【真题】2018年北京市高考数学（理）试题含答案解析
2023-11-29 06:28:49
2018年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数学（理工类）
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1．若集合，，则
（A） （B）（C）（D）
2.在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于
（A）第一象限 （B）第二象限
（C）第三象限 （D）第四象限
3．执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）．
A．
B．
C．
D．
4．"十二平均律"是通用的音律体系，明代朱载肿钤缬檬学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要的贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为，则第八个单音的频率为（ ）．21・・jy・com
A．
B．
C．
D．
5．某四棱锥的三视图如图所示，在此三棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（ ）．
A．
B．
C．
D．
6.设均为单位向量，则""是""的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
7. 在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离.当变化时，的最大值为
（A） （B）2 （C）3 （D）4
8. 设集合，则
对任意实数， 对任意实数，
当且仅当时， 当且仅当时，
二.填空
（9）设是等差数列，且，，则的通项公式为 。
（10）在极坐标系中，直线与圆 相切，则 。
（11）设函数 。若对任意的实数都成立，则的最小值为 。
（12）若 满足 ，则的最小值是 。
（13）能说明"若对任意的都成立，则在上是增函数"为假命题的一个函数是 。
（14）已知椭圆，双曲线。若双曲线的两条渐近线与椭圆的四个交点及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆的离心率为 ；双曲线的离心率为 。
三．解答题
（15）（本小题13分）
在，，，。
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求边上的高。
（16）（本小题14分）
如图，在三棱柱中，平面,,,,分别为,,,的中点，,.
（I）求证：平面;
（II）求二面角的余弦值；
（III）证明：直线与平面相交.
（16）（本小题12分）
电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数 好评率 好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值
假设所有电影是否获得好评相互独立
（）从电影公司收集的电影中随机选取部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
（）从第四类电影和第五类电影中各随机选取部，估计恰有部获得好评的概率；
（）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用""表示第类电影得到人们喜欢，"" 表示第类电影没有得到人们喜欢（）.写出方差的大小关系【21・世纪・教育・网】
（18）（本小题13分）
设函数，
（1）若曲线在点处的切线方程与轴平行，求；
（2）若在处取得极小值，求的取值范围．
（19）（本小题14分）
已知抛物线经过点．过点的直线与抛物线有两个
不同的交点，，且直线交轴于，直线交轴于．
（1）求直线的斜率的取值范围；
（2）设为原点，，，求证：为定值．
20.（本小题14分）
设为正整数，集合.对于集合中的任意元素和，记
当时，若，求和的值；
当时，设是的子集，且满足：对于中的任意元素，当相同时，是奇数；当不同时，是偶数.求集合中元素个数的最大值；
给定不小于的，设是的子集，且满足：对于中的任意两个不同的元素，.写出一个集合，使其元素个数最多，并说明理由.2・1・c・n・j・y
答案：
一. 选择题
1. 【答案】A
2. 【答案】D
，
则，故的共轭复数在第四象限，
故选
3. 【答案】
【解析】根据程序框图可知，开始，，
执行，，此时不成立，循环，
，，此时成立，结束，
输出．
故选．
4. 【答案】
【解析】根据题意可得，此十三个单音形成一个以为首项，为公比的等比数列，
故第八个单音的频率为．
故选．
5. 【答案】
【解析】由三视图可知，此四棱锥的直观图如图所示，
在正方体中，,,均为直角三角形，
,,，故不是直角三角形．
故选．
6. 【答案】 C
【解析】 充分性：，
，
又，可得，故.
必要性：，故，
所以，
所以．
7. 【答案】
【解析】：，所以点的轨迹是圆。
直线恒过点。
转化为圆心到直线的距离加上半径取到最大值，所以答案为3.
8. 【答案】：D
【解析】：若，则。
则当时，； 当时， 选D
二.填空题
9．答案：
解析：由题知，设等差数列公差为，所以：，即，解得，所以。
10． 答案：
解析：
直线方程转化为 即
圆的方程转化为 即 、
直线与圆相切
解得
11. 答案：
解析：由题知：，即，所以，
解得:，，所以时，。
12．答案：3
解析：将不等式转换成线性规划，即
目标函数
如右图在 处取最小值
13. 答案：，
解析：函数需要满足在上的最小值为，并且在上不单调。选取开口向下，对称轴在上的二次函数均可，其余正确答案也正确。
14. 【答案】：，
【解析】：设正六边形边长为；根据椭圆的定义，，
双曲线的渐近线方程为，，所以。
三.解答题
15. 【解析】
（Ⅰ ），，所以为钝角，；
由正弦定理：，所以，
所以；或者；
又，为钝角，所以为锐角，所以。
（Ⅱ），，
三角形的面积，设边上的高为，，所以，即边上的高为。
16. 【解析】
（I）证明：∵，且是的中点，
∴,
∵在三棱柱中，,分别是,的中点，
∴
∵平面，
∴平面,
∵平面，
∴,
∵,平面,
∴平面.
