数学教育与培养创新精神----信息技术在数学教学中的应用

一．期望与困惑
　　
　　电子信息技术在各行各业的应用都促进了相关系统的现代化进程，很自然的让我们企望信息技术的应用带来教育的现代化。多年来大家做了许多的努力，从实践、理论等多方面围绕计算机辅助教学进行研究。
　　
　　我们在计算机辅助数学教学的实验、研究和推广也做了大量的工作，尤其是在辅助教学”课件”的开发及推广方面投入了相当多的人力和物力。随着计算机设备和开发技术的提高，无论是专业人员制作或是业余开发的”课件”都有很不错的成品。
　　
　　其中不少”课件”的设计确实参照了优秀教师成功的课例，制作的界面也十分漂亮，在交流和评比中也能得到良好的评价。大家希望通过推广这些编写”课件”推动各学科的计算机辅助教学。确实，一些地区、很多学校都在花费相当多的力量从事各种”课件”的开发，有一些专业的软件公司也在这方面投入了不小的资本及人力。
　　
　　当我们冷静地考察几年来努力的效果时，不无遗憾地看到推广计算机辅助教学的实际情况与大家的期望相距甚远。即使是在评价时得到好评、获得奖项的软件作品，推广也极其困难。大多数教师虽然能对某些”课件”客观地给予肯定的评价，但是常常认为与自己的教学设想不同，而要让一个”课件”能够适合很多教师的口味实在是难以办到的。即使是专业软件公司开发的商品”课件”，学校和家长购买以后也多数未能发挥辅助教学的效果。
　　
　　相当多的学校投入不少资金，很多教师辛辛苦苦制作的一些”课件”,并没有能够在教学质量的提高上发挥多大的作用。不少只是参与评比的作品，或是准备迎接参观和检查的点缀与摆设。这种情况使我们这些热衷与计算机辅助教学的人们，陷入了深深的困惑。
　　
　　二．总结与思考
　　
　　为了寻求推广计算机辅助教学的有效途径，为了让计算机辅助教学一定要成为提高教学质量、推动教育改革、促进教育现代化的有效因素，必需进行认真的思考。
　　
　　应该肯定计算机为核心的电子信息技术作为工具用于教育，对教育现代化是绝对必要的，不过怎样用、如何用好是有讲究的。计算机辅助教学就是要将计算机作为工具，用于教学工作的各方面(积累资料、备课、讲课、练习、测试等等),具体的模式和应用方法当然是多元化的，包括制作与使用一些”课件”.
　　
　　但是目前多数”课件”制作后难于推广的事实，值得我们认真反思。由于这些课件虽然是使用了计算机，比单纯的教师讲课有一定的优越性，但是并没有超越教师讲、学生听的基本模式，只是由计算机来帮助教师讲，而各位教师在”讲”法上的安排是变化多端的，课件成品难以满足这些要求。
　　
　　尤其目前的很多”课件”的设计方案来源于一些教师没有使用计算机的环境下教学的”经验”,这种情况下应用计算机虽然也可能有一些好处，但是对于教学质量的提高难以有很大的作用，并不能真正发挥现代化教育手段的优势。
　　
　　出路在那里？我们考虑要认真对计算机的应用与各科教学的”整合”进行切实的实验和研究。计算机辅助教学是否成功，主要不在计算机技术上而在各科教学的设计和改革上。各学科教学在应用计算机时的要求和重点是不相同的，一定是与本学科教学内容、教学方法的特点来定的，各学科计算机辅助教学是否成功将反映该学科教学研究的水平。
　　
　　在”整合过程中也不排除使用”课件”,不过我们不主张动员很多教师都去编写课件，而是希望教师尽量选择已有的成品软件.当然不是盲目地搬用,是要在充分理解软件设计意图的基础上，有自己的教学安排有机地整合起来。达到有效的提高教学质量的目标。
　　
　　当然我们更关注在”整合实践中寻找哪些应用模式和软件系统，真正适合多数教师能接受、又确实便于推广。现在我们认为各学科的”教学信息资源库”和某些专业学科的”智能教学工具平台”可能是利于推广的两种辅助教学软件系统。
