否定是"存在，有"，所以C是错误的。所以选择D。
7.某人研究中学生的性别与成绩、学科 网视力、智商、阅读量这4个变量之间的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，泽宇性别有关联的可能性最大的变量是（ ）
A. 成绩 B.视力 C.智商 D.阅读量
【答案】D
【解析】，，，。分析判断最大，所以选择D。
8.阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（ ）
A.7 B.9 C.10 D.11
【答案】B
【解析】当时，>-1,
,>-1,
,>-1
,>-1
,<-1
所以输出
9. 过双曲线的右顶点作轴的垂线与的一条渐近线相交于.若以的右焦点为圆心、半径为4的圆经过则双曲线的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】以的右焦点为圆心、半径为4的圆经过则c=4.且.设右顶点为B，C，,,又。得所以双曲线方程。
10.在同一直角坐标系中，函数的图像不可能的是（ ）
【答案】B
【解析】当时，D符合；当时，函数的对称轴为，对函数，求导得，令,.所以对称轴介于两个极值点，之间，所以B是错误的。所以选择B。
二、 填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 若曲线处的切线平行于直线的坐标是_______.
【答案】(e,e)
【解析】
切线斜率K=2 则， ，
所以 P(e,e)
12. 已知单位向量_______.
【答案】3
【解析】
解得
13. 在等差数列中，，公差为，前项和为，当且仅当时取最大值，
则的取值范围_________.
【答案】
【解析】 因为，当且仅当时取最大值，可知且同时满足，
所以，，易得
14. 设椭圆的左右焦点为，作作轴的垂线与交于
两点，与轴交于点，若，则椭圆的离心率等于________.
【答案】
【解析】 因为为椭圆的通径，所以，则由椭圆的定义可知： ，
又因为，则，即，得，又离心率，结合
得到：
15. ，若，则的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
要使
只能
0
三、解答题：本大题共6小题，学 科网共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16. （本小题满分12分）
已知函数为奇函数，且，其中
.
（1） 求的值；
（2） 若，求的值.
【解析】解;(1)
,,..........................................2分
函数为奇函数
..........................................4分
..........................................5分
(2) 有（1）得..................7分
..........................................8分
，..........................................10分
..............................12分
17. （本小题满分12分）
已知数列的前项和.
（1） 求数列的通项公式；
（2） 证明：对任意，都有，使得成等比数列.
解析：（1）当时
当时
检验 当时
（2）使成等比数列. 则
即满足
所以
则对任意，都有
所以对任意，都有，使得成等比数列.
18.（本小题满分12分）
已知函数，其中.
（1）当时，求的单调递增区间;
（2）若在区间上的最小值为8，求的值.
【解析】解:（1）当时，，
的定义域为
=
令得
所以当时，的单调递增区间为
（2)
令，得
，
所以，在区间上，，的单调递增；
在区间上，，的单调递减；
又易知，且
①当时，即时，在区间上的最小值为，由=8，得,均不符合题意。
②当时，即时，在区间上的最小值为，不符合题意
③当时，即时，在区间上的最小值可能为或处取到，而，
，得或（舍去），当时，在区间上单调递减，在区间上的最小值符合题意，
综上，
19.（本小题满分12分）
如图，三棱柱中，.
（1）求证：；
（2）若，问为何值时，三棱柱体积最大，并求此最大值。
19.（1）证明：三棱柱中，
，
又
且
又
又
(4分)
（2）设在Rt△中，
同理，,在△中
=
=，（6分）
所以，（7分）
从而三棱柱的体积(8分)
因==（10分）
故当即体积V取到最大值（12分）
试题分析：本题第一小问考查了立体几何空间垂直关系，属于容易题，大部分考生可以轻松解决，第二小问考查了棱柱体积的求法并且与解三角形和二次函数结合考查最值问题，有一定的综合性，属于中档题，解决该类问题关键在于合适的引入变量，建立函数模型，另外在计算过程中应谨慎小心，避免粗心。
20. （本小题满分13分 ）
如图，已知抛物线，过点任作一直线与相交于两点，过点作轴的平行线与直线相交于点（为坐标原点）.
（1） 证明：动点在定直线上；
（2） 作的任意一条切线（不含轴）与直线相交于点，与（1）中的定直线相交于点，证明：为定值，并求此定值.