（II）由（I）知，，，,
∴以为原点，,,分别为轴，轴，轴
建立如图所示空间直角坐标系，
则有，,,,
，
设平面的法向量，
∴,即，
∴，.
易知平面法向量
∴，
由图可知，二面角的平面角为钝角，
∴二面角的余弦值.
（III）方法一：
∵,,∴
∵平面的法向量，
设直线与平面的夹角为，
∴，
∴
∴直线与平面相交.
方法二：
假设直线与平面平行，
∵设与的交点为,连结，
∵平面,且平面平面,
∴,
∵,
∴四边形为平行四边形，
∴,易知，
∴假设不成立，
∴直线与平面相交.
17. 【解析】（）由表格可知电影的总部数
获得好评的第四类电影
设从收集的电影中选部，是获得好评的第四类电影为事件,则
（）由表格可得获得好评的第五类电影
第五类电影总数为 未获得好评的第五类电影
第四类电影总数为 未获得好评的第四类定影
设从第四类电影和第五类电影中各随机选取部，估计恰有部获得好评为事件
则
（）
18. 【解析】（1）函数定义域为，
，
若函数在处切线与轴平行，则
，即．
（2）由（1）可知，
①当时，令，，
极大值 不满足题意；
当时，令，或，
②当时，即，
极小值 极大值 不满足题意；
③当时，
1）当，即时，，函数无极值点；
2）当，即时，
极大值 极小值 满足题意；
3）当，即时，
极大值 极小值 不满足题意．
综上所述，若在处取得极小值，．
19. 【解析】（1）由已知可得，所以抛物线的方程为．
令，，
直线显然不能与轴垂直，令其方程为，
带入整理得，
即．
所以由已知可得，解得且．
所以直线的斜率的取值范围为．
（2）由（1）知，．
而点，均在抛物线上，所以，．
因为直线与直线与轴相交，
则直线与直线的斜率均存在，即，．
因为，
所以直线的方程为，
令，可得，即．
同理可得．
而由可得，，所以．
同理由可得，，所以．
所以
．
20. 【解析】
解：（Ⅰ）,
（Ⅱ）
，因为为奇数，则α有1项或3项为1，其余为0，所以理论上元素个数最多有个。
因为为偶数，则两者同为1的项数为0或者2（若为4，则α与β相同）。
综上，最大个数为4，
或者
。
易知以上两种情况都可以满足题意，且一种情况集合中的元素与另一种情况集合中的元素结合，不满足题意，故最大个数为4.21教育网
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，任两不同的元素α与β满足，
则α与β无同一位置同为1.
∴元素个数最大为,
数学（理工类）
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1．若集合，，则
（A） （B）（C）（D）
2.在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于
（A）第一象限 （B）第二象限
（C）第三象限 （D）第四象限
3．执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）．
A．
B．
C．
D．
4．"十二平均律"是通用的音律体系，明代朱载肿钤缬檬学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要的贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为，则第八个单音的频率为（ ）．21・・jy・com
A．
B．
C．
D．
5．某四棱锥的三视图如图所示，在此三棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（ ）．
A．
B．
C．
D．
6.设均为单位向量，则""是""的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
7. 在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离.当变化时，的最大值为
（A） （B）2 （C）3 （D）4
8. 设集合，则
对任意实数， 对任意实数，
当且仅当时， 当且仅当时，
二.填空
（9）设是等差数列，且，，则的通项公式为 。
（10）在极坐标系中，直线与圆 相切，则 。
（11）设函数 。若对任意的实数都成立，则的最小值为 。
（12）若 满足 ，则的最小值是 。
（13）能说明"若对任意的都成立，则在上是增函数"为假命题的一个函数是 。
（14）已知椭圆，双曲线。若双曲线的两条渐近线与椭圆的四个交点及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆的离心率为 ；双曲线的离心率为 。
三．解答题
（15）（本小题13分）
在，，，。
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求边上的高。
（16）（本小题14分）
如图，在三棱柱中，平面,,,,分别为,,,的中点，,.
（I）求证：平面;
（II）求二面角的余弦值；
（III）证明：直线与平面相交.
