初中数学教学中经验归纳

1 2 下一页 作者：佚名
　　
　　人类智慧攀升和有效的认知活动是经验和理性的螺旋循环。学习数学也不例外，然而数学教学活动中经验归纳与理性思维既互相支持又矛盾对立，况且初中学生正处于经验型思维向逻辑型思维过渡的阶段，以致在具体教学中较难正确把握两者的权重量纲，容易产生偏颇做法。因而充分认识经验归纳与理性思维的关系，是完全必要的。也只有把握了它们之间的辩证统一关系，才能避免和纠正片面追求的行为。
　　
　　一、经验归纳教学的作用
　　
　　在初中数学教学中，引导学生对生活实际或动手操作进行有意义有目的的分析、探索，进而提炼数学中的一般性规律，即用经验归纳的方法寻求数学的事实性结论。主要有下述教育意义：
　　
　　1、学生体验了经验世界中数学知识的形成过程，根据建构主义的认知观点，是学生对知识进行意义建构的有效途径。不过这样建构的知识，仅具实证性，还不深刻，是浅层次的。
　　
　　2、使学生得到归纳方法的学习。归纳方法被誉为发现的“逻辑”，广泛地应用于自然科学研究，科学史上许多重大的发现和发明主要依赖于归纳方法。例如，开普勒在研究太阳系行星运动时，对十年观察和计算的数据进行归纳，得到天体运动第三定律。
　　
　　3、通过对数学知识形成的“情境”性体验，使得对抽象的数学概念有朴素的理解，为进一步进行数学抽象思维提供依托和支持。在数学学习的问题解决中，经常对某问题的具体个别情形进行考察、归纳，寻求解决问题的策略和一般方法。
　　
　　4、增强数学知识与现实生活的联系，由此增进数学价值的认识，增进数学应用的意识和能力，提高用数学的眼光观察世界的能力。
　　
　　5、经验归纳将数学与生活融洽，有利于增进学生学习数学的兴趣。兴趣是促进自觉能动的动力，特别是通过归纳得到发现和创造时，使人的心灵深处倍感快慰，将产生浓厚的兴趣，有可能达到虽为其“劳苦”而感到乐的境界——乐此不疲。
　　
　　正基于上述理由，当前初中数学教学中凸显经验归纳教学，其意义是不言而喻的。但是，也应该清楚地认识到归纳有很大的局限性，不仅数学知识不可能全由归纳得到，而且就其本身而言，缺乏深刻，以及得到的结论不一定正确。
　　
　　二、归纳的正确性需要逻辑支持
　　
　　在数学王国里，虽然数学的某些结论可由直觉和归纳得到，但要确定结论的正确与否，归纳几乎无用武之地。归纳证明有效的命题极其少量，并且还需要逻辑支持。（可用归纳方法证明的主要是代数恒等式，但借助了代数基本定理的逻辑支持。至于用机器证明几何命题，那是对证代数恒等式的一种应用）。通常把直觉和归纳得到的命题不视为真，原因是直觉和归纳往往会出错。例如：
　　
　　1、判断全体正自然数的个数多呢还是全体正偶数的个数多？从直观意义上考虑，把全体正自然数从小到大依次排列，任意取出相邻的两个，自然数有2个，偶数只有1个，于是得到正自然数的个数是正偶数个数的2倍；从归纳的意义上看，在100以内进行考察，自然数99个，正偶数49个，个数的比值：99/49≈2。在1000以内考察，两者个数的比值：999/499≈2。在10000以内，在100000以内考察……，可得两者个数比值的极限是2,与直观同样的结论。凡涉足过超穷数理论的人都知道上述结论是错误的。事实上，只要构造函数M=2n,显然值域与定义域有一一对应的关系，便知归纳所得结论错误。
　　
　　2、“北师大教材八上1.1《勾股定理》中：根据下面图形的各条边的关系，请你探索出直角三角形的三边的关系，结果大部分学生根据32=4+5、52=12+13，继而得出错误的结论：a2=b+c，即较长直角边与斜边的和等于较短直角边的平方。”[1]