20（1）解：根据题意可设AB方程为y=kx+2,代入，得，
即，设A，B，则有：=-8，（2分）
直线AO的方程为；BD的方程为，解得交点D的坐标为
（4分）
，注意到=-8及，则有y===-2，（5分）
因此D点在定直线y=-2上（）（6分）
（2）依据题设，切线l的斜率存在且不等于0，设切线l的方程为y=ax+b
代入得,即，由=0得
化简整理得，（8分）
故切线l的方程可写为.分别令y=2、y=-2得
的坐标为，（11分）
则
即为定值8.（13分）
试题分析：本题考查了直线与抛物线的位置关系，对学生的分析和转化能力要求较高，解决该类问题应抓住问题的实质，充分合理的运用已知条件是解决该题的关键。
21. （本小题满分14分）
将连续正整数从小到大排列构成一个数，为这个数的位数（如时，此数为，共有15个数字，），现从这个数中随机取一个数字，为恰好取到0的概率.
（1） 求；
（2） 当时，求的表达式；
（3）令为这个数字0的个数，为这个数中数字9的个数，，，求当时的最大值.
21.解：（1）当n=100时，这个数中总共有192个数字，其中数字0的个数为11，所以恰好取到0的概率为p（100）=;（2分）
(2)（5分）
（3）当n=b（）,g(n)=0；
当n=10k+bg(n)=k;
n=100时g(n)=11，即（8分）
同理有（10分）
由h（n）=f（n）-g（n）=1，可知n=9,19,29,29,49,59,69,79,89,90
所以当时，S=（11分）
当n=9时，p（9）=0，
当n=90，p（90）==
当n=10k+9（）时，p（n）=（13分）
由y=关于k单调递增，故当当n=10k+9（）时，
P（n）的最大值为p（89）=，又,所以最大植为.（14分）
试题分析：本题为信息题，也是本卷的压轴题，考查学生认识问题、分析问题、解决问题的能力，本题的命题新颖，对学生能力要求较高，难度较大，解决本题的关键首先在于审清题意，搞清楚、p（n）的含义，这样就可以解决前两问，同时为第三问做好铺垫，第三问在前两问的基础上再加以深入，考查学生综合分析问题的能力。本题由易到难，层层深入，是一道难得的好题.
数学（文科）
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数满足（为虚数单位），则=（ ）
【答案】C
【解析】：设Z=a+bi
则(a+bi)( 1+i)=
(a-b)( a+b)i=2i
a-b=0 a+b=2
解得 a=1 b=1
Z=1+1i ==
2.设全集为，集合，则( )
【答案】C
【解析】 ，所以
3．掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（ ）
【答案】B
【解析】点数之和为5的基本事件有：（1,4）（4,1）（2,3）（3,2），所以概率为=
4. 已知函数，若，则（ ）
【答案】A
【解析】，，所以解得
5.在在中，内角A,B,C所对应的边分别为，若，则的值为（ ）
【答案】D
【解析】
6.下列叙述中正确的是（ ）
若，则的充分条件是
若，则的充要条件是
命题"对任意，有"的否定是"存在，有"
是一条直线，是两个不同的平面，若，则
【答案】D
【解析】当时，A是正确的；当时，B是错误的；命题"对任意，有"的否定是"存在，有"，所以C是错误的。所以选择D。
7.某人研究中学生的性别与成绩、学科 网视力、智商、阅读量这4个变量之间的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，泽宇性别有关联的可能性最大的变量是（ ）
A. 成绩 B.视力 C.智商 D.阅读量
【答案】D
【解析】，，，。分析判断最大，所以选择D。
8.阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（ ）
A.7 B.9 C.10 D.11
【答案】B
【解析】当时，>-1,
,>-1,
,>-1
,>-1
,<-1
所以输出
9. 过双曲线的右顶点作轴的垂线与的一条渐近线相交于.若以的右焦点为圆心、半径为4的圆经过则双曲线的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】以的右焦点为圆心、半径为4的圆经过则c=4.且.设右顶点为B，C，,,又。得所以双曲线方程。
10.在同一直角坐标系中，函数的图像不可能的是（ ）
【答案】B
【解析】当时，D符合；当时，函数的对称轴为，对函数，求导得，令,.所以对称轴介于两个极值点，之间，所以B是错误的。所以选择B。
二、 填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 若曲线处的切线平行于直线的坐标是_______.
【答案】(e,e)
【解析】
切线斜率K=2 则， ，
所以 P(e,e)
12. 已知单位向量_______.
【答案】3
【解析】
解得
13. 在等差数列中，，公差为，前项和为，当且仅当时取最大值，
则的取值范围_________.
【答案】
【解析】 因为，当且仅当时取最大值，可知且同时满足，
所以，，易得
14. 设椭圆的左右焦点为，作作轴的垂线与交于
两点，与轴交于点，若，则椭圆的离心率等于________.
【答案】
【解析】 因为为椭圆的通径，所以，则由椭圆的定义可知： ，
又因为，则，即，得，又离心率，结合
得到：
15. ，若，则的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
要使
只能
0
三、解答题：本大题共6小题，学 科网共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16. （本小题满分12分）
已知函数为奇函数，且，其中
.