（16）（本小题12分）
电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数 好评率 好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值
假设所有电影是否获得好评相互独立
（）从电影公司收集的电影中随机选取部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
（）从第四类电影和第五类电影中各随机选取部，估计恰有部获得好评的概率；
（）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用""表示第类电影得到人们喜欢，"" 表示第类电影没有得到人们喜欢（）.写出方差的大小关系【21・世纪・教育・网】
（18）（本小题13分）
设函数，
（1）若曲线在点处的切线方程与轴平行，求；
（2）若在处取得极小值，求的取值范围．
（19）（本小题14分）
已知抛物线经过点．过点的直线与抛物线有两个
不同的交点，，且直线交轴于，直线交轴于．
（1）求直线的斜率的取值范围；
（2）设为原点，，，求证：为定值．
20.（本小题14分）
设为正整数，集合.对于集合中的任意元素和，记
当时，若，求和的值；
当时，设是的子集，且满足：对于中的任意元素，当相同时，是奇数；当不同时，是偶数.求集合中元素个数的最大值；
给定不小于的，设是的子集，且满足：对于中的任意两个不同的元素，.写出一个集合，使其元素个数最多，并说明理由.2・1・c・n・j・y
答案：
一. 选择题
1. 【答案】A
2. 【答案】D
，
则，故的共轭复数在第四象限，
故选
3. 【答案】
【解析】根据程序框图可知，开始，，
执行，，此时不成立，循环，
，，此时成立，结束，
输出．
故选．
4. 【答案】
【解析】根据题意可得，此十三个单音形成一个以为首项，为公比的等比数列，
故第八个单音的频率为．
故选．
5. 【答案】
【解析】由三视图可知，此四棱锥的直观图如图所示，
在正方体中，,,均为直角三角形，
,,，故不是直角三角形．
故选．
6. 【答案】 C
【解析】 充分性：，
，
又，可得，故.
必要性：，故，
所以，
所以．
7. 【答案】
【解析】：，所以点的轨迹是圆。
直线恒过点。
转化为圆心到直线的距离加上半径取到最大值，所以答案为3.
8. 【答案】：D
【解析】：若，则。
则当时，； 当时， 选D
二.填空题
9．答案：
解析：由题知，设等差数列公差为，所以：，即，解得，所以。
10． 答案：
解析：
直线方程转化为 即
圆的方程转化为 即 、
直线与圆相切
解得
11. 答案：
解析：由题知：，即，所以，
解得:，，所以时，。
12．答案：3
解析：将不等式转换成线性规划，即
目标函数
如右图在 处取最小值
13. 答案：，
解析：函数需要满足在上的最小值为，并且在上不单调。选取开口向下，对称轴在上的二次函数均可，其余正确答案也正确。
14. 【答案】：，
【解析】：设正六边形边长为；根据椭圆的定义，，
双曲线的渐近线方程为，，所以。
三.解答题
15. 【解析】
（Ⅰ ），，所以为钝角，；
由正弦定理：，所以，
所以；或者；
又，为钝角，所以为锐角，所以。
（Ⅱ），，
三角形的面积，设边上的高为，，所以，即边上的高为。
16. 【解析】
（I）证明：∵，且是的中点，
∴,
∵在三棱柱中，,分别是,的中点，
∴
∵平面，
∴平面,
∵平面，
∴,
∵,平面,
∴平面.
（II）由（I）知，，，,
∴以为原点，,,分别为轴，轴，轴
建立如图所示空间直角坐标系，
则有，,,,
，
设平面的法向量，
∴,即，
∴，.
易知平面法向量
∴，
由图可知，二面角的平面角为钝角，
∴二面角的余弦值.
（III）方法一：
∵,,∴
∵平面的法向量，
设直线与平面的夹角为，
∴，
∴
∴直线与平面相交.
方法二：
假设直线与平面平行，
∵设与的交点为,连结，
∵平面,且平面平面,
∴,
∵,
∴四边形为平行四边形，
∴,易知，
∴假设不成立，
∴直线与平面相交.
17. 【解析】（）由表格可知电影的总部数
获得好评的第四类电影
设从收集的电影中选部，是获得好评的第四类电影为事件,则
（）由表格可得获得好评的第五类电影
第五类电影总数为 未获得好评的第五类电影
第四类电影总数为 未获得好评的第四类定影
设从第四类电影和第五类电影中各随机选取部，估计恰有部获得好评为事件
则
（）
18. 【解析】（1）函数定义域为，
，
若函数在处切线与轴平行，则
，即．
（2）由（1）可知，
①当时，令，，
极大值 不满足题意；
当时，令，或，
②当时，即，
极小值 极大值 不满足题意；
③当时，
1）当，即时，，函数无极值点；
2）当，即时，
极大值 极小值 满足题意；
3）当，即时，
极大值 极小值 不满足题意．
综上所述，若在处取得极小值，．
19. 【解析】（1）由已知可得，所以抛物线的方程为．
令，，
直线显然不能与轴垂直，令其方程为，
带入整理得，
即．
所以由已知可得，解得且．
所以直线的斜率的取值范围为．
（2）由（1）知，．
而点，均在抛物线上，所以，．
因为直线与直线与轴相交，
则直线与直线的斜率均存在，即，．
因为，
所以直线的方程为，
令，可得，即．
同理可得．
而由可得，，所以．
同理由可得，，所以．
所以
．
20. 【解析】
解：（Ⅰ）,
（Ⅱ）
，因为为奇数，则α有1项或3项为1，其余为0，所以理论上元素个数最多有个。
因为为偶数，则两者同为1的项数为0或者2（若为4，则α与β相同）。
综上，最大个数为4，
或者
。
易知以上两种情况都可以满足题意，且一种情况集合中的元素与另一种情况集合中的元素结合，不满足题意，故最大个数为4.21教育网
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，任两不同的元素α与β满足，
则α与β无同一位置同为1.
∴元素个数最大为,