　　
　　并且更多的事实犹如观测水中的一根直棍，获得的感知是弯曲的一样。为此，大天文学家开普勒指出：“当知识通过感官被直接提供给心灵时，是模糊、混乱和矛盾的，从而也就不可靠的。”所以对经验得到的东西总要问个为什么？总要有理性的思考。哲学家叔本华说：“经验从总体来讲，是要从这种形而上学得到解释的。”东汉哲学家王充说：“是非者，不徒耳目，必开心意”。确定事物的本质不能仅凭感觉，一定要有理性思考。特别地经验得到的数学命题必须有理论的证明。
　　
　　实际上，人类在处理数学上理由不充足的结论时，总是小心谨慎的。像哥德巴赫猜想，尽管千万次验证都是正确的，但由于没有得到理论上的证明，人们还是叫它猜想而不叫定理。有时即使得到事实性的结论，如果理论有缺陷，也会用怀疑的眼光去看待它。如微积分在创立之初，由于理论不完善，人们纷纷质疑无穷小量的处理不合理，就连当时思想界的巨头红衣主教贝克莱、马克思主义学说的创立者之一马克思都参与质疑。（微积分从初创到理论完善经历了一百年）。无数事例充分地反映了人类对数学严谨性所持态度是严肃、认真的。
　　
　　三、经验归纳教学中的偏差现象
　　
　　数学产生的早期源于实际，经人们的抽象与实际分离。在抽象基础上再抽象得到的概念虽然在生活中存在原型，但往往复杂的居多，有些在教学中采用把握不好会使教学效果适得其反。如有理数乘法运算中负数乘以负数的法则提炼，尽管我们老师作出大的努力，举了尽可能简洁的例子，可是教学实际情况是不少学生感到繁琐、复杂，难以理解。由此学生可能产生畏难情绪而导致厌学。与其是如此，还不如“没有”的好。
　　
　　考察目前初中数学教学的情况，有些老师近乎缘木求鱼，在教学中不论什么内容，一律都采用经验归纳的方式进行教学，把好多主观生造、牵强，甚至严重脱离教学实际的东西搬进课堂，把教学的目标转向为纯粹创设生活情景的教学，使学生得不到真正意义上的数学学习。好比是阿拉伯谚语所说的：“磨坊的声音我确实听到了，但面粉却没有看到。”所以，用生活经验归纳的方法进行数学教学，要根据学生的实际情况和教学的具体内容进科学辩证的方法分析而定，以简洁、自然、贴切为宜，不应每每如此。
　　
　　事实上，数学“它有自身发展的内在‘情景’，按照这种内在联系来学习，掌握的知识牢靠，应用起来得心应手。”[2]“一个好的数学情境，能融数学的教与学为一体，具有数学教学活动的内驱力，并使数学课堂具有自我生长的立体环境。”[3]比如，三角函数概念的导出，该问题的焦点在于比值的大小只与角的大小有关，而与角终边上的位置选择无关。用已知的数学事实相似三角形性质来说明，自然、简洁明了，并具普遍意义。若用生活经验或动手操作进行归纳，想必是一件复杂繁琐的工作，未必有益于教学。因而，数学教学也要注重运用抽象思维，拿已知的数学事实，精中求简地去解释新概念、新知识。
　　
　　我们知道，要学好数学需要理解记忆，也就是要明了数学知识的形成过程。当前数学教学中普遍存在着仅把经验归纳作为知识的形成过程，忽略理论推导的过程。归纳是感的“进路”，理论推导是思的“进路”。数学对象的抽象性决定了学习数学离不开思，一旦离开了思，将造成不求甚解，只求记住若干“处方”，不仅兹长和强化模仿记忆和机械记忆之惰性，也给进一步学习数学知识带来大的困难。
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