概率题错解分类剖析

概率内容的新概念较多，相近概念容易混淆，本文就学生易犯错误作如下总结：
　　
　　类型一"非等可能"与"等可能"混同
　　
　　例1掷两枚骰子，求所得的点数之和为6的概率．
　　
　　错解掷两枚骰子出现的点数之和2，3，4，…，12共11种基本事件，所以概率为P=1/11．
　　
　　剖析以上11种基本事件不是等可能的，如点数和2只有(1，1)，而点数之和为6有(1，5)、(2，4)、(3，3)、(4，2)、(5，1)共5种．事实上，掷两枚骰子共有36种基本事件，且是等可能的，所以"所得点数之和为6"的概率为P=5/36．
　　
　　类型二"互斥"与"对立"混同
　　
　　例2把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得1张，事件"甲分得红牌"与"乙分得红牌"是
　　
　　A．对立事件B．不可能事件C．互斥但不对立事件D．以上均不对
　　
　　错误答案：A
　　
　　剖析本题错误的原因在于把"互斥"与"对立"混同，要准确解答这类问题，必须搞清对立事件与互斥事件的联系与区别，这二者的联系与区别主要体现以以下三个方面：
　　
　　(1)两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立；
　　
　　(2)互斥的概念适用于多个事件，但对立概念只适用于两个事件；
　　
　　(3)两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生；而两事件对立则表示它们有且仅有一个发生．
　　
　　事件"甲分得红牌"与"乙分得红牌"是不能同时发生的两个事件，这两个事件可能恰有一个发生，一个不发生，可能两个都不发生，所以应选C．
　　
　　类型三"互斥"与"独立"混同
　　
　　例3甲投篮命中率为O．8，乙投篮命中率为0.7，每人投3次，两人恰好都命中2次的概率是多少?
　　
　　错解设"甲恰好投中两次"为事件A，"乙恰好投中两次"为事件B，则两人都恰好投中两次为事件A+B，P(A+B)=P(A)+P(B)：C320.82×0.2
　　
　　+C320.72×0.3=0.825
　　
　　剖析本题错误的原因是把相互独立同时发生的事件当成互斥事件来考虑，将两人都恰好投中2次理解为"甲恰好投中两次"与"乙恰好投中两次"的和．
　　
　　正确解答设"甲恰好投中两次"为事件A，"乙恰好投中两次"为事件B，且A，B相互独立，则两人都恰好投中两次为事件A·B，于是
　　
　　P(A·B)=P(A)×P(B)=C320.82×0.2+C320.72×0.3≈0.169．
　　
　　例4某家庭电话在家中有人时，打进的电话响第一声时被接的概率为0.1，响第二声时被接的概率为O.3，响第三声时被接的概率为0.4，响第四声时被接的概率为0.1，那么电话在响前4声内被接的概率是多少?
　　
　　错解分别记"电话响第一、二、三、四声时被接"为事件A1、A2、A3、A4，且P(A1)=0.1，P(A2)=0.3，P(A3)=O.4，P(A4)=0.1，则电话在响前4声内被接的概率为P=P(A1)·P(A2)·P(A3)·P(A4)=0.1×0.3×0.4×0.1=0.0012．
　　
　　剖析本题错解的原因在于把互斥事件当成相互独立同时发生的事件来考虑．根据实际生活中的经验电话在响前4声内，每一声是否被接彼此互斥．所以，P=P(A1)十P(A2)+P(A3)+P(A4)=0.1+0.3+0.4+0.1=0.9．
　　
　　点评以上两例错误的原因都在于把两事件互斥与两事件相互独立混同，互斥事件是指两个事件不可能同时发生；两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生与否没有影响，它们虽然都描绘了两个事件间的关系，但所描绘的关系是根本不同．
　　
　　类型四"条件概率P(B/A)"与"积事件的概率P(A·B)"混同
　　
　　例5袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球，作不放回抽样，每次任取一球，取2次，求第二次才取到黄色球的概率．
　　
　　错解记"第一次取到白球"为事件A，"第二次取到黄球"为事件B,"第二次才取到黄球"为事件C,所以P(C)=P(B/A)=6/9=2/3.
　　
　　剖析本题错误在于P(AB)与P(B/A)的含义没有弄清,P(AB)表示在样本空间S中,A与B同时发生的概率；而P（B/A）表示在缩减的样本空间SA中，作为条件的A已经发生的条件下事件B发生的概率．
　　
　　正确答案P(C)=P(A·B)=P(A)·P(B/A)=4/10×6/9=4/15．