2019年天津卷数学（理）高考真题试卷（word版，含答案）
2023-12-13 03:54:40
2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（理工类）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3-5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2.本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：
·如果事件、互斥，那么.
·如果事件、相互独立，那么.
·圆柱的体积公式，其中表示圆柱的底面面积，表示圆柱的高.
·棱锥的体积公式，其中表示棱锥的底面面积，表示棱锥的高.
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，则
A. B. C. D.
2.设变量满足约束条件则目标函数的最大值为
A.2 B.3 C.5 D.6
3.设，则""是""的
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的值为
A.5 B.8
C.24 D.29
5.已知抛物线的焦点为，准线为，若与双曲线的两条渐近线分别交于点和点，且（为原点），则双曲线的离心率为
A. B. C. D.
6.已知，，，则的大小关系为
A. B. C. D.
7.已知函数是奇函数，将的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为.若的最小正周期为，且，则
A. B. C. D.
8.已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2.本卷共12小题，共110分。
二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9.是虚数单位，则的值为 .
10.是展开式中的常数项为 .
11.已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为 .
12.设，直线和圆（为参数）相切，则的值为 .
13.设，则的最小值为 .
14.在四边形中，，点在线段的延长线上，且，则 .
三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
在中，内角所对的边分别为.已知，.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值.
16.（本小题满分13分）
设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.
（Ⅰ）用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；
（Ⅱ）设为事件"上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2"，求事件发生的概率.
17.（本小题满分13分）
如图，平面，，.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）若二面角的余弦值为，求线段的长.
18.（本小题满分13分）
设椭圆的左焦点为，上顶点为.已知椭圆的短轴长为4，离心率为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上.若（为原点），且，求直线的斜率.
19.（本小题满分14分）
设是等差数列，是等比数列.已知.
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）设数列满足其中.
（i）求数列的通项公式；
（ii）求.
20.（本小题满分14分）
设函数为的导函数.
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）当时，证明；
（Ⅲ）设为函数在区间内的零点，其中，证明.
2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（理工类）参考解答
一.选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分40分.
1.D 2.C 3.B 4.B 5.D 6.A
7.A 8.C
二.填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分30分.
9. 10. 11. 12. 13. 14.
三.解答题
15.本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力，满分13分.
（Ⅰ）解：在中，由正弦定理，得，又由，得，即.又因为，得到，.由余弦定理可得.
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得，从而，，故
，
16.本小题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.满分13分.
（Ⅰ）解：因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为，故，从而.
所以，随机变量的分布列为
0 1 2 3 随机变量的数学期望.
（Ⅱ）解：设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为，则，且.由题意知事件与互斥，且事件与，事件与均相互独立，从而由（Ⅰ）知
.
17.本小题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.满分13分.
依题意，可以建立以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系（如图），可得，.设，则.
（Ⅰ）证明：依题意，是平面的法向量，又，可得，又因为直线平面，所以平面.
（Ⅱ）解：依题意，.
设为平面的法向量，则即不妨令，
可得.因此有.
所以，直线与平面所成角的正弦值为.
（Ⅲ）解：设为平面的法向量，则即
不妨令，可得.
由题意，有，解得.经检验，符合题意.
所以，线段的长为.
18.本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识。考查用代数方法研究圆锥曲面的性质.考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力.满分13分.
（Ⅰ）解：设椭圆的半焦距为，依题意，，又，可得，.
所以，椭圆的方程为.
（Ⅱ）解：由题意，设.设直线的斜率为，又，则直线的方程为，与椭圆方程联立整理得，可得，代入得，进而直线的斜率.在中，令，得.由题意得，所以直线的斜率为.由，得，化简得，从而.
所以，直线的斜率为或.
19.本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其前项和公式等基础知识.考查化归与转化思想和数列求和的基本方法以及运算求解能力.满分14分.
（Ⅰ）解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为.依题意得解得故.
所以，的通项公式为的通项公式为.
（Ⅱ）（i）解：.
所以，数列的通项公式为.
（ii）解：
.
20.本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法.考查函数思想和化归与转化思想.考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力.满分14分.
（Ⅰ）解：由已知，有.因此，当时，有，得，则单调递减；当时，有，得，则单调递增.
所以，的单调递增区间为的单调递减区间为.
（Ⅱ）证明：记.依题意及（Ⅰ），有，从而.当时，，故
.
因此，在区间上单调递减，进而.
所以，当时，.
（Ⅲ）证明：依题意，，即.记，则，且.
由及（Ⅰ），得.由（Ⅱ）知，当时，，所以在上为减函数，因此.又由（Ⅱ）知，，故
.