　　
　　“教学信息资源库”是指利用电子信息系统建立的，储存了本学科的大量可用于教学的资料的数据库。由于现在已有的多媒体超文本编辑功能、光盘存储技术、大容量高性能服务器以及因特网应用的发展，建设和应用这样的”资源库”并不困难。这样的系统让教师备课中可能占有海量的教学信息，也能向学生提供自主、互助和探索性学习的支持环境，是用于计算机辅助教学的有效软件系统。学校有能力逐步积累自己各学科的”教学信息资源库”，也可以购买市场上的成品充实学校的”资源库”。教师个人也可能在自用的微机系统上建立小型的”资源库”，从学校的服务器上分享资源、从因特网下载资料、积累本人的经验，提高自己的业务水平。
　　
　　适合各学科教学的”智能工具平台”目前还不多，就数学教学来说这类可用的软件(包括附带硬件的)倒是不少，例如:TI公司的”图形计算器”、张景中院士研制的”数学实验室”、”几何画板”等等都是这类系统。
　　
　　几年来我们在数学学科的”整合”实践中，应用”几何画板”的辅助教学实验获得了不少的成果，尤其在培养学生”创新思想”和”实践能力”方面，得到了令人惊喜的突破。本文将列出若干实际的课例，向读者做简单的介绍。
　　
　　三．实践与收获
　　
　　1.在动态中表达几何关系的图版
　　
　　“几何画板”是美国软件“TheGeometer’sSketchpad”的汉化版，打开“几何画板”后我们看到的界面，就像一块黑板（图1）。图版的左侧是一列工具图标：移动、画点、画圆、画线、和文字工具。可以用这些工具按照尺规作图的法则画出各种几何图形。
　　
　　画出的图形与黑板上的图形不同是动态的,在动态中保持设定的几何关系不变。例如（图2）在画板上任意取A、B、C三点，连接成三角形同时作出AB边上的中点D。此时利用“移动”工具拉动A点就看到了一个变化着的三角形，在变化中D点保持为AB线段的中点。
　　
　　同样可以拉动B、C两点或是移动三角形的边（亦能运用一些技巧让某几个元素同时移动）。如果作出三角形ABC三条边上的中线，就可以在这种动态变化中清楚观察到“任意三角形三中线交于一点”的现象。过去讨论这一条几何定理是必须依靠逻辑证明的，现在利用“几何画板”可以根据观察来确认这个事实。
　　
　　还可以利用系统提供的其它功能(例如度量的功能,动态地观察有关的数据)，来发现图形中存在的规律和各种关系。就是可以用一种区别于传统手段的，全新的、更加直观的过程来学习几何。
　　
　　“几何画板”用于立体几何教学也很好。这是学习立体几何必需具有”空间想像能力”，对不少初学者是一个难关。由于用“几何画板”画出的图形中的若干元素可以适当地移动，就可能帮助初学者较快地培养空间想像能力。
　　
　　2.探索性学习的直观环境
　　
　　过去我们讨论同一个圆内，对应一段弧的圆周角与圆心角的关系，必需要靠证明。现在可以(如图3)：在圆O上任意作出C、D、E三点，得到圆周角CDE和圆心角COD；度量出它们的角度，就能看出是圆周角为圆心角的一半。然后在圆上移动E点，度量的值将随着E点的移动而变化，总能看到圆周角是圆心角的一半的关系。
　　
　　我们还可以移动D点，将看到所有的度量值不变化。其实这也是一个定理：“同弧上的圆周角相等”。当D点移动到与C、O在同一直线上时，就是证明圆周角有关定理的特殊位置。这说明利用“几何画板”对图形观察的过程中，也是可能启发我们得到进行逻辑证明的思路。圆O的大小和位置也是能够变化的，从而保证了动态观察和分析的普遍性。
　　
　　上述过程可以是在教师的指导下，由学生独立或分组进行观察和分析，不必用教师讲学生听的传统教学方式进行。这就实现了又充分发挥教师的主导作用、又使学生成为学习的主体，是一个探索性学习的直观环境，是一种新型的教学模式。