（1） 求的值；
（2） 若，求的值.
【解析】解;(1)
,,..........................................2分
函数为奇函数
..........................................4分
..........................................5分
(2) 有（1）得..................7分
..........................................8分
，..........................................10分
..............................12分
17. （本小题满分12分）
已知数列的前项和.
（1） 求数列的通项公式；
（2） 证明：对任意，都有，使得成等比数列.
解析：（1）当时
当时
检验 当时
（2）使成等比数列. 则
即满足
所以
则对任意，都有
所以对任意，都有，使得成等比数列.
18.（本小题满分12分）
已知函数，其中.
（1）当时，求的单调递增区间;
（2）若在区间上的最小值为8，求的值.
【解析】解:（1）当时，，
的定义域为
=
令得
所以当时，的单调递增区间为
（2)
令，得
，
所以，在区间上，，的单调递增；
在区间上，，的单调递减；
又易知，且
①当时，即时，在区间上的最小值为，由=8，得,均不符合题意。
②当时，即时，在区间上的最小值为，不符合题意
③当时，即时，在区间上的最小值可能为或处取到，而，
，得或（舍去），当时，在区间上单调递减，在区间上的最小值符合题意，
综上，
19.（本小题满分12分）
如图，三棱柱中，.
（1）求证：；
（2）若，问为何值时，三棱柱体积最大，并求此最大值。
19.（1）证明：三棱柱中，
，
又
且
又
又
(4分)
（2）设在Rt△中，
同理，,在△中
=
=，（6分）
所以，（7分）
从而三棱柱的体积(8分)
因==（10分）
故当即体积V取到最大值（12分）
试题分析：本题第一小问考查了立体几何空间垂直关系，属于容易题，大部分考生可以轻松解决，第二小问考查了棱柱体积的求法并且与解三角形和二次函数结合考查最值问题，有一定的综合性，属于中档题，解决该类问题关键在于合适的引入变量，建立函数模型，另外在计算过程中应谨慎小心，避免粗心。
20. （本小题满分13分 ）
如图，已知抛物线，过点任作一直线与相交于两点，过点作轴的平行线与直线相交于点（为坐标原点）.
（1） 证明：动点在定直线上；
（2） 作的任意一条切线（不含轴）与直线相交于点，与（1）中的定直线相交于点，证明：为定值，并求此定值.
20（1）解：根据题意可设AB方程为y=kx+2,代入，得，
即，设A，B，则有：=-8，（2分）
直线AO的方程为；BD的方程为，解得交点D的坐标为
（4分）
，注意到=-8及，则有y===-2，（5分）
因此D点在定直线y=-2上（）（6分）
（2）依据题设，切线l的斜率存在且不等于0，设切线l的方程为y=ax+b
代入得,即，由=0得
化简整理得，（8分）
故切线l的方程可写为.分别令y=2、y=-2得
的坐标为，（11分）
则
即为定值8.（13分）
试题分析：本题考查了直线与抛物线的位置关系，对学生的分析和转化能力要求较高，解决该类问题应抓住问题的实质，充分合理的运用已知条件是解决该题的关键。
21. （本小题满分14分）
将连续正整数从小到大排列构成一个数，为这个数的位数（如时，此数为，共有15个数字，），现从这个数中随机取一个数字，为恰好取到0的概率.
（1） 求；
（2） 当时，求的表达式；
（3）令为这个数字0的个数，为这个数中数字9的个数，，，求当时的最大值.
21.解：（1）当n=100时，这个数中总共有192个数字，其中数字0的个数为11，所以恰好取到0的概率为p（100）=;（2分）
(2)（5分）
（3）当n=b（）,g(n)=0；
当n=10k+bg(n)=k;
n=100时g(n)=11，即（8分）
同理有（10分）
由h（n）=f（n）-g（n）=1，可知n=9,19,29,29,49,59,69,79,89,90
所以当时，S=（11分）
当n=9时，p（9）=0，
当n=90，p（90）==
当n=10k+9（）时，p（n）=（13分）
由y=关于k单调递增，故当当n=10k+9（）时，
P（n）的最大值为p（89）=，又,所以最大植为.（14分）
试题分析：本题为信息题，也是本卷的压轴题，考查学生认识问题、分析问题、解决问题的能力，本题的命题新颖，对学生能力要求较高，难度较大，解决本题的关键首先在于审清题意，搞清楚、p（n）的含义，这样就可以解决前两问，同时为第三问做好铺垫，第三问在前两问的基础上再加以深入，考查学生综合分析问题的能力。本题由易到难，层层深入，是一道难得的好题.