所以，.
数学（理工类）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3-5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2.本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：
·如果事件、互斥，那么.
·如果事件、相互独立，那么.
·圆柱的体积公式，其中表示圆柱的底面面积，表示圆柱的高.
·棱锥的体积公式，其中表示棱锥的底面面积，表示棱锥的高.
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，则
A. B. C. D.
2.设变量满足约束条件则目标函数的最大值为
A.2 B.3 C.5 D.6
3.设，则""是""的
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的值为
A.5 B.8
C.24 D.29
5.已知抛物线的焦点为，准线为，若与双曲线的两条渐近线分别交于点和点，且（为原点），则双曲线的离心率为
A. B. C. D.
6.已知，，，则的大小关系为
A. B. C. D.
7.已知函数是奇函数，将的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为.若的最小正周期为，且，则
A. B. C. D.
8.已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2.本卷共12小题，共110分。
二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9.是虚数单位，则的值为 .
10.是展开式中的常数项为 .
11.已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为 .
12.设，直线和圆（为参数）相切，则的值为 .
13.设，则的最小值为 .
14.在四边形中，，点在线段的延长线上，且，则 .
三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
在中，内角所对的边分别为.已知，.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值.
16.（本小题满分13分）
设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.
（Ⅰ）用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；
（Ⅱ）设为事件"上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2"，求事件发生的概率.
17.（本小题满分13分）
如图，平面，，.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）若二面角的余弦值为，求线段的长.
18.（本小题满分13分）
设椭圆的左焦点为，上顶点为.已知椭圆的短轴长为4，离心率为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上.若（为原点），且，求直线的斜率.
19.（本小题满分14分）
设是等差数列，是等比数列.已知.
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）设数列满足其中.
（i）求数列的通项公式；
（ii）求.
20.（本小题满分14分）
设函数为的导函数.
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）当时，证明；
（Ⅲ）设为函数在区间内的零点，其中，证明.
2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（理工类）参考解答
一.选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分40分.
1.D 2.C 3.B 4.B 5.D 6.A
7.A 8.C
二.填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分30分.
9. 10. 11. 12. 13. 14.
三.解答题
15.本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力，满分13分.
（Ⅰ）解：在中，由正弦定理，得，又由，得，即.又因为，得到，.由余弦定理可得.
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得，从而，，故
，
16.本小题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.满分13分.
（Ⅰ）解：因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为，故，从而.
所以，随机变量的分布列为
0 1 2 3 随机变量的数学期望.
（Ⅱ）解：设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为，则，且.由题意知事件与互斥，且事件与，事件与均相互独立，从而由（Ⅰ）知
.
17.本小题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.满分13分.
依题意，可以建立以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系（如图），可得，.设，则.
（Ⅰ）证明：依题意，是平面的法向量，又，可得，又因为直线平面，所以平面.
（Ⅱ）解：依题意，.
设为平面的法向量，则即不妨令，
可得.因此有.
所以，直线与平面所成角的正弦值为.
（Ⅲ）解：设为平面的法向量，则即
不妨令，可得.
由题意，有，解得.经检验，符合题意.
所以，线段的长为.
18.本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识。考查用代数方法研究圆锥曲面的性质.考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力.满分13分.
（Ⅰ）解：设椭圆的半焦距为，依题意，，又，可得，.
所以，椭圆的方程为.
（Ⅱ）解：由题意，设.设直线的斜率为，又，则直线的方程为，与椭圆方程联立整理得，可得，代入得，进而直线的斜率.在中，令，得.由题意得，所以直线的斜率为.由，得，化简得，从而.
所以，直线的斜率为或.
19.本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其前项和公式等基础知识.考查化归与转化思想和数列求和的基本方法以及运算求解能力.满分14分.
（Ⅰ）解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为.依题意得解得故.
所以，的通项公式为的通项公式为.
（Ⅱ）（i）解：.
所以，数列的通项公式为.
（ii）解：
.
20.本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法.考查函数思想和化归与转化思想.考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力.满分14分.
（Ⅰ）解：由已知，有.因此，当时，有，得，则单调递减；当时，有，得，则单调递增.
所以，的单调递增区间为的单调递减区间为.
（Ⅱ）证明：记.依题意及（Ⅰ），有，从而.当时，，故
.
因此，在区间上单调递减，进而.
所以，当时，.
（Ⅲ）证明：依题意，，即.记，则，且.
由及（Ⅰ），得.由（Ⅱ）知，当时，，所以在上为减函数，因此.又由（Ⅱ）知，，故
.
所以，.