　　
　　其实“几何画板”提供的动态几何环境，不仅一般地帮助学生直观地去理解教师指定的图形或问题。而是能为学生提供了一个培养创造能力的实践园地。甚至可以让他们对一些“异想天开”设想的几何图形系统，实施动态的观察和分析研究。例如图4:在圆O上任取一点E和圆外一点F作一线段，过线段中点G作垂线，若E点在圆上运动则垂线将跟随着运动，我们想知道垂线的运动规律。在这个设定的条件下，是可以讨论（推导）出某些结果的，但是对一般的学生（甚至对教师）来讲实在是要求太高了，在传统的学习环境下无论是观察和推导都很困难。
　　
　　现在就不一样了，可以在“几何画板”上让E点在圆上移动，同时跟踪（使垂线现出轨迹）观察垂线的运动看看出现什么，然后再作进一步的分析和思考。图5、6、7就是分别让F点在圆外较远处、较近处、F点在圆内，三种不同位置在图上留下的垂线轨迹。看到这些直观图不难产生一些猜想：直线轨迹的包络线是二次曲线族（椭圆、双曲线、抛物线）？同学和教师可能有能力进一步的分析和讨论，发现这组图形中许多有趣的现象和规律。
　　
　　学生还可以在平时解几何问题时，根据给定的已知条件，用“几何画板”作出草图然后去求解。由于在“几何画板”上作出的草图不但准确而且是“动态的”，学生可能在它的动态变化中的某些特殊位置，找到求解的思路。
　　
　　3.培养创造性能力的实践园地
　　
　　在使用“几何画板”给予学生探索性学习的环境以后，我们看到了培养他们创新精神和实践能力的奇特效果。
　　
　　其实“几何画板”提供的动态几何环境，不仅一般地帮助学生直观地去理解教师指定的图形或问题。而是能为学生提供了一个培养创造能力的实践园地。甚至可以让他们对一些“异想天开”设想的几何图形系统，实施动态的观察和分析研究。
　　
　　图4是初中几何课本中的一个习题，从圆O任意一条弦的中点E作两根直线与圆交得四个点，连接两条线段后得图形像一只蝴蝶，两线段与弦分别交于L、M两点则有：
　　
　　LE=EM
　　
　　即蝴蝶两翼截得的线段相等，称为“蝴蝶定理”。
　　
　　有这样一位同学，他不满足于一般的证明完成这个练习。首先他使用“几何画板”的”度量”功能，通过移动E点观察两线段长度确实相等，“看到了”定理是成立的。
　　
　　他加了一个同心圆（图5），两圆与直线交得八个点，连接得一扩展的蝴蝶，其两翼与弦交得四点。他猜想左侧线段SE、TE与右侧线段EU、EV也应该有某种等式关系。他猜想可能有SE+TE=EU+EV或
　　
　　SE*TE=EU*EV
　　
　　这样的猜想并不希奇，但在传统的学习环境下这些猜想很难证实或否定，最后只能不了了之掩灭了创造的火花。现在他利用“几何画板”度量了这些线段的长度，并进行了计算，计算的结果否定了他的两个猜想。
　　
　　这位同学没有停止探求，在他锲而不舍的努力下终于找到了它们之间的等式关系：
　　
　　SE*TE/(SE+TE)=EU*EV/(EU+EV)
　　
　　利用“几何画板”的度量和计算，找到了这个有趣的关系式并完成了证明，他命名其为“广义蝴蝶定理”。此后他还对这个图形进行了更多的扩展和深入的分析研究，这是一个多么令人兴奋的成果啊！
　　
　　中学生在学习的过程中的发现是否有价值并不重要,运用”智能教学工具平台培养了他的创新精神和创造性思维的能力，是很有意义的。
　　
　　其实，在目前已经知道的学生或学生与教师共同运用“几何画板”安排探索性教、学的过程中，一些创新的命题和成果，也有很多是有价值的。
　　
　　我们正继续进行运用”几何画板”等”平台”,推广计算机辅助中学数学教学的实验，希望能够有所突破，找到有效的实现计算机辅助数学教学的途径和模式。并总结在数学教学中培养学生创新精神和实践能力的方法和经验。