2014年高考真题——文科数学（陕西卷）精校版 Word版含答案
2023-12-05 03:23:55
2 0 1 4年 全 国 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试
上海 数学试卷（文史类）
考生注意：
1、本试卷共4页，23道试题，满分150分。考试时间120分钟。
2、本考试分设试卷和答题纸。试卷包括试题与答题要求。作答必须涂（选择题）或写
（非选择题）在答题纸上。在试卷上作答一律不得分。
3、答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对
后的条形码贴在指定位置上，在答题纸正面清楚地填写姓名。
一、 填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1.函数
2.若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则=___________.
3.设常数a∈R，函数。若,则___________.
4.若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为___________.
5.某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名。为了了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样。若高三抽取20名学生，则高一、高二共需抽取的学生数为___________.
6. 若实数x,y满足xy=1,则+的最小值为______________.
7. 若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为 （结果用反三角函数值表示）。
8.在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如右图，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于______________.
9.设若是的最小值，的取值范围为__________.
10. 设无穷等比数列{}的公比为q，若，则q= 。
11. 若，则满足的取值范围是 。
12.方程在区间上的所有解的和等于 。
13.为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是 （结果用最简分数表示）。
14.已知曲线C：，直线l：x=6。若对于点A（m，0）,存在C上的点P和l上的点Q使得，则m的取值范围为 。
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的 相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。
15. 设,则""是""的（ ）
（A） 充分非必要条件 （B）必要非充分条件
（C）充要条件 （D）既非充分也非必要条件
16.已知互异的复数满足，集合，则=（ ）
（A）2 （B）1 （C）0 （D）-1
17.如图，四个边长为1的正方形排成一个正四棱柱，AB是大正方形的一条边，是小正方形的其余的顶点，则的不同值的个数为（ ）
（A）7 (B)5 (C)3 (D)1
18.已知与是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（）
（A） 无论k，如何，总是无解 （B)无论k，如何，总有唯一解
（C）存在k，，使之恰有两解 （D）存在k，，使之有无穷多解
19. （本题满分12分）
底面边长为2的正三棱锥P-ABC，其表面展开图是三角形P1P2P3，如图，求ΔP1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V。
20. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。
设常数a≥0，函数f（x）=。
（1）若a=4，求函数y=f（x）的反函数y=f -2（x）；
（2）根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由。
21. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。
如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C出建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米。设点A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为α和β。
（1）设计中CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD的长至少为多少（结果精确到0.01米）？
（2）施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得α=38.12°，β=18.45°，求CD的长（结果精确到0.01米）。
22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分。
在平面直角坐标系xOy中，对于直线I：ax+by+c=0和点P1（x1，y1），P2（x2，y2），记η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），若η<0，则称点P1，P2被直线I分隔，若曲线C与直线I没有公共点，且曲线C上存在点P1，P2被直线I分割，则称直线I为曲线C的一条分隔线。
（1）求证：点A（1，2），B（-1,0）被直线x+y-1=0分隔；
（2）若直线y=kx是曲线x2-4y2=1的分隔线，求实数k的取值范围；
（3）动点M到点Q（0，2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为E，求E的方程，并证明y轴为曲线E的分隔线。
23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分。
已知数列{}满足≤+1≤，nN*，a1=1。
（1）若a1=2，a2=x，a3=9，求x的取值范围；
（2）若{}是等比数列，且=，求正整数m的最小值，以及m取最小值时相应{}的公比；
（3）若a1，a2，...，a100成等差数列，求数列a1，a2，...，a100的公差的取值范围。
参考答案
一、（第1题至第14题）
1. 2. 6 3. 3 4. 5. 70 6. 7.
8．24 9. (] 10. 11. (0.1) 12. 13. 14.[2,3]
二、（第15题至第18题）
题号 15 16 17 18 答案 D D C B 三、（第19题至第23题）
19.解：在中，，所以AC是中位线，
故
同理，所以是等边三角形，各边长均为4。
边Q是的中心，则PQ平面ABC，
所以
从而，
20. 解：（1）因为，所以.
得,且
因此，所求反函数为或
（Ⅱ）当时，定义域为R，故函数为偶函数；
当时，定义域为
故函数是奇函数；
当且时，定义域为关于原点不对称，故函数
既不是奇函数，也不是偶函数。
21. 解：（1）记CD=h.根据已知得
所以
解得因此，CD的长至少约为38.28米。
（2） 在中，由已知，
由正弦定理得解得BD≈85.064.
在中，由余弦定理得
解得，所以，CD的长约为26.93米。
22. [证]（1）因为，所以点被直线分隔。
[解]（2）直线与曲线有公共点的充要条件是方程组有解，即因为直线是曲线上的分割点，故它们没有公共点，
即
当时，对于直线，曲线上的点（-1,0）和（1,0）满足
，即点（-1,0）和（1,0）被分割。
故实数k的取值范围是
[证]（3）设M的坐标为，
则曲线E的方程为，即.
对任意的不是上述方程的解，记y轴与曲线E没有公共点。
又曲线E上的点（-1,2）和（1,2）对于y轴满足，即点（-1,2）和（1,2）被y轴分割，
所以y轴为曲线E的分割线。
23. [解]（1）由条件得且，解得.
所以x的取值范围是[3,6].
（2）设{}的公比为q.由，且，得
因为，所以
从而，解得
时，.
所以，m的最小值为8，m=8时，{}的公比为。
（3） 设数列的公差为
则
○1 当时，，所以，即
○2当时，，符合条件.
○3当时，，所以
又，所以
综上，的公差的去直范围为
上海 数学试卷（文史类）
考生注意：
1、本试卷共4页，23道试题，满分150分。考试时间120分钟。
2、本考试分设试卷和答题纸。试卷包括试题与答题要求。作答必须涂（选择题）或写
（非选择题）在答题纸上。在试卷上作答一律不得分。
3、答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对
后的条形码贴在指定位置上，在答题纸正面清楚地填写姓名。
一、 填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1.函数
2.若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则=___________.
3.设常数a∈R，函数。若,则___________.
4.若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为___________.
5.某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名。为了了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样。若高三抽取20名学生，则高一、高二共需抽取的学生数为___________.
6. 若实数x,y满足xy=1,则+的最小值为______________.
7. 若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为 （结果用反三角函数值表示）。
8.在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如右图，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于______________.
9.设若是的最小值，的取值范围为__________.
10. 设无穷等比数列{}的公比为q，若，则q= 。
11. 若，则满足的取值范围是 。
12.方程在区间上的所有解的和等于 。
13.为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是 （结果用最简分数表示）。
14.已知曲线C：，直线l：x=6。若对于点A（m，0）,存在C上的点P和l上的点Q使得，则m的取值范围为 。
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的 相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。
15. 设,则""是""的（ ）
（A） 充分非必要条件 （B）必要非充分条件
（C）充要条件 （D）既非充分也非必要条件
16.已知互异的复数满足，集合，则=（ ）
（A）2 （B）1 （C）0 （D）-1
17.如图，四个边长为1的正方形排成一个正四棱柱，AB是大正方形的一条边，是小正方形的其余的顶点，则的不同值的个数为（ ）
（A）7 (B)5 (C)3 (D)1
18.已知与是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（）
（A） 无论k，如何，总是无解 （B)无论k，如何，总有唯一解
（C）存在k，，使之恰有两解 （D）存在k，，使之有无穷多解
19. （本题满分12分）
底面边长为2的正三棱锥P-ABC，其表面展开图是三角形P1P2P3，如图，求ΔP1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V。
20. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。
设常数a≥0，函数f（x）=。
（1）若a=4，求函数y=f（x）的反函数y=f -2（x）；
（2）根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由。
21. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。
如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C出建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米。设点A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为α和β。
（1）设计中CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD的长至少为多少（结果精确到0.01米）？
（2）施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得α=38.12°，β=18.45°，求CD的长（结果精确到0.01米）。
22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分。
在平面直角坐标系xOy中，对于直线I：ax+by+c=0和点P1（x1，y1），P2（x2，y2），记η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），若η<0，则称点P1，P2被直线I分隔，若曲线C与直线I没有公共点，且曲线C上存在点P1，P2被直线I分割，则称直线I为曲线C的一条分隔线。
（1）求证：点A（1，2），B（-1,0）被直线x+y-1=0分隔；
（2）若直线y=kx是曲线x2-4y2=1的分隔线，求实数k的取值范围；
（3）动点M到点Q（0，2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为E，求E的方程，并证明y轴为曲线E的分隔线。
23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分。
已知数列{}满足≤+1≤，nN*，a1=1。
（1）若a1=2，a2=x，a3=9，求x的取值范围；
（2）若{}是等比数列，且=，求正整数m的最小值，以及m取最小值时相应{}的公比；
（3）若a1，a2，...，a100成等差数列，求数列a1，a2，...，a100的公差的取值范围。
参考答案
一、（第1题至第14题）
1. 2. 6 3. 3 4. 5. 70 6. 7.
8．24 9. (] 10. 11. (0.1) 12. 13. 14.[2,3]
二、（第15题至第18题）
题号 15 16 17 18 答案 D D C B 三、（第19题至第23题）
19.解：在中，，所以AC是中位线，
故
同理，所以是等边三角形，各边长均为4。
边Q是的中心，则PQ平面ABC，
所以
从而，
20. 解：（1）因为，所以.
得,且
因此，所求反函数为或
（Ⅱ）当时，定义域为R，故函数为偶函数；
当时，定义域为
故函数是奇函数；
当且时，定义域为关于原点不对称，故函数
既不是奇函数，也不是偶函数。
21. 解：（1）记CD=h.根据已知得
所以
解得因此，CD的长至少约为38.28米。
（2） 在中，由已知，
由正弦定理得解得BD≈85.064.
在中，由余弦定理得
解得，所以，CD的长约为26.93米。
22. [证]（1）因为，所以点被直线分隔。
[解]（2）直线与曲线有公共点的充要条件是方程组有解，即因为直线是曲线上的分割点，故它们没有公共点，
即
当时，对于直线，曲线上的点（-1,0）和（1,0）满足
，即点（-1,0）和（1,0）被分割。
故实数k的取值范围是
[证]（3）设M的坐标为，
则曲线E的方程为，即.
对任意的不是上述方程的解，记y轴与曲线E没有公共点。
又曲线E上的点（-1,2）和（1,2）对于y轴满足，即点（-1,2）和（1,2）被y轴分割，
所以y轴为曲线E的分割线。
23. [解]（1）由条件得且，解得.
所以x的取值范围是[3,6].
（2）设{}的公比为q.由，且，得
因为，所以
从而，解得
时，.
所以，m的最小值为8，m=8时，{}的公比为。
（3） 设数列的公差为
则
○1 当时，，所以，即
○2当时，，符合条件.
○3当时，，所以
又，所以
综上，的公差的去直范围为
